A1 O
O
A2
O
O
O B1 O
O
O
B2
As O O
O A1B1 O
O
O
A2B2
Bs O O
O
O
As1
O
O
AsBs
第11页
5 0 0
例
设A
0
3
1
,
求 A1, A2和 A6 .
0 2 1
解
A
A1 O
O
A2
,
A1
A11
O
O
A21
1 5
0
0
0 1 2
第15页
学习要求
1. 理解矩阵的概念，了解一些特殊矩阵的特点。 2. 熟练掌握矩阵的各种运算及相应的运算规律。 3. 理解并掌握可逆矩阵的概念、性质以及矩阵可
逆的充分必要条件。 4. 理解伴随矩阵的概念，掌握其性质，会用伴随
矩阵求矩阵的逆矩阵。 5. 知道分块矩阵及其运算规律。
第16页
基本题型
❖具体矩阵的各类运算.
第20页
思考题
设n阶矩阵A和B满足A B AB,
(1) 证明A E, B E可逆，其中E是n阶单位阵；
1 3 0
(2)
已知B
2
1
0 ，求矩阵A.
0 0 2
第21页
(1)把大矩阵的运算化为小矩阵的运算; (2)矩阵分块后能突出矩阵的结构，从而可利用它
的特殊结构，使运算简化； (3)可为某些命题的证明提供方法.
2. 分块矩阵是形式上的矩阵，其运算规则与普 通矩阵的类似.
第14页
第二章 矩阵及其运算
➢ 矩阵的概念 ➢ 矩阵的运算 ➢ 逆矩阵 ➢ 矩阵分块法 ➢ 典型习题
E A A2 Ak1 ( A A2 Ak1 Ak ) E Ak E (E A)1 E A A2 Ak1.
第19页
基本题型
❖对称矩阵的证明.
8.设A，B都是n阶对称阵，证明AB是对称阵 AB BA.
❖计算A的n次幂.
1. 根据所给矩阵A，找出An所满足的关系式； 3 2 1
第二章 矩阵及其运算
➢ 矩阵的概念 ➢ 矩阵的运算 ➢ 逆矩阵 ➢ 矩阵分块法 ➢ 典型习题
第1页
第二章 矩阵及其运算
➢ 矩阵的概念 ➢ 矩阵的运算 ➢ 逆矩阵 ➢ 矩阵分块法 ➢ 典型习题
第2页
分块矩阵的概念
把矩阵A用若干条纵线和横线分成许多小矩阵 每个小矩阵
称为A的子块 形式上以子块为元素的矩阵称为分块矩阵.
As1 Bs1 Asr Bsr
第5页
数乘
A11
设
A
As1
A1r
,λ为数,那么
Asr
A
A11
A1r
.
As1 Asr
第6页
乘法
设A为m×l矩阵，B为l×n矩阵，分块成
A
A11
A1t
,
B
B11
B1r
,
As1 Ast
Bt1 Btr
其中Ai1, Ai2, …,Ait的列数分别等于B1j, B2j, …,Btj行数,
第18页
基本题型
❖关于抽象矩阵求逆矩阵的计算和证明.
6. 设方阵A满足方程A2 2A 3E O,证明A可逆,并求逆矩阵.
证
A(A 2E) 3E A1 1 ( A 2E)
3
7. 设Ak O(k为正整数),证明(E A)1 E A A2 Ak1.
证
(E A)(E A A2 Ak1)
按列分块
第3页
分块矩阵的运算规则
1. 加法 2. 数乘 3. 乘法 4. 转置
第4页
加法
设A与B是同型矩阵，采用相同的分块法，有
A
A11
A1r
,
B
B11
B1r
As1 Asr
Bs1 Bsr
其中Aij与Bij的行数相同，列数相同，那么
A
B
A11
B11
A1r
B1r
.
0 1. 3
A2
A12
O
25 0 0
O
A22
0
0
11
4
.
8 3
A11
1 5
;
A21
1 2
31 ;
A12 25;
A22
11
8
4 3
;
A6 A 6 A1 A2 6 516 56.
第12页
线性方程组的矩阵表示形式
a11x1 a12 x2 a21x1 a22 x2 am1x1 am2 x2
2. 通A过具(1体, 2计 ,3)算，AB2,A3(等3, 2，,1找)，出则A的A幂T 次B 的n 规1律0n,利1 用6 数4学归2 纳法；
3. 如果A PP1,则Ak Pk P1.
9 6 3
设 diag(1, 2 , , n )，有k diag(1k , 2k , , nk ) 1 diag(11, 21, , n1).
第17页
基本题型
❖与伴随矩阵和可逆矩阵相关的计算.
3. 设A为3阶矩阵，A 1 ，求 (2A)1 5A* . 2
1 0 0
4.
设A
2
3
0 ，则
A*
1
?
A* * ?
4 5 6
A A n1
5. 已知A的伴随阵A* diag(1,1,1,8),且ABA1 BA1 3E, 求B.
那么
AB
C11
C1r
Cs1 Csr
其中Cij = Ai1 B1j + Ai2 B2j + + Ait Btj .
第7页
乘法
例 计算AB，其中
1 0 0 0
A
0
1
0
0
,
1 2 1 0
1
1
0
1
E O
A1
E
1 0 1 0
B
1
2
0
1
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
,
1 0 4 1
1
1
2
0
例如
a 1 0 0
A
0 1 0
a 0 1
0 b 1
0 1 b
B1 B2 B3
a
A
0 1 0
1 a 0 1
0 0 b 1
0
0
1 b
A E
OB
a 1 0 0
a 1 0 0
A
0 1 0
a 0 1
0 b 1
0 b1
A
按行分块
0 1 0
a 0 1
0 b 1
0
1 b
……
a1n xn b1, a2n xn b2 , Axb
amn xn bm ,
A(aij)称为系数矩阵 x(x1 x2 xn)T 称为未知数向量 b(b1 b2 bm)T 称为常数项向量 B(A b)称为增广矩阵
解向量
第13页
小结
1. 矩阵分块法是矩阵运算的一种技巧.其好处：
B11 B21
E
B22
第8页
转置
4
设
A
A11
A1r
,
As1 Asr
A1T1 AsT1
则 AT
.
A1Tr
AsTr
第9页
分块对角矩阵
具有如下形式的分块矩阵称为分块对角矩阵，
A1
A
A2
O
O
,
As
其中Ai (i=1,2,…,s)都是方阵.
1 0 0 0
A
1
❖与方阵的行列式相关的运算.
0 3 4
1.
设A
1
0
0 ，k为非零常数，计算 kA2 。
0 2 1
2. 设4阶方阵A , r2, r3, r4 , B , r2, r3, r4 ,其中
, , r2, r3, r4均为列向量,且已知 A m, B n,
试求行列式 2A B 的值. A B A B
2
0
0
0 0 3 0
0
0
4
2
1 4 0 0 0
1
2
0
0
0
A0 0 2 0 0
0
0
0
3
0
0 0 0 1 2
第10页
分块对角矩阵的性质
性质 1 性质 2
A A1 A2 As
A11
若 Ai
0,则 A 0,且
A1
O
O A21
性质 3
A1k
Ak
O
O A2k
O
O
O O
O O
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