矩阵位移法
概述 矩阵位移法的基本原理 单元刚度矩阵 直接刚度法 直接刚度法的另一个形式－先处理法 等效结点荷载
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概述
结构矩阵分析的目的：利用计算机进行结构分析
科技进步
结构分析问题大型化、复杂化
需要
计算机技术发展突飞猛进
可能
力法、位移法：线性代数方程组的求解问题
结构矩阵分析方法＋计算机应用软件
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矩阵位移法的基本原理
结构的离散化：将结构视为（杆件）单元的集成
结构标识
结点编号 单元编号 坐标系
平面桁架 未知量＝2×结点数－3
平面刚架 未知量＝3×结点数－8
y ⑤4
2
⑩ ⑨
⑥6
1
①3 ② 5
y 2
④
① 1
⑦ 8 ⑧ 10
③7 ④ 9 x 4 ⑤6
② 3
③
5
x
6
1
矩阵位移法的基本原理
矩阵位移法基本方程
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结构坐标系下的单元刚度矩阵（桁架单元）
结构坐标系中桁架单元刚度矩阵的一般表达式
K e T T k eT
c2
Ke
EA sc l c2
sc
sc c2 s2 sc sc c2 s2 sc
sce
s
2
sc
s2
（8-15）
17
刚架单元的刚度矩阵和刚度方程
F e k eΔe
6个位移
y
ui Fxi
0
0
0
ui e
vi
u
j
v j
Fxi Fxj
e
EA lElA
EA e
ElA
ui u j
l
e
（8-5）
14
结构坐标系下的单元刚度矩阵（桁架单元）
局部坐标
结构坐标
杆端力 F e TF e
Fxei Fxei cos Fyei sin
F
e yi
Fxei
sin
Fyei
cos
一般计入所有杆件的轴向变形 全部杆归为一类结构——两端固定等截面直杆
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矩阵位移法的基本原理
矩阵位移法主要内容
先离散
将结构离散为构件单元，进行单元分析， 建立每个单元杆端力与杆端位移间转换 关系的单元刚度矩阵
再组装
根据变形连续条件将各单元综合成整体， 根据结点平衡条件进行结构整体分析， 建立结构结点力与结点位移关系式，即 结构总刚度方程，解出位移和内力
y
y Fxi i
e
Fxi Fyi Fyi
j Fxj x Fxj
Fyj
Fyj
x
桁架单元
Fxej Fxej cos Fyej sin
F
e yj
Fxej
sin
F
e yj
cos
（8-10） cos sin 0
0
坐标转换矩阵
T
sin 0
cos 0
0 cos
0
sin
正交性，T－1＝TT
0
0
sin
y
F e k eΔe
Fxei
EA l
(uie
u
e j
)
ui Fxi i vi Fyi
Fyei 0
ui 1
Fxej
EA l
(
u
e j
uie )
Fyej 0
i 端产生水平单位 位移1时的杆端力
i
Fxi
EA l
i
Fxi
EA l
13
e
EA
e EA、l
e EA、l
j u j Fxj x
v j Fyj
v
e i
1
6EI l2 i
12EI l3
j
EA l
6EI l2 j
12EI l3
cos
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结构坐标系下的单元刚度矩阵（桁架单元）
杆端位移 Δe TΔe
杆端力
F e TF e
单元刚度方程
F e k eΔe
y
y Fxi i
e
Fxi Fyi Fyi
j Fxj x
Fxj Fyj
Fyj
x
结构坐标系下的单元刚度矩阵
K e T T k eT
结构坐标系下的单元刚度方程 F e K e Δe
j
Fxj
EA l
uj 1
j
Fxj
EA l
桁架单元刚度矩阵和刚度方程
y
F e k eΔe
局部坐标系中桁 架单元刚度矩阵
ui Fxi i
e
j u j Fxj x
EA
vi Fyi
v j Fyj
Fxi
F
yi
Fxj
F
yj
e
EA
l
0
EA l
0
0 0 0 0
EA l
0
EA
l
0
0 e
矩阵位移法的后处理法和先处理法
后处理法：结构支座位移边界条件在总刚形成后 引入
先处理法：在形成单元刚度矩阵时就将实际位移 边界条件及位移关系考虑进去，由此形成的总刚 方程就是结构刚度方程
等效结点荷载： 分布荷载、结间 集中荷载均可化 为等效结点荷载
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矩阵位移法
概述 矩阵位移法的基本原理 单元刚度矩阵 直接刚度法 直接刚度法的另一个形式－先处理法 等效结点荷载
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矩阵位移法
概述 矩阵位移法的基本原理 单元刚度矩阵 直接刚度法 直接刚度法的另一个形式－先处理法 等效结点荷载
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矩阵位移法的基本原理
矩阵位移法特点：位移法＋矩阵表达式
结点位移为基本未知量 写出各杆端力与位移的关系式 利用平衡方程求结点位移 算出各杆端内力
采用了矩阵代数数学工具，计算过程统一化，规格 化，便于编程
KΔ F 解结构刚度方程，得未知结点位移 Δ
计算各杆端力和支座约束力
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矩阵位移法的基本原理 单元划分 F e k e Δe
通常一根杆件一个单元
按等截面直杆划分 有结点集中荷载
9
2
④
4 ⑤6
①
②
③
1
3
5
③ 3
② 2 1①
3
③
②
2 ①
1
4 ⑤ 6⑥ 7
④
⑦
8
5
⑧
9 4
④
5 ⑤ 6
矩阵位移法的基本原理
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单元刚度矩阵
单元刚度矩阵：单元杆端位移与杆端力的关系矩阵
单刚导出方法：静力法、虚功原理、能量法
结构坐标系与单元局部坐标系（右手法则）
y
x
y
e
j
y
i
逆时针为正
i
e
x
jx
Fx Fy M uv
与坐标一致为正
Fx Fy M 轴力、剪力、弯矩 u v 与坐标一致为正
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2
桁架单元刚度矩阵和刚度方程
i M xi
i
e
EI
6个杆端力
vi Fyi
j M xj j u j Fxj x
v j Fyj
令某个节点位移为1，其它节点位移为0，求出在此 变形条件下的各节点的力, 则这些力就等于刚度矩阵 的元素
也可用两端固定梁转角位移方程求刚度矩阵的元素
表7-1
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3
基本单位位移及其杆端力
i EA l uie 1
线弹性范围内
单元刚度方程：单元杆端力与杆端位移的关系
F e k e Δe
ke
单元刚度矩阵6×6
总刚度方程：由单刚组装成，未引入位移边界条件
K 0 Δ0 F 0
K0
总刚度矩阵
结构刚度方程：结构结点力（荷载）与结点位移关系已知结点荷载
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矩阵位移法的基本原理
大致步骤—后处理法 结构标识 各个单元刚度矩阵 k e 形成总刚度矩阵 K 0 和总刚度方程 K 0 Δ0 F 0 引入边界条件，形成结构刚度矩阵 K 和刚度方程