2014/12/20
同济大学土木工程学院
结构力学 之 矩阵位移法
有限元分析技术的发展现状
由求解线性工程问题进展到分析非线性问题
线性理论已经远远不能满足设计的要求。
例如：结构工程中的弹塑性分析（物理非线性）；索膜结构（几何非线性）。
非线性的数值计算是很复杂的，很难为一般工程技术人员所掌握。为此近年来 国外一些公司花费了大量的人力和投资开发诸如MARC、ABQUS和ADINA等 专长于求解非线性问题的有限元分析软件，并广泛应用于工程实践。 增强可视化的前置建模和后置数据处理功能 随着数值分析方法的逐步完善，尤其是计算机运算速度的飞速发展，整个计 算系统用于求解运算的时间越来越少，而数据准备和运算结果的表现问题却 日益突出。 在现在的工程工作站上，求解一个包含10万个方程的有限元模型只需要用几 十分钟。工程师在分析计算一个工程问题时有80%以上的精力都花在数据准备 和结果分析上。
先处理法的分析步骤
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结构力学 之 矩阵位移法
几个基本概念
§8-3 单元刚度矩阵 Element stiffness matrix
F e K e Δe
杆端位移向量 单元刚度矩阵
单元刚度矩阵：单元杆端力与杆端位移之间的关系矩阵。
杆端力向量
杆端力和杆端位移的表示方法
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结构力学 之 矩阵位移法
矩阵位移法进行结构分析的步骤
后处理法（直接刚度法）的分析步骤
结构离散并进行结构标识。 单元分析 计算各单元的刚度矩阵。 形成原始总刚度矩阵和原始总刚度方程。 引入位移边界条件，形成结构刚度矩阵和刚度方程。 结构整体分析 求解结构刚度方程，得未知的结点位移。 计算各单元杆端力和支座反力。 结构离散并进行结构标识。 单元分析 计算各单元的刚度矩阵。 形成结构刚度矩阵和刚度方程。 结构整体分析 求解结构刚度方程，得未知的结点位移。 计算各单元杆端力和支座反力。
目的：有利于分析途径系统化，步骤规格化。易于编程。
结论：选择位移法
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结构力学 之 矩阵位移法
矩阵位移法与有限元法（FEM）的关系
有限元分析方法最早是从结构化矩阵分析发展而来，逐步推广到板、 壳和实体等连续体固体力学分析，实践证明这是一种非常有效的数值分 析方法。 矩阵位移法可视为有限单元法在杆系结构中的应用特例。
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结构力学 之 矩阵位移法
水轮机叶轮的受力分析模拟－应力云图
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结构力学 之 矩阵位移法
有限元模型
结构内力图
开挖状态变形图
位移云图
邻房位移随施工进程变化图
三林商业城地下施工对相邻建筑物的影响
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结构力学 之 矩阵位移法
§8-1 概述
结构矩阵分析方法是利用计算机进行结构力学计算的方法。
结构分析问题趋向大型化、复杂化 ——提出要求 计算机技术发展突飞猛进 ——提供可能
力法 位移法
应用矩阵理论 以计算机为工具
矩阵力法 矩阵位移法
（结构矩阵分析方法）
（力学原理与方法） 结构分析技术手段：手算 技术要求：计算尽可能简化
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同济大学土木工程学院 结构力学 之 同济大学土木工程学院 结构力学 之 矩阵位移法 同济大学土木工程学院 结构力学 之 矩阵位移法 矩阵位移法
后处理法（又称直接刚度法）
结构的支座位移边界是在总刚度方程形成后引入的，即先形成原始总刚度方 程，再考虑支座位移边界对总刚度方程修正形成结构刚度方程。 单元分析不考虑任何位移约束，故，单元均为自由式单元（无杆端约束）， 单元统一。 先处理法
在形成单元刚度矩阵时就将实际的位移边界条件和位移关系考虑进去，即在 总刚度方程形成之前考虑支座位移边界条件。 单元为有约束单元，每个单元所受到的位移约束条件不完全相同，故，单元 不统一。 由单刚形成的总刚度方程就是结构刚度方程。
后处理法单元统一，更适用于编程、电算；先处理法单元不统一，适用于手 算。
e eT
e
x
ui , Fxi
i
j
u j , Fxj vi , Fyi v j , Fyj
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结构坐标系中 杆端力向量 Fe Fxi Fyi M i Fxj Fyj M j eT 杆端位移向量 Δe ui vi i u j v j j eT
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§8-2 矩阵位移法的基本原理
矩阵位移法的解题思路
一般原理：同位移法
第一步：离散化，单元分析
相当于位移法中第1步（判别基本 未知 量，做基本结构 ）和第 3 步 （求位移法方程的系数项和自由 项）
结构
单跨超静定 杆件（单元） 的组合体
相当于位移法中第2步（建立位移 法方程）和第4步（解方程求节点 位移）
y
3
②
右手系
4 ③ 2 x
单元编号
单元：两结点之间的等截面直杆段。
y
x
①
1
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结构力学 之 矩阵位移法
变截面和曲杆杆件的离散化处理方式
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矩阵位移法的基本方程
单元刚度方程
Fe K e Δe （相当于位移法中的转角位移方程）
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增强可视化的前置建模和后置数据处理功能 目前几乎所有的商业化有限元程序系统都有功能很强的前置建模和后置数据处 理模块。使用户能以可视图形方式直观快速地进行网格自动划分，生成有限 元分析所需数据，并按要求将大量的计算结果整理成变形图、等值分布云图， 便于极值搜索和所需数据的列表输出。 与CAD软件的无缝集成 当今有限元分析系统的另一个特点是与通用 CAD软件的集成使用， 即：在用 CAD 软件完成部件和零件的造型设计后，自动生成有限元网格并进行计算， 如果分析的结果不符合设计要求则重新进行造型和计算，直到满意为止，从 而极大地提高了设计水平和效率。当今所有的商业化有限元系统商都开发了 和著名的 CAD 软件的接口（例如 Pro/ENGINEER 、 Unigraphics 、 SolidEdge 、 SolidWorks、IDEAS、Bentley和AutoCAD等） 。
正负号规定：无论是在单元坐标系还是在结构坐标系中，均规定力和位移分 量与坐标方向一致为正。 单元坐标系中 j,M j 杆端力向量 F e Fxi Fyi M i Fxj Fyj M j eT i , M i y 杆端位移向量 Δ ui vi i u j v j j “－”表示单元坐标系中的物理量。
单元杆端位移向量
单元刚度矩阵
单元杆端力向量
原始总刚度方程
F 0 K 0 Δ0 （结构全部结点的平衡方程）
结构总的结点位移向量 原始总刚度矩阵（由单刚形成） 结构总的结点力向量
结构刚度方程
KΔ F （相当于位移法方程）
结构已知结点力向量（荷载） 结构未知结点位移向量 结构刚度矩阵
位移边界条件
第二步：按平衡条件组合，整体分析 与位移法不同之处：
一般计入所有杆件的轴向变形。 基本结构（单元）进一步归于一类杆件——两端固定杆。 进一步规格化 所有过程均采用矩阵的形式表述。
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结构力学 之 矩阵位移法
结构的离散化
结构标识 坐标系的设定（为了表示力和位移的方向）
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结构力学 之 矩阵位移法
在大力推广CAD技术的今天，从自行车到航天飞机，所有的设计制造 都离不开有限元分析计算，FEA在工程设计和分析中将得到越来越广泛 的重视。 国际上早在20世纪50年代末、60年代初就投入大量的人力和物力开发 具有强大功能的有限元分析程序。其中最为著名的是由美国国家宇航局 （NASA）在1965年委托美国计算科学公司和贝尔航空系统公司开发的 NASTRAN有限元分析系统。该系统发展至今已有几十个版本，是目前 世界上规模最大、功能最强的有限元分析系统。 目前，世界各地的研究机构和大学发展了一批规模较小但使用灵活、 价格较低的专用或通用有限元分析软件，主要有德国的ASKA、英国的 PAFEC、法国的SYSTUS、美国的ABQUS、ADINA、ANSYS、BERSAFE、 BOSOR、COSMOS、ELAS、MARC和STARDYNE等公司的产品。
有限元法的发展和应用
有限元方法已发展到流体力学、温度场、电传导、磁场、渗流和声场 等问题的求解计算，最近又发展到求解几个交叉学科的问题（多物理场 问题）。
例如：
当气流流过一个很高的铁塔产生变形，而塔的变形又反过来影响到气流的流动……这 就需要用固体力学和流体动力学的有限元分析结果交叉迭代求解，即所谓"流固耦合"的问 题。
y
e
j
j,M j
u j , Fxj
i , M i i
ui , Fxi
v j , Fyj
x
vi , Fyi
单元坐标系和结构坐标系中，杆端力和杆端位移向量同一分量所表示的物理 含义不同。故，单元坐标系和结构坐标系中的单刚不同。
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