2000年上海高考数学理科卷2000年全国普通高等学校招生统一考试上海 数学试卷(理工农医类)考生注意:本试卷共有22道试题,满分150分一、填空题(本大题满分为48分)本大题共有12题,只要求直接填写结果,每个空格填对得4分,否则一律得零分。
1.已知向量OA (-1,2)、OB =(3,m),若OA ┴OB ,则m= 。
2.函数,x x y --=312log2的定义域为 。
3.圆锥曲线⎩⎨⎧=+=θθtg y x 31sec 4的焦点坐标是 。
4.计算:lim()2n n n n →∞+= 。
5.已知b x f x +=2)(的反函数为)(),(11x f y x f --=若的图象经过点)2,5(Q ,则b = 。
6.根据上海市人大十一届三次会议上的市政府工作报告,1999年上海市完成GDP(GDP 是指国内生产总值)4035亿元,2000年上海市GDP 预期增长9%,市委、市府提出本市常住人口每年的自然增长率将控制在0.08%,若GDP 与人口均按这样的速度增长,则要使本市年人均GDP 达到或超过1999年的2倍,至少需 年。
(按:1999年本市常住人口总数约1300)7.命题A :底面为正三角形,且顶点在底面的射影为底面中心的三棱锥是正三棱锥,命题A 的等价题B 可以是:底面为正三角形,且 的三棱锥是正三棱锥。
8.设函数)(x f y =是最小正周期为2的偶函数,它在区间[0,1]上的图象为如图所示的线段AB ,则在区间[1,2]上)(x f = 。
9.在二项式11)1(-x 的展开式中,系数最小的项的系数为 ,(结果用数值表示)10.有红、黄、蓝三种颜色的旗帜各3面,在每种颜色的3面旗帜上分别标上号码1、2和3,现任取出3面,它们的颜色与号码均不相同的概率是 。
11.在极坐标系中,若过点(3,0)且与极轴垂直的直线交曲线B A ,cos 4于θρ=两点,则=AB 。
12.在等差数列{}n a 中,若0=z a ,则有等式),19(192121N n n a a a a a a n n ∈+++=+++πΛΛ成立,类比上述性质,相就夺:在等此数列{}n b 中,若10=b ,则有等式成立。
二、选择题(本大题满分16分)本大题共有4题,每题都给出代号为A 、B 、C 、D 的四个结论,其中有且只有一个结论是正确的,必须把正确结论的代号写在题后的圆括号内,选对得4分,不选、选错或者选出的代号超过一个(不论是否都写在圆括号内),一律得零分。
13.复数的三角形式是是虚数单位))(5sin 5(cos 3i i z ππ--= ).56sin 56(cos 3)( ),54sin 54(cos 3)().5sin 5(cos 3)( )],5sin()5[cos(3)(ππππππππi D i C i B i A -++-+-[答]( )14.设有不同的直线a 、b 和不同的平面a 、β、γ,给出下列三个命题:(1)若a a //,a b //,则b a //。
(2)若a a //,β//a ,则β//a 。
(3)若γΛa ,γβΛ,则β//a 。
其中正确的个数是(A )0. (B )1. (C )2. (D )3.[答]( )15.若集合{}{}T s R x x y y T R x y y S x I 则.,1| ..3|2∈-==∈==是:(D) (C) T. (B) S. )(有限集φA .[答]( )16.下列命题中正确的命题是(A )若点)0)(2,(≠a a a P 为角a 终边上一点,则552sin =a 。
(B )同时满足23cos ,21sin ==a a 的角a 有且只有一个。
(C )当{}1πa 时,)(arcsin a tg 的值恒正。
(D )三角方程3)3(=+πx tg 的解集为{}Z k k x x ∈=,|π。
[答]( )三、解答题(本大题满分86分)本大题共有6题,解答下列各题必须写出必要的步骤。
17.(本题满分12分)已知椭圆C 的焦点分别为)0,22()0,22(21F F 和-,长轴长为6,设直2+=x y 交椭圆C 于A 、B 两点,求线段AB 的中点坐标。
[解]18.(本题满分12分)如图所示四面体ABCD 中,AB 、BC 、BD两两互相垂直,且AB=BC=2,E 是AC 中点,异面直线AD 与BE 所成的角的大小为1010arccos ,求四面体ABCD 的体积。
[解]19.(本题满分14分)本题共有2个小题,第1小题满分6分,第2小题满分8分。
已知函数],1[,2)(2+∞∈++=x x a x x x f 。
(1)当21=a 时,求函数)(x f 的最小值:(2)若对任意0)(],,1[φx f x +∞∈恒成立,试求实数a 的取值范围。
[解](1)[解](2)20.(本题满分14分)本题共有2个小题,第1小题满分4分,第2小题满分10分。
根据指令),(θr )180180,0(οοπ≤-≥θr ,机器人在平面上能完成下列动作:先原地旋转角度θ(θ为正时,按逆时针方向旋转θ,θ为负时,按顺时针方向旋转-θ),再朝其面对的方向沿直线行走距离r 。
(1)现机器人在直角坐标系的坐标原点,且面对x 轴正方向,试给机器人下一个指令,使其移动到点(4,4)。
(2)机器人在完成该指令后,发现在点(17,0)处有一小球正向坐标原点作匀速直线滚动,已知小球滚动的速度为机器人直线行走速度的2倍,若忽略机器人原地旋转所需的时间,问机器人最快可在何处截住小球?并给出机器人截住小球所需的指令(结果精确到小数点后两位)。
[解](1)[解](2)21.(本题满分16分)本题共有3个小题,第1小题满分4分,第2小题满分6分,第3小题满分6分。
在XOY 平面上有一点列,),,(,),,(),,(222111ΛΛnn n b a P b a P b a P 对每个自然数n ,点P ,位于函数x a y ⎪⎭⎫ ⎝⎛⋅=102000(100<<a )的图象上,且点n P ,点)0.1()0,(+n n 与点构成一个以n P 为顶点的等腰三角形。
(1)求点n P 的纵坐标nb 的表达式。
(2)若对每个自然数n ,以n b ,21,++n n b b 为边长能构成一个三角形,求a 取值范围。
(3)设().21N n b b b B n n ∈=Λ,若a 取(2)中确定的范围内的最小整数,求数列{}n B 的最大项的项数。
[解](1)[解](2)[解](3)22.(本小题满分18分)本题共有3个小题,第1小题满分5分,第2小题满分5分,第3小题满分8分。
已知复数y x y x i y x w yi x z m mi z '''+'=+=-=,,,,),0(10其中和φ均为实数,i 为虚数单位,且对于任意复数||2||,,0z w z zw z =⋅=有。
(1)试求m 的值,并分别写出x '和y '用x 、y 表示的关系式; (2)将(x 、y )作为点P 的坐标,(x '、y ')作为点Q 的坐标,上述关系可以看作是坐标平面上点的一个变换:它将平面上的点P 变到这一平面上的点Q ,当点P 在直线1+=x y 上移动时,试求点P 经该变换后得到的点Q 的轨迹方程;(3)是否存在这样的直线:它上面的任一点经上述变换后得到的点仍在该直线上?若存在,试求出所有这些直线;若不存在,则说明理由。
[解](1)[解](2)[解](3)2000年全国普通高等学校招生统一考试上海数学试卷(理工农医类)答案要点及评分标准说明1.本解答列出试题的一种或几种解法,如果考生的解法与所列解法不同,可参照解答中评分标准的精神进行评分。
2.评阅试卷,应坚持每题评阅以底,不要因为考生的解称中出现错误而中断对该题的评阅,当考生的解答在某一步出现错误,影响了后继部分,但该步以后的解答未改变这一题的内容和难度时,可视影响程度决定后面部分的给分,这时原则上不应超过后面部分应给分数之半,如果有较严重的概念性错误,就不给分。
3.第17至第22题中右端所注的分数,表示考生正确做到这一步应得的该题的累加分数,给分或扣分均以1分为单位。
解答一、(第1题至第12题)每一题正确的给4分,否则一律得零分。
1.4. 2.)3,21( 3.(-4,0),(6,0)。
4.2-e 。
5.1. 6.9. 7.侧棱相等/侧棱与底面所成角相等/…… 8.X . 9.-462。
10.141 11.32 12.),17(172121N n n b b b b b b n n ∈=-πΛΛ二、(第13题至第16题)第一题正确的给4分。
代号C A A D三、(第17题至第22题) 17.[解]设椭圆C 的方程为)(2 12222分Λ=+by a x由题意1,22,3===b c a 于是)(4 1922分的方程为椭圆Λ=+∴y x C⎪⎩⎪⎨⎧=++=++=,0273610192222x x y x x y 得由因为该二次方程的判别式△>0,所以直线与椭圆有两个不同交点, …(8分)设)(12 )51,59(,518),,(),,(212211分的中点坐标为故线段则设Λ--=+AB x xy x B y x A18.[解法一]如图建立空间直角坐标系 …(2分) 由题意,有A(0,2,0),C(2,0,0),E(1,1,0)。
设D 点的坐标为(0,0,z))0(φz ,则{}{})10( ,4,4,10142cos ,1010arccos ,2cos 42,BE )(6 ,,2,0,0,1,1222分的长度是故得所成的角的大小为与且则所成的角为与设分ΛΛBD z zBE AD z BE AD AD z AD BE ==+=∴+⋅=⋅-==θθθ又)(4 ,38,61分的体积是因此四面体ΛABCD BD BC AB V ABCD ⨯⨯=[解法二]过A 引BE 的平行线,交与CB 的延长线于F ,∠DAF 是异面直线BE 与AD 所成的角, ∴∠DAF=1010arccos …(4分)∵E 是AC 的中点,∴B 是CF 的中点, AF=2BE=22。
…(6分)又BF ,BA 分别是DF ,DA 的射影,且BF=BC=BA 。
∴DF=DA 。
…(8分)三角形ADF 是等腰三角形,20cos 12=∠⋅=DAFAF AD ,故422=-=AB AD BD ,…(10分) 又BD BC AB V ABCD⨯⨯=61,因此四面体ABCD的体积是38, …(12分)19.[解](1)当221)(,21++==xx x f a 时, )(x f Θ在区间),1(+∞上为增函数, …(3分))(x f Θ地区间),1(+∞上最小值为27)1(=f , …(6分)(2)[解法一]在区让),1(+∞上,202)(22φφa x x xa x x x f ++⇔++=恒成立恒成立, …(8分)设),1(,22+∞∈++=x a x xy ,1)1(222-++=++=a x a x x y 递增,∴当1=x 时,ay +=3min , …(12分) 于是当且仅当03minφa y +=时,函数0)(φx f 恒成立,故3-φa 。