Mx + M - Q = 0
( 5e)
xR
式中, qx、q 、qz为外载分量; 、Q x、Q 为剪力分量; 而面质量密度则为:
h
!2
p h = %( z) dz
-
h 2
( 5f)
1. 4 功能梯度圆柱壳动力方程
将式 ( 3) 、式 ( 1) 代入动力平衡方程 ( 5), 即可给出用中面位移分量 u、v、w ( 图 1) 表示的功能梯度圆柱壳
1. 3 动力平衡方程
和匀质壳一样, 壳体动力理论 [ 8] 给出圆柱壳内力动平衡方程为:
N x + Nx xR
= ph
2u t2
-
qx
( 5a)
Nx + N xR
+ Q = ph R
2v t2
-
q
Qx + Q xR
N -R
=
ph
2w t2
-
qz
( 5b) ( 5c)
Mx x
+
Mx R
-
Qx
=
0
( 5d)
W (x, ) = Cfw ( x ) gw ( ) 代入振型方程 ( 8) , 可给出振型系数 A、B、C 所应满足的方程组:
( (2 - S11 )A + S12B + S13 C = 0 S21A + ( ( 2 - S22 )B + S23 C = 0 S31A + S32B + ( ( 2 - S33 ) C = 0 式中, Sij ( i, j= 1, 2, 3)为功能梯度圆柱壳已知参数组成的函数, 而无量纲频率系数:
F 1 ( U, V, W ) + ph&2 U = 0 F2 (U, V, W ) + ph &2 V = 0 F3 ( U, V, W ) + ph&2W = 0 设立满足全部边界条件的分离变量振型函数:
( 7a) ( 7b) ( 7c)
( 8a) ( 8b) ( 8c)
U ( x, ) = A fu (x )gu ( ) V ( x, ) = Bfv ( x ) gv ( )
h
! N
=
2
-
h 2
∀
dz
=
K
0 + Kx
0 x
+
C!
+ Cx
!x
h
! N x
=
2
∃ -
h 2
x
dz
=
KG
0 x
+ CG
!x
h
! M x =
2
-
h 2
∀x
zdz
=
C
0 x
+
Cx
0 + D !x + D x !
h
! M
=
2
∀
-
h 2
zdz
=
C
0 + Cx
0 x
+ D!
+ Dx
!x
h
! M x
=
2
∃ -
第 25卷 第 6期 2005年 12月
地震工程与工程振动
EARTHQUAKE ENG INEER ING AND ENG INEER ING V IBRAT ION
文章编号: 1000 1301( 2005) 06 0038 05
V o .l 25, N o. 6 D ec. 2005
功能梯度复合材料圆柱壳固有频率解
973 计划及国家自然科学基金会组织与资助下, 功能梯度材料的基础研究工作也得到相当重视, 并开始展 开系统、深入、有计划的研究。
功能梯度材料是作为航空航天工业中特殊功能材料而开始研究的, 加上其发展时间较短, 因此功能梯度
收稿日期: 2005- 01- 24; 修订日期: 2005- 04- 10 基金项目: 国家自然科学基金项目 ( 10432030) 作者简介: 曹志远 ( 1938- ) , 男, 教授, 主要从事结构动力学与工程力学研究.
( i = 1, 2, 3)
( 14a)
其中
)=
1 3
h 2
x
z dz =
CG
0 x
+ DG
!x
( 3a) ( 3b) ( 3c)
( 3d) ( 3e) ( 3f)
40
地震工程与工程振动
25 卷
式中, 薄膜刚度:
弯曲刚度:
h
h
h
! ! ! K =
2
-
h 2
1
E -
(z #2
) (
z)
dz,
Kx
=
2
-
h 2
E 1
( z) #( - #2 (
z z
) )
( S212
+
S
2 23
+
S
2 31
)
( 13b)
c=
S11
S
2 23
+
S 22 S231
+
S
33S
2 12
+
2S12S23 S31 - S11S22 S33
( 13c)
式 ( 12)是关于 ( 2的三次代数方程, 可解得 3个根为
(
2 i
=-
1 3
2
a2 - 3b co s[ )+ 23∗( i - 1) ] + a
1 基本动力方程
1. 1 几何方程 根据壳体理论 [ 7] , 有和匀质圆柱壳一样的应变 -位移关系, 即
( 图 1) 中面应变:
0 x
=
ux,
0 = v + w, RR
0 x
=
v x
+
R
u
( 1a)
中面曲率:
!x = -
2w x2
,
!
=
1 R2
v-
2w
2
,
!x
=
1 R
v - 2 2w xx
( 1b)
本文对于功能梯度复合材料壳体结构, 首先在基本理论上将原本三维变系数控制方程转变为特殊各向 异性二维常系数方程, 对圆柱壳又采用轴向、周向分离变量振型函数, 求解动力特性问题, 得到壳体固有频率 及固有振型的一般性解法, 作为例子, 对于两端简支圆柱壳又给出了各阶固有频率的统一、显式解析解, 简明 而实用。
Cx
+ 2CG R2
3u x2
-
Kx R
u+ x
Cx
+ 2CG R
+ Dx
+ 2D G R2
3v x2
+
C R3
+
D R4
3v
3
-
K R2
+
C R3
v-
D
4w x4
+
2Dx
+ 2D G R2
4w x2
2
+
D R4
4w
4
+
2 Cx R
2w x2
+
2
C R3
2w
2
-
K R
2w
=
%h
2w t2
-
qz ( x,
Abstract: T he fundam enta l dynam ic equations of functiona lly graded m ateria l cy lindrical she ll are established. Then its general solution o f natura l frequencies and m ode shapes for various FGM cylindrica l shells is g iven and as an ex amp le the ana ly tica l expression of natural frequenc ies for cy lindrical she llw ith sim ple boundary cond ition is presen ted in th is paper. K ey w ord s: functional g raded m ater ia;l cy lindrical shel;l dynam ic equation; natural frequency
图 1 圆柱壳简图
壳内应变:
x=
0 x
+
z
!x,
=
0 + z !,
x=
0 x
+z
!x
( 1c)
1. 2 物理方程
根据壳体理论关于 ∀z 及 xz、 z的假定, 并计及功能梯度壳体材料特性沿厚度方向梯度变化特性, 圆柱
壳的应力-应变关系为:
∀x
=
1
E -
(z #2
) (
z
)
[
x + #( z )
]
∀
=
基本动力方程为
F 1 ( u, v, w ) = K
2u x2
+
KG R2
2
u
2
+
Kx
+ KG R
+
Cx
+ CG R2
2v - C x
3w x3
-
Cx + 2CG R2
3w x
2
+
Kx R
w x
=
%h
2u t2
-
qx (x,