温度（℃）
黏虫孵化历期平均温度与历期天数关系图
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若我们增加每一NaCl浓度下的观测次数，其散点图如下：
（可见其平均值更趋近于一条直线）
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平均数有一个特性，即在各种离差平方和中，以距平均数 的离差平方和最小。我们把观测值与回归估计值之间的离 差平方和最小时的回归线作为最好的回归线。其方法为最 小二乘法
X体重
Y身高
在大量测量各种体重人群的身高时会发现，虽然在同 样体重下，身高并不完全一样。但在每一体重下，都 有一个确定的身高分布与之相对应;
身高与体重之间存在相关关系。
第二节：直线回归 Linear Regression
一、直线回归方程的建立
例：土壤内NaCl含量对植物的生长有很大影响，NaCl含 量过高，将增加组织内无机盐的累积，抑制植物生长。下 表中的数据是每1000g土壤中所含NaCl的不同克数(X), 对植物单位叶面积干物重的影响。
x
y
施肥量 (可以严格地人为控制)
产量
自变量(independent variable) 因变量(dependent variable)
如果对x的每一个可能的值，都有随机变量y 的一个分布相对应，则称随机变量y对变量x 存在回归(regression)关系。
相关关系
X身高
Y体重
在大量测量各种身高人群的体重时会发现，虽然在同 样身高下，体重并不完全一样。但在每一身高下，都 有一个确定的体重分布与之相对应;
如果对于变量X的每一个可能的值xi,都有随机变量Y的一个yi 与之对应，则称随机变量Y对变量X存在回归关系。
为了确定相关变量之间的关系，首先应该收集一些数据，这 些数据应该是成对的，然后在直角坐标系上描述这些点，这 一组点集称为散点图。
为了研究父亲与成年儿子身高 之间的关系，卡尔.皮尔逊测量 了1078对父子的身高。把 1078对数字表示在坐标上， 如图。用水平轴X上的数代表 父亲身高，垂直轴Y上的数代 表儿子的身高，1078个点所 形成的图形是一个散点图。它 的形状象一块橄榄状的云，中 间的点密集，边沿的点稀少， 其主要部分是一个椭圆。
不同NaCl含量对单位叶面积干物重的影响
NaCl含量X(g/kg) 0 0.8 1.6 2.4 3.2 4.0 4.8
干重Y(mg/dm2) 80 90 95 115 130 115 135
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散点图如下
140
130
120
110
100
90
80
70
0
0.8
1.6
2.4
3.2
4
4.8
我们描绘散点的目的:（1）两变量之间的关系是否密切，能否用X来 估计Y；（2）两变量之间的关系是呈线性或某种曲线；（3）是否 存在某个点偏离过大；（4）编是辑否ppt存在其他规律。
第一节：回归与相关的概念
因果关系
相
一个变量的变化受另一个 变量或几个变量的制约
关
回归分析（regression analysis）
变 量 互依关系
两个以上变量之间共同受 到另外因素的影响
相关分析（编c辑opptrrelation analysis）
8
因果关系 一个变量的变化受另一个变量或几个变
量的制约
温度与幼虫孵化 人类的年龄与血压 身高与胸围、体重 溶液的浓度与OD值
相关关系：当一个或几个相互联系的变量取一定的数值时 ，与之相对应的另一变量的值虽然不确定，但它仍按某种规 律在一定的范围内变化。变量间的这种相互关系，称为具有 不确定性的相关关系
生物学中，研究两变量间的关系，主要是为了探求两变量的 内在联系，或者是从一个变量X去推测另一个随机变量Y.例 如，我们希望通过施肥量X去推测Y
直线相关与 回归分析
两变量或多变量之间的关系，总起来可分为两类，一类是函数关系，确 定关系的例子，在生物界中是极少见的。 生物中,大量存在的情况是:一种变量受另一种变量的影响,两者之间既有 关系，但又不存在完全确定的函数关系。知道其中一种变量，并不能精 确求出另一变量。下面请同学们举几个例子。 单位面积的施肥量、播种量和产量三者之间的关系。 树木胸径与树木高度的关系。 人类血压与年龄的关系。 玉米的穗长与穗重的关系。 人的身高与体重的关系。
散点图(scatter diagram)
两个变量间关系的性质（正向协同变化或 负向协同变化）和程度（关系是否密切） 两个变量间关系的类型（直线型或曲线型） 是否有异常观测值的干扰
4 3 2 1
123456 4 3 2 1
123456 4 3 2 1
123456
正向直线关系 负向直线关系
曲线关系
定性研究
而回归直线是指所有直线中最接近散点图中全部散点
的直线。设样本直线回编归辑p方pt 程为： yˆ abx 16
回归直线在平面坐标系中的位置取决于a,b的取值。
yˆ abx y
最小二乘法
n
(method of least square)
( y yˆ )2
1
最小
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天数（天）
40 yˆ5.7 03 92.3 53x17
30
20
11.8-----20.4
10
0 10 12 14 16 18 20 22
温度（℃）
用x估计y，存在随机误差，必须根据回归的数学模型 对随机误差进行估计，并对回归方程进行检验。
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直线回归方程(linear regression equation)
自变量
Y^ =a+bx
斜率(slope) 回归系数(regerssion coefficient)
截距(intercept) 回归截距
与x值相对应的依变量y的点估计值
yˆ abx
y
b=0
a>0,b>0 a=0
a>0,b<0
a<0,b>0
0
x
直线回归的假设检验
是否真正存在线性关系 回归关系是否显著 因此，求出回归方程后须作统计检验，称回归显著性检验。
不同NaCl含量对单位叶面积干物重的影响 方差分析表
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例：黏虫孵化历期平均温度与历期天数
变温量度1
变天量数2
X
Y
平均温度（℃） 历期天数（d）
11.8
30.1
14.7
17.3
15.6
16.7
16.8
13.6
17.1
11.9
18.8
10.7
19.5
8.3
20.4
6.7编辑ppt
收集数据
散点图
13
天数（天）
40
yˆ abx
30
20
10
0 10 12 14 16 18 20 22