《应用运筹学》补充练习题参考答案1、某商店要制定明年第一季度某种商品的进货和销售计划，已知该店的仓库容量最多可储存该种商品500件，而今年年底有200件存货。

该店在每月月初进货一次。

已知各个月份进货和销售该种商品的单价如下表所示：现在要确定每个月进货和销售多少件，才能使总利润最大，把这个问题表达成一个线性规划模型。

解：设X i是第i个月的进货件数，Y i是第i个月的销货件数（i=1, 2, 3），Z是总利润，于是这个问题可表达为：目标函数： Max Z=9Y1+8Y2+10Y3－8X1－5X2－9X3约束条件： 200+X1≤500200+X1－Y1+X2≤500 月初库存约束200+X1－Y1＋X2－Y2＋X3≤500200+X1-Y1≥ 0200+X1-Y1+X2-Y2≥ 0 月末库存约束200+X1-Y1+X2-Y2+X3-Y3≥ 0X1，X2，X3，Y1，Y2，Y3≥0EXCEL求解最优解结果：X1*=300，X2*=500，X3*=0，Y1*=500,Y2*=0，Y3*=500, Z*=41002、一种产品包含三个部件，它们是由四个车间生产的，每个车间的生产小时总数是有限的，下表中给出三个部件的生产率，目标是要确定每个车间应该把多少工时数分配到各个部件上，才能使完成的产品件数最多。

把这个问题表示成一个线性规划问题解：设X ij是车间i在制造部件j上所花的小时数，Y是完成产品的件数。

最终的目的是Y要满足条件：min{10X11+15X21+20X31+10X41，15X12+10X22+5X32+15X42，5X13+5X23+10X33+20X43}可将以上非线性条件转化为以下线性规划模型：目标函数： Max Z = Y约束条件： Y≤10X11+15X21+20X31+10X41Y≤15X12+10X22+5X32+15X42Y≤5X13+5X23+10X33+20X43X11+X12+X13≤100X21+X22+X23≤150X31+X32+X33≤80X41+X42+X43≤200X ij≥0（i=1，2，3，4；j=1，2，3）, Y≥0EXCEL求解最优解结果：X11*=，X12*=，X13*=， X21*=， X22*=， X23*=X31*=，X32*=，X33*=， Y* =3、一个投资者打算把它的100000元进行投资，有两种投资方案可供选择。

第一种投资保证每１元投资一年后可赚７角钱。

第二种投资保证每１元投资两年后可赚２元。

但对第二种投资，投资的时间必须是两年的倍数才行。

假设每年年初都可投资。

为了使投资者在第三年年底赚到的钱最多，他应该怎样投资？把这个问题表示成一个线性规划问题。

解：设X i1和X i2是第一种方案和第二种方案在第i年年初的投资额（i =1, 2, 3），Z是总利润，于是这个问题的线性规划模型是：目标函数：Max Z= 2X22+（第三年年末的收益为当年第一方案和第二年第二方案的收益）约束条件：X11+X12≤100 000 (第一年年初总投资额不超过计划投资额)X21+X22≤（第二年年初投资额不超过第一年第一方案投资收回的本利值）X31≤3X12+（第三年年初投资额不超过第二年年底收回的本利值）X i1，X i2≥0（i=1，2，3）EXCEL求解最优解结果：X11*=，X12*=，X21*=， X22*=， X31*=， Z*=4、有A，B两种产品，都需要经过前后两道化学反应过程。

每一个单位的A产品需要前道过程２小时和后道过程３小时。

每一个单位的B产品需要前道过程３小时和后道过程４小时。

可供利用的前道过程有16小时，后道过程时间有24小时。

每生产一个单位B产品的同时，会产生两个单位的副产品C，且不需要外加任何费用。

副产品C最多可售出５个单位，其余的只能加以销毁，每个单位的销毁费用是２元。

出售A产品每单位可获利４元，B产品每单位可获利10元，而出售副产品C每单位可获利3元。

试建立为了使获得的总利润达到最大的线性规划模型。

解：设X1，X2分别是产品A，产品B的产量，X3是副产品C的销售量，X4是副产品C的销毁量，Z是总利润，于是这个问题的线性规划模型是：目标函数：Max Z=4X1+10X2+3X3—2X4约束条件： 2X2= X3+X4X3≤52X1+3X3≤163X1+4X2≤24X1，X2，X3，X4≥0EXCEL求解最优解结果：X1*=，X2*=，X3*=， Z*=5、考虑下面的线性规划问题：目标函数：Max Z=30X1+20X2约束条件： 2X1+ X2≤40X1+X2≤25X1，X2≥0用图解法找出最优解X1和X2。

解：图解法结果如下，最优解：X1*=15; X2=10; Z*=6506、某厂生产甲，乙两种产品，每种产品都要在A,B两道工序上加工。

其中B工序可由B1或B2设备完成，但乙产品不能用B1加工。

生产这两种产品都需要C,D,E三种原材料，有关数据如下所示。

又据市场预测，甲产品每天销售不超过30件。

问应如何安排生产才能获解：设甲、乙两种产品分别生产X1，X2件，其中，甲产品在B1设备上加工X3工时、在B2设备上加工X4工时，则获利为：Z=80X1+100X2-6(2X1+X2)-2X3-5*(X4+4X2)-2*(3X1+12X2)-1*(5X1+3X2)-4*(4X1+-26X1-29X2 化简后得到：目标函数：Max Z=15X1+12X2－2X3－5X4. 2X1+X2≤80X3≤604X2+X4≤703X1+12X2≤3005X1+3X2≤1004X1+≤150X1≤30X 1=3X 3+X 4 (B1每工时完成31件甲产品，共X 3个工时，B2完成X 4件)X j ≥0, j=1,2,3,4EXCEL 求解最优解结果：X 1*= ，X 2*= ，X 3*=， X 4*= , Z*=7、制造某机床需要A 、B 、C 三种轴，其规格和需要量如下表所示。

各种轴都用长米长的圆钢来截毛坯。

如果制造100台机床，问最少要用多少根圆钢？试建立线性规划模型。

解：用米圆钢截所需规格长度的所有各种可能性如下表所示：设按第j 种截法截X j 根圆钢，则相应的线性规划模型为： 目标函数： Min Z =∑=51j X j: X 1+X 2 ≥100X 1+ 2X 3+ X 4 ≥200 2X 2+ X 3+2X 4+4X 5≥400x j ≥0且为整数（j=1,2 (5)EXCEL 求解最优解结果：X 1*= 0 ，X 2*=100 ，X 3*= 100 , X 4*= 0 , X 5*= 25 , Z*= 225 8、某木材公司经营的木材贮存在仓库中，最大贮存量为20万米3，由于木材价格随季节变化，该公司于每季初购进木材，一部分当季出售，一部分贮存以后出售。

贮存费为a+bu ，其中a=7元/米3，b=10元/米3，u 为贮存的季度数。

由于木材久贮易损，因此当年所有库存应于秋末售完。

各季木材单价及销量如下表所示。

为获全年最大利润，该公司各季应分别购销多少木材？试建立线性规划模型。

解：设Y i （i=1,2,3,4）分别为冬，春，夏，秋四季采购的木材量（单位：m 3），X ij （i ，j=1，2，3，4）代表第i 季节采购用于第j 季节销售的木材量（m 3），因此，冬季以310元/ m3购入Y1, 当季以321元/ m3卖出X11,同时，以7+10*1的成本存储到春季出售的有X12,以7+10*2的成本存储到夏季出售的有X13, 以7+10*3的成本存储到秋季出售的有X14；同样地，春季购入 ......。

相应的线性规划模型为：目标函数：MaxZ=（321X11+316X12+325X13+307X14－310Y1）+（333X22+335X23+317X24－325Y2）＋（352X33+327X34－348Y3）+（344X44－340Y4）: Y1≤200 000Y1－X11－X12－X13－X14=0X11 ≤100 000X12+X13+X14+Y2≤200 000Y2－X22－X23－X24 =0X12+X22≤140 000X13+X14+X23+X24+Y3≤200 000Y3―X33―X3 4＝0X13+X23+X33 ≤200 000X14+X24+X34+Y4≤200 000Y4－X44 =0X14+X24+X34+X44 ≤160 000x ij≥0，y i≥0（i,j=1,2,3,4）EXCEL求解最优解结果：X11*=，X12*=，X13*= ，X14*= Y1*= ,X22*=，X23*=，X24*= ，Y2*= ,X33*=，X34*=，Y3*= ,X44*=，Y4*= , Z*=9、对以下线性规划问题：Min Z＝2X1+3X2+5X3+2X4+3X5s. t. X1+X2+2X3+X4+3X5 ≥42X1 - X2+3X3+X4+X5 ≥3X1, X2, X3, X4,X5 ≥ 0已知其对偶问题的最优解为 Y1*=4/5, Y2*=3/5, W* = 5。

试求出原问题的解。

解：设原问题的两个剩余变量分别为：X6 ,X7原问题的对偶问题为：Max W＝4Y1+3Y2. Y1+2Y2≤2松弛变量 Y3Y1-Y2≤3松弛变量 Y42Y1+3Y2≤5松弛变量 Y5Y1+Y2≤2松弛变量 Y63Y1+ Y2≤3松弛变量 Y7Y1,Y2,Y3,Y4≥ 0因为Y1*=4/5, Y2*=3/5,因此，计算对偶问题松弛变量值为：Y3*=0，Y4*=14/3，Y5*=8/5，Y6*=3/5，Y7*=0根据对偶性质(互补松弛定理)则有：X2*=0，X3*=0，X4*=0，X6*=0，X7*=0进一步有： 2X1+3X5=5X1+3X5=42X1+X5=3得到：X1*=1,X5*=1原问题的解为：X1*=1, X2*=0，X3*=0，X4*=0，X5*=1,Z* = 510、某厂拟生产甲、乙、丙三种产品，都需要在A、B两种设备上加工，有关数据如下表。

利用对偶性质分析以下问题：1）如何充分发挥设备潜力，使产品的总产值最大？2）该厂如果以每台时350元的租金租外厂的A设备，是否合算？解：设生产甲、乙、丙三种产品分别为X1,X2,X3件，线性规划模型为：目标函数: Max Z = 3X1+2X2+X3约束条件： X1+2X2+X3≤400 松弛变量为X42X1+X2+2X3≤500 松弛变量为X5X1,X2,X3≥0此原问题的对偶问题为：目标函数: Min W = 400Y1+500Y2约束条件： Y1+2Y2≥3 剩余变量为Y32Y1+ Y2≥2 剩余变量为Y4Y1+2Y2≥1 剩余变量为Y5Y1,Y2≥0对偶问题可通过图解法求解，得到最优解结果为：Y1* = 1/3，Y2* = 4/3进一步可知：Y3* =0，Y4* = 0，Y5* = 2根据互补松弛定理可知：X3*=0,X4*=0，X5*=0可得到： X1+2X2=4002X1+X2=500可解得：X1*=200，X2*=100根据以上计算结果可知：1)应该生产甲产品200件，乙产品100件，丙产品不生产，此时总产值最大为800千元。