第二十一讲余数的性质与计算37』桂除的余数足多少？我知沽玳，余数昂7!^1这一讲我们来学习余数问题.在整数的除法中，只有能整除和不能整除两种情况. 当不能整除时，就会产生余数.一般地，如果a是整数，b是整数（b丰0）,若有a+ b=q r （也就是a b q r ）, 0当r 0 时，我们称a 能被b 整除；当r 0 时，我们称a 不能被b 整除，r 为a 除以b 的余数，q 为a 除以b 的商余数问题和整除问题是有密切关系的，因为只要我们去掉余数，就能和整除问题联系在一起了．余数有如下一些重要性质．基本性质：被除数=除数X商（当余数大于0时也可称为不完全商）+余数除数=（被除数-余数）*商；商=（被除数-余数）十除数.余数小于除数．理解这条性质时，要与整除性联系起来，从被除数中减掉余数，那么所得到的差就能够被除数整除了．在一些题目中因为余数的存在，不便于我们计算，去掉余数，回到我们比较熟悉的整除性问题，那么问题就会变得简单了．例题1．用一个自然数去除另一个整数，商40，余数是16，被除数、除数的和是877，求被除数和除数各是多少？「分析」如果设除数为a,被除数可以表示为什么？练习1．甲、乙两数的和是2014,甲数除以乙数商99余14,求甲、乙两数．我们之前学过一些特殊数（如2、3、4、5、7、8、9、11、13、25、99、125）的整除特性．这些数的整除特性稍加改造,即可成为求解余数的一类简便算法：1）一个数除以2或5的余数,等于这个数的个位数字除以2或5的余数；一个数除以4或25的余数,等于这个数的末两位数除以4或25的余数；一个数除以8或125的余数,等于这个数的末三位数除以8或125 的余数；2）一个数除以3或9的余数,等于这个数的各位数字和除以3或9的余数；一个数除以99（包括11、33）的余数,等于将它两位截断再求和之后的余数；此外,求3和9的余数还可应用乱切的方法．（3）一个数除以11 的余数，等于它的奇位数字和减去偶位数字和除以11的余数，如果奇位数字和比偶位数字和小，则先加上若干个11 再减即可．（4）一个数除以7、11和13的余数，等于将它三位截断之后，奇数段之和减去偶数段之和除以7、11 和13 的余数，如果奇数段之和比偶数段之和小，则加上若干个7、11 或13再减即可．这种利用整除特性来计算余数的方法叫做特性求余法．例题2．1）20132013 除以4和8 的余数分别是多少？2）20142014 除以3和9 的余数分别是多少？分析」根据4、8、3、9 的特性，可以很快计算出结果．练习2．（1）20121221 除以5和25 的余数分别是多少？（2）20130209 除以3和9 的余数分别是多少？例题3．（1）123456789 除以7和11的余数分别是多少？87654321 呢？（2）360360360 除以99 的余数是多少？「分析」根据7、1、99 的特性，可以计算出结果．在截断的时候要特别小心．练习3．201420132012 除以13和99 的余数分别是多少？为了更好地了解余数的其它一些重要性质，我们再来做几个练习：1）211除以9的余数是 _______ ；（2）137除以9的余数是_________(3) 211 137的和除以9的余数是___________ ; ( 4) 211 137的差除以9的余数是(5)211 137的积除以9的余数是__________ ; (6) 1372除以9的余数是________比较上面的结果，我们发现余数还有一些很好的性质：和的余数等于余数的和；差的余数等于余数的差；积的余数等于余数的积•这三条性质分别称为余数的可加性、可减性和可乘性•在计算一个算式的结果除以某个数的余数时，可以利用上述性每个数都用它除以7的质进行简算.例如计算33 37 15 80的结果除以7的余数就可以像右侧这样计算•这一简算方法又称替换求余法•需要提醒大家的是，虽然上述三条计算余数的口诀朗朗上口，但并不严格，在使用时还需要注意：(1)如果替换之后余数的计算结果大于除数，还需要再次计算结果的余数.例如：在计算423 317除以6的余数时，利用“和的余数等于余数的和”，结果就变成了3 5 8, 8 6，所以还需要再次计算8除以6的余数是2,才是423 317除以6最后的余数•再比如：在计算423 317除以6的余数时，也会遇到3 5 15 6的情况，同样的还需要计算15除以6的余数是3，才是最终的结果.(2)在计算减法时，会出现余数不够减的情况，这时只要再加上除数或除数的倍数即可•例如：在计算423 317除以6的余数时，会发现结果变成了3 5不够减.此时，只要再加上6,用6 3 5 4来计算即可.例题4.一年有365天，轮船制造厂每天都可以生产零件1234个•年终将这些零件按6个一包的规格打包，最后一包不够6个.请问：最后一包有多少个零件？「分析」最后一包的零件数实际上就是零件总数除以19的余数.练习4．（1）123 456 789除以111 的余数是多少？（2）224468 6678 的结果除以22 余数是多少？如果我们将“特性求余法”和“替换求余法”相结合，便可大大简化余数的计算．例题5．（1）87784 49235 81368除以4、9 的余数分别是多少？（2）365366+367368 369370除以7、11、13的余数分别是多少？「分析」要把结果算出来，再求余数，计算量很大．看看如何利用“替换求余”以及“特性求余”的方法来进行求解．例题6．（1）2100的个位数字是多少？32014除以10 的余数是多少？（2）32014除以7 的余数是多少？「分析」一个数的个位数字就是它除以10 的余数，大家来找一下个位数字的变化规律．小熊分粽子今天是端午节，猴爸爸一大早就领着猴儿们去观看龙舟比赛。

在回家的路上，猴爸爸买了一筐粽子准备分给孩子们。

回到家，猴爸爸将粽子数了数，一共70多个。

猴爸爸把9个孩子叫到身边说：“孩子们，今天过节，爸爸要将这些粽子分给你们吃。

”说完，就开始分粽子，可猴爸爸怎么分也不能将粽子均分给孩子们。

正在犯愁时，门铃响了，原来是小熊来串门。

小熊是出了名的小精灵，脑瓜特灵活。

猴爸爸一见他就高兴地说：“小熊老弟，你来得正好，我正有问题要找你帮忙呢。

于是，猴爸爸将自己分粽子的事情告诉了小熊。

小熊眼珠一转，计上心头，笑着说：“猴大哥，这件事好办，只要你答应将分剩下的粽子给我，我保证把这些粽子均匀地分给你的孩子们。

”猴爸爸一听小熊有办法，连想都没想就答应了小熊的要求。

小熊将筐中的粽子一个个地分给猴儿们，猴儿们帮分到了同样多的粽子，谁也没有意见，都高高兴兴地吃起了粽子。

这时，猴爸爸却不高兴了，因为他发现，小熊分得的粽子个数最多。

他生气地对小熊说：“熊老弟，这就是你不对了，你明知道你得的粽子会最多，为什么还要骗我上你的当呢？你也太不够朋友了。

”小熊笑着说：“猴大哥，我们可是有言在先，你可是答应了我的条件，我才帮你分粽子的，你难道想反悔吗？那才真是不够朋友呢！”猴爸爸自知理亏，不好再争辩什么，只是埋怨自己不该轻信小熊的话，叹了叹气说：“谁叫我当初不多读点书呢! ”猴爸爸只顾着生气，猴儿们聚在一起吃得正香，谁也没有再理会小熊，小熊见自己不再受欢迎，只好拿着分到的粽子离开了猴子山。

小朋友，请你想一想，猴爸爸一共买了多少个粽子?猴儿们和小熊各分得了多少个粽子?作业1. 1234567除以3、5、9 的余数分别是多少？作业2. 151515151515 除以8、11、7的余数分别是多少？作业3. 算式2009 2009 2010 2010 2011 2011除以31的余数是多少？作业4. 自然数42011除以9 的余数是多少？作业5. 算式188 288 388 L 1988 2088的结果除以9、13 的余数分别是多少？第二十一讲余数的性质与计算例题1. 答案：856；21详解：除数为（877 16）（40 1） 21 ，被除数为877 21 856 ．例题2. 答案：（1）1；5．（2）2；5详解：一个数除以4和8的余数，只要分别看这个数末两位和末三位除以4和8的余数即可．一个数除以3和9的余数，只要分别看这个数数字和除以3和9的余数即可．例题3. 答案：（1）1；5．6；7．．（2）63详解：（1）123 789 456 456 ，456除以7和11的余数分别为1和5，因此123456789 除以7 和11 的余数分别为1 和5．用321 87 654 408 654 ，发现不够减，要求除以7的余数，加上7的倍数即可．比如：408 654 350 104 ，104除以7余6，因此87654321 除以7 余6．求除以11 的余数，可用1 3 5 7 （2 4 6 8） 16 20 ，发现不够减，加上11的倍数即可，16 20 11 7，因此87654321除以11余7．（2）一个数除以99 的余数，等于将它两位截断再求和之后的余数．容易发现360360 可被99 乘除，因此只要看360 除以99 的余数即可，因此余数为63．例题4. 答案：2详解：就是要求算式365 1234的结果除以6 的余数．利用替换求余法易知结果是2．例题5. 答案：（1）0；2．（2）2；2；2详解：特性求余法和替换求余法结合使用．例题6. 答案：（1）6；9．（2）4详解：（1）2n的个位数字依次是2、4、8、6、…每四个数一个周期.100除以4的余数是0，那么2100的个位数字是周期中的第四个数6. 3n的个位数字依次是3、9、7、1、… 每四个数一个周期．2014 除以4 的余数是2，那么32014的个位数字是周期中的第二个数9（2）3n除以7的余数依次是3、2、6、4、5、1、…每六个数一个周期. 2014除以6的余数是4，所以32014除以7的余数是周期中的第四个数4．练习1. 答案：1994；20简答：设乙数为a,则甲数为99a 14，那么有a 99a 14 2014, a 20 .可求出甲数为1994，乙数为20．练习2. 答案：（1）1；21．（2）2；8简答：（1）利用末位判别法；（2）利用数字和．练习3. 答案：8；0简答：三位截断后，奇段和为420 12 432 ，偶段和为201 132 333 ，432 333 99 ，除以13 的余数是8．两位截断后，所有段的和是20 14 20 13 20 12 99 ，除以99 的余数是0．练习4. 答案：（1）36；（2）12 简答：利用替换求余法计算．作业1. 答案：1，2，1简答：利用特征求余法求解．作业2. 答案：3，2，0简答：利用特征求余法求解．作业3. 答案：15．简答：利用替换求余法求解．作业4. 答案：4．简答：利用周期求余法求解．作业5. 答案：8，10．简答：188 288 388 L 1988 2088 188 2088 10 ，然后利用替换求余法求解．。