x k0 (1 ekt ) k
lim x(t) k0
t
k
静脉滴注的速率越大，最后体 内药量的稳定水平越高。
例4.（流行病数学模型）
无移除的流行病模型：
（1）感染通过一个团体成员之间的接触而传播， 感染者不因死亡、痊愈或隔离而被移除；
（2）团体是封闭的，总人数为N，最初假设只
有一个感染者； （3）团体种各成员之间接触机会均等，因此易 感者转化为感染者的变化率与当时的易感人数 和感染人数的乘积成正比。
1 dx r kx x dt
(k、r为正常数)
试分析该水池中大肠杆菌的繁殖规律。
解： 将关于相对增殖率的关系式进行变量
分离，得
dx dt
x(r kx)
两边积分，得： x Cert r kx
假设初次取样即t=0时，x x0. 代入上式，有 C x0
r kx0
于是有
将初始条件 t 0时M M0 代入，得 C M0 因此镭的质量M关于时间t 的变化规律为：
M
(t)

M
ekt
0
.
当变量关于时间的变化率与变量的量成 正比时，这个变量总是按指数规律变化。
例如，牛顿冷却定律、化学中的一 级反应、早期肿瘤的生长、药物的分解 等自然现象，都按指数规律变化。
指数生 长模型
例2.（细菌增殖模型）
理想环境：
（1）除系统本身的繁殖外，没有由系统外向 系统内的迁入和由系统内向外迁出等情况；
（2）系统本身的繁殖不受空间和营养供应的 限制； （3）温度、湿度等各项环境因素均对系统适பைடு நூலகம்宜。
检验人员对某蓄水池定期抽取单位容积水样 观察，测得该水池中大肠杆菌的相对增殖率为
单位时间内单位数 量的生物的增长。
解：记时刻t的未感染人数为S，已感染人
数为I，根据以上假设即可建立下面
的微分方程：
dS SI
dt 其中 S I N, I (0) 1 代入上式，得
dS S(N S)
dt
分离变量后积分，得

S
dS (N
S
)

dt
即 1 ln S t C
N NS 再由初始条件 I (0) 1，可得
x x0 ert r kx r kx0
或
x

k

r
r kx0
ert
x0
自然生长方程
当t 时，x r .
r
k
即 是该蓄水池中大肠杆菌密度的极限值。
k
例3.（药物动力学一室模型）
药物动力学是一门研究药物、毒物 及其代谢物在机体内的吸收、分布、代 谢和排泄过程定量规律的科学。
刻0到时刻t的消耗量为M0 M (t)。
根据导数的定义，镭的衰变速度就是镭
的消耗量关于时间的导数，即
d dt [M 0

M (t)]


dM dt
将“镭的衰变速度与存量成正比”表达成
数学语言，即写成微分方程，得
dM kM (常数k 0) dt
分离变量、两边积分，得
ln M kt ln C 或 M Cekt
例1.（放射性元素的衰变） 放射性元素因不断放射出各种射线
而逐渐减少其质量的现象，称为衰变。
由原子物理学知道，放射性元素镭的衰变
速度与存量成正比，比例系数为k（k>0）。如 果当时间t=0时，镭的质量为M 0 ，求镭的质量 M关于时间t的变化规律M (t) 。
解：设镭在时刻t的留存量为M(t)，则镭从时
微分方程的应用
数学模型
根据研究对象的内在规律运用适当 的数学工具建立起来的一种数学结构。
微分方程是建立数学模型时应用
得最为广泛的工具之一。
一、微分方程建模的基本步骤：
1、根据已知规律建立微分方程； 2、根据已知条件找出初始条件； 3、解微分方程(求通解、特解)； 4、用所得结果解释实际问题。
二、生物医药模型举例
C 1 ln( N 1) N
因此，有 1 ln S t 1 ln( N 1)
N NS
N
整理后得：
S

N(N (N 1)
1) eNt
当t 时，S 0,从而有I N.
结论：对于无移除的流行病，最终将导 致团体内全部成员被感染。
假定药物以恒定的速率 k0 进行静脉滴
注，试求体内药量随时间的变化规律。
解：假定药物在体内
按一级速率过程 k0 v, x
消除，消除速率
常数为k .
k
设静脉滴注t时刻体内药量为x(t),则有
dx dt

k0

kx
dx dt

k0

kx
此方程是一个可分离变量的一阶微分方程，
易求得其在初始条件t=0时x=0下的特解为