第三章 一阶微分方程的解的存在定理例3-1 求方程22y x dxdy+= 满足初始条件0)0(=y 的解的逐次逼近)(),(),(321x y x y x y ，并求出h 的最大值，其中h 的意义同解的存在唯一性定理中的h 。

解 函数22),(y x y x f +=在整个平面上有意义，则在以原点为中心的任一闭矩形区域b y a x D ≤≤,:上均满足解的存在唯一性定理的条件，初值问题⎪⎩⎪⎨⎧=+=0)0(22y yx dxdy 的解在],[h h -上存在唯一，其中)(max ),,min(22),(y x M Mba h D y x +==∈。

因为逐次逼近函数序列为⎰-+=xx n n dx x y x f y x y 0))(,()(10，此时，2200),(,0,0y x y x f y x +===，所以0)(0=x y ，⎰=+=xx dx x y x x y 0320213)]([)(，|633)]([)(7032122x x dx x y x x y x+=+=⎰，⎰⎰+++=+=xxdxx x x x dx x y x x y 01410622223)396918929()]([)(5953520792633151173x x x x +++=。

现在求h 的最大值。

因为 ),,min(22b a ba h +=对任给的正数b a ,，ab b a 222≥+，上式中，当 b a = 时，22ba b+取得最大值aab b 212=。

此时，)21,min()2,min(a a ab b a h ==，当且仅当aa 21=，即22==b a 时，h 取得最大值为22。

评注：本题主要考查对初值问题的解的存在唯一定理及其证明过程的基本思想（逐次逼近方法）的理解。

特别地，对其中的by a x D y x f M Mba h D y x ≤≤==∈,:),,(max ),,min(),(等常数意义的理解和对逐次逼近函数列⎰-+=xx n n dx x y x f y x y 0))(,()(10的构造过程的理解。

例3-2 证明下列初值问题的解在指定区间上存在且唯一。

1） 210,0)0(cos 22≤≤=+='x y x y y ，。

2） 322)21(0,0)0(≤≤=+='x y y x y ，。

|证 1） 以原点为中心作闭矩形区域1,21:≤≤y x D 。

易验证22cos ),(x y y x f +=在区域D 上满足解的存在唯一性定理的条件，求得2cos m ax 22),(=+=∈x y M D y x ，则21)21,21min(==h 。

因此初值问题⎩⎨⎧=+='0)0(cos 22y x y y 的解在]21,21[-上存在唯一，从而在区间]21,0[上方程 cos 22，x y y +='满足条件0)0( =y 的解存在唯一。

2） 以原点为中心作闭矩形区域b y a x D ≤≤,:。

易验证x y y x f +=2),(在D 上满足解的存在唯一性定理的条件，并求得22),(m ax b a x y M Dy x +=+=∈，则),min(2b a ba h +=。

由于b a b a 22≥+，所以当2b a =时，当2b a +取到最小值b a 2，从而2ba b+可取到最大值aba b 212=，故)21,min(aa h =。

当且仅当aa 21=，即3132)21(,)21(==b a 时，h 取到最大值为32)21(=h 。

]即证明了初值问题⎩⎨⎧=+='0)0(2y x y y 的解在区间])21(,)21([3232-上存在唯一。

从而在区间])21(,0[32上解存在唯一。

评注：此例是应用解的存在唯一性定理，求出初值问题解存在唯一的区间。

一般解法是先作出适当的闭矩形区域；然后验证在此区域中满足解的存在唯一性定理的条件；最后求出定理中的h 。

例3-3 证明如果在闭矩形域D 上yf∂∂存在且连续, 则),(y x f 在D 上关于y 满足利普希兹条件，反之不成立。

证 因为在闭矩形域D 上y f ∂∂存在且连续,所以yf ∂∂在区域D 上有界，即0>∃M ，D y x ∈∀),(有M yy x f ≤∂∂),( 成立，利用中值定理，D y x y x ∈∀),(),,(212121),(),(),(y y yx f y x f y x f -⋅∂∂-ξ＝21y y M -≤， 其中ξ是介于21,y y 之间的点，命题得证。

反之不成立。

,因为对于方程y dxdy=，取以原点为中心的矩形域D ，y y x f =),(在0=y 无导数，但212121),(),(y y y y y x f y x f -≤--＝，故),(y x f 在D 上关于y 满足利普希兹条件。

评注：通过本例的证明显然可以得到下面结论：若yf∂∂在某矩形区域D 内某一点),(00y x 处不存在，且在),(00y x 的邻域内无界，则),(y x f 在D 上关于y 不满足利普希兹条件。

例3-4 举例说明定理 中的两个条件是保证初值问题的解存在唯一的充分条件，而非必要条件。

解 1） 当连续条件不满足时，解也可能存在唯一。

如方程⎩⎨⎧≠≠===ax y a ax y a y x f dx dy00 ),(， 显然),(y x f 在以原点为中心的矩形域中不连续，间断点为直线ax y =，但解存在唯一，过原点的解为ax y =，0≠a 。

2） 当利普希兹条件不满足时，解也可能存在唯一。

如方程⎩⎨⎧=≠==0 00 ln ),(y y y y y x f dx dy， ;由于0ln 0ln )0,(),(11111-=-=-y y y y x f y x f ， ∞→→11ln ,0y y ，无界，因而),(y x f 在)0,(x 的任何邻域内不满足利普希兹条件。

然而y y dxdyln =，dx y y dy =ln 1ln ln C x y +=，x e C y 2ln =，⎪⎩⎪⎨⎧=±=02y e y xeC ， 可见方程通过)0,(x 解存在唯一。

评注：在应用定理时，一定要注意，当条件不满足时，不能得出解不存在唯一的结论。

例3-5 利用解的存在唯一性定理，寻找区域G ，使得G y x ∈∀),(00，方程~21y dxdy-=满足初始条件00)(y x y =的解存在唯一。

解 设21),(y y x f -=，显然，它在整个平面上连续。

而21),(y yy y x f --=∂∂，由例3-3，在不包含1±=y 的区域内，有21),(y y x f -=满足利普希兹条件。

若1±=y 时，y y x f ∂∂),(不存在，但当1±→y ，yy x f ∂∂),(无界，即在包含点)1,(x 或)1,(-x 的任何区域中利普希兹条件不成立。

故得所求区域为{}+∞<<<<--<<-∞+∞<<∞-=x x y x y x G 1,11,1,),(。

评注：寻找解的存在唯一性定理中的条件所满足的区域，就是寻找),(y x f 连续和关于y 满足利普希兹条件的区域。

对于所得到的区域G ，G y x ∈∀),(00，都能存在一个完全包含在G 内的闭矩形区域，使得在此矩形域中满足解的存在唯一性定理的条件，从而保证初值问题的解存在唯一。

例3-6 对于方程xydx dy =和点),0(0y 能否应用定理 解 当00≠y 时，我们可以考虑方程yx dy dx =， （其右端函数y x y x f =),(满足定理的条件，即方程yxdy dx =通过点),0(0y 的解存在唯一，此时解为0=x 。

00=y 时，定理不能用。

事实上，由方程xydx dy =的通解表达式Cx y =知，方程通过)0,0(的解不为一。

评注：在研究解的存在唯一性时，也可以将x 视为y 的函数。

例3-7 能否用逐次逼近序列求初值问题⎪⎩⎪⎨⎧==0)0(31y y dxdy的解。

解 不能，因为用逐次逼近函数序列00)(y x y =，⎰-+=xx n n dx x y x f y x y 0))(,()(10得0)(0=x φ，00)(01==⎰xdx x φ，．．．，0)(=x φn ，．．．。

即{})(x φn 收敛于解0≡y 。

但另一方面，通过方程直接求解得2332)(⎪⎭⎫⎝⎛=x x y 也是方程31y dxdy=满足条件0)0(=y 的解，即用逐次逼近函数序列就不能得到此解。

评注：应在保证初值问题解存在唯一的情况下，利用逐次逼近序列序列求近似解。

、例3-8 证明：如果函数),(y x f 于整个xoy 平面上连续有界，且关于y 满足局部利普希兹条件，则方程),(y x f dxdy=的任一解均可以延拓到区间+∞<<∞-x 。

证 易验证),(y x f 满足延拓定理的推论的条件，则过平面上任一点),(00y x 的解存在唯一且可延拓，设过),(00y x 的解为),,(00y x x ϕ。

因为),(y x f 有界，即2),(,0R y x M ∈∀>∃，均有不等式M y x f <),(成立，我们考虑下列三个初值问题⎪⎩⎪⎨⎧=-=00)(y x y Mdxdy， ⎪⎩⎪⎨⎧==00)(),(y x y y x f dxdy， ⎪⎩⎪⎨⎧==00)(y x y Mdxdy，显然，M y x f M <<-),(，由第一比较定理，得，当0x x >时，000000)(),,()(y x x M y x x y x x M +-<<+--ϕ ， 当0x x <时，000000)(),,()(y x x M y x x y x x M +--<<+-ϕ，即对任何有限区间),(βα，当x 趋于区间端点时，),,(00y x x ϕ都不可能无界，由延拓定理的推论知，),,(00y x x ϕ的解可延拓到整个区间),(+∞-∞。

又由),(00y x 的任意性，命题得证。

评注：解的延拓定理的条件再加上),(y x f 有界是保证解的存在区间为),(+∞-∞的充分条件，而非必要条件，比如柯西问题+∞<⎪⎩⎪⎨⎧=+='y y x y y y ,)(1002)的解为)(C x sh y +=，其存在区间为),(+∞-∞，而21y +在xoy 面上无界。

例3-9 设),(y x f 在2R 上连续，求证：对R x ∈∀0，只要0y 充分小，初值问题⎩⎨⎧=-='0022)(),()(y x y y x f e y y x （1） 的解必可延拓到),[0+∞x 。