二、实验原理
1． 脉冲响应不变法
用数字滤波器的单位脉冲响应序列 h（a）模仿模拟滤波器的冲激响应 ha（t）, 让 h（a）正好等于 ha（t）的采样值，即 h（n）=ha（nt） ，其中 T 为采样间隔， 如果以 Ha （ s）及 H(z) 分别表示 ha （ t）的拉式换及 h （ n ）的 Z 变换，则
2、T wp1 =
=
0.001;fs 2*0;fc
=
200;fr
=
300;
2*pi*fr;
[N1,wn1] = [B1,A1] =
buttord(wp1,wr1,1,25,'s') butter(N1,wn1,'s'); impinvar(B1,A1,fs);%脉冲响应不变法
N=4，为四阶切比雪夫带阻滤波器，由图知满足设计要求。
四、实验总结
通过这次实验， 我掌握了双线性变换法及脉冲相应不变法设计 IIR 数字滤波 器的具体设计方法及其原理，熟悉用双线性变换法及脉冲响应不变法设计低通、 高通和带通 IIR 数字滤波器的计算机编程。
实验四、FIR 数字滤波器的设计
一、思考题
3、
分析： N=9，为九阶巴特沃思低通滤波器，从图中可以看出通带波动和阻带衰减都 满足设计要求。 N=5，为五阶切比雪夫低通滤波器，从图中可以看出通带波动和阻带衰减都 满足设计要求。 N=4，为四阶椭圆型数字低通滤波器，从图中可以看出通带波动和阻带衰减 都满足设计要求。
4、wp1 = 2*pi*2000;wp2 = 2*pi*3000;
[B,A]=butter(N,wn,'s'); [num,den]=bilinear(B,A,30000); [h2,w]=freqz(num,den); f=w/(2*pi)*30000; plot(f,20*log10(abs(h1)),'-.',f,20*log10(abs(h2)),'-'); axis([0,15000,-60,10]); grid;xlabel('频率/Hz');ylabel('幅度/dB')
[N2,wn2] = [B2,A2] =
[num2,den2] = [h2,w] = f =
freqz(num2,den2);
w/(2*pi)*fs;
plot(f,20*log10(abs(h1)),'-.',f,20*log10(abs(h2)),'-'); axis([0,500,-80,10]); grid;xlabel('频率/Hz ');
h=fir1(N-1,[0.3 0.5],'bandpass',hanning(N)); figure(2); freqz(h,1); title('N=45,汉宁窗');
5、w1=2*10000*tan(2*pi*1000/(2*10000));
w2=2*10000*tan(2*pi*2000/(2*10000)); wr1=2*10000*tan(2*pi*500/(2*10000)); wr2=2*10000*tan(2*pi*3000/(2*10000));
[N,wn]=cheb1ord([wr1
[num1,den1] = [h1,w] = wp2 = wr2 =
freqz(num1,den1);
2*fs*tan(2*pi*fc/(2*fs)) 2*fs*tan(2*pi*fr/(2*fs)) buttord(wp2,wr2,1,25,'s') butter(N2,wn2,'s'); bilinear(B2,A2,fs);%双线性变换法
2．双线性变换法 S 平 面 与 z 平 面 之 间 满 足 以 下 映 射 关
系： s 平面的虚轴单值地映射于 z 平面的单位圆上，s 平面的左半平面完全映射到 z 平面的单位圆内。双线性变换不存在混叠问题。双线性变换是一种非线性变换， 这种非线性引起的幅频特性畸变可通过预畸而得到校正。
波器的频率响应终止于折叠频率处，所以双线性变换不存在混迭效应。 双线性变换缺点: Ω 与ω 成非线性关系，导致：
a. 数字滤波器的幅频响应相对于模拟滤波器的幅频响应有畸变，(使数字滤波 器与模拟滤波器在响应与频率的对应关系上发生畸变)。 b. 线性相位模拟滤波器经双线性变换后，得到的数字滤波器为非线性相位。 c.要求模拟滤波器的幅频响应必须是分段恒定的， 故双线性变换只能用于设计低 通、高通、带通、带阻等选频滤波器
ws1= 2*pi*1500;ws2= [N1,wn1] = [B1,A1] = 2*pi*6000; wp2],[ws1 ws2],3, 20 ,'s')
buttord([wp1
butter(N1,wn1,'s'); impinvar(B1,A1,30000)
[num1,den1] = [h1,w] =
wr2],[w1
w2],3,18,'s');
[B,A]=cheby1(N,3,wn,'stop','s'); [num,den]=bilinear(B,A,10000) [h,w]=freqz(num,den); f=w/(2*pi)*10000; plot(f,20*log10(abs(h))); axis([0,5000,-120,10]); grid;xlabel('频率/Hz');ylabel('幅度/dB')
1
双线性变换法设计滤波器的全过程： 1.确定数字滤波器的性能指标： 通带临 界频率 cf、 阻带临界频率 rf、 通带波动、 阻带内的最小衰减 At、 采样周期 T、 采样频率 fs； 2.确定相应的数字角频率 ；
3. 计 算 经 过 预 畸 的 相 应 模 拟 低 通 原 型 的 频 率
4.根据Ω c 和Ω r 计算模拟低通原型滤波器的阶数 N，并求得低通原型的传递函 数 Ha（s） ； 5.用上面的双线性变换公式代入 Ha（s） ，求出所设计的传递函数 H(Z); 6.分析滤波器特性，检查其指标是否满足要求。
边界频率 wn 和通带波动 0.8dB，设计 N 阶模拟巴特沃斯高通滤波器，B 和 A 分别 表示系统函数的分子和分母多项式的系数； [num,den]=bilinear(B,A,1000); %给定模拟滤波器系统函数 H(s)=B(s)/A(s)
和 采 样 频 率 1000Hz ， 根 据 双 线 性 变 换 法 求 出 数 字 滤 波 器 的 系 统 函 数 H(z)=B(z)/A(z)，num 和 den 分别为数字滤波器的分子分母多项式系数； [h,w]=freqz(num,den); %计算以(num,den)为参数的滤波器的频率向量 w 和复频 率响应向量 h； f=w/pi*500; plot(f,20*log10(abs(h))); axis([0,500,-80,10]); grid; xlabel('频率/Hz'); ylabel('幅度/dB');
（1） 定性地说明用本实验程序设计的 FIR 滤波器的 3dB 截止频率在什么
位置？它等于理想频率响应 Hd(ejω )的截止频率吗？ 答： 从图形中看出， 本实验设计的 FIR 滤波器的 3dB 截止频率在 0.4π 或 0.3 π 和 0.5π ，基本等于理想频率响应的截止频率。 （2）如果没有给定 h(n)的长度 N，而是给定了通带边缘截止频率ω c 和
阻带临界频率ω p，以及相应的衰减，能根据这些条件用窗函数法设计线性相位 FIR 低通滤波器吗？ 答：可以；h(n)的长度对实验的影响不是很大，N 的取值对 h(n)的值有影响 但对 h(n)的幅频特性影响不大。
二、实验内容
1、clear all; N=15; %N=15 的汉明窗
h=fir1(N-1,[0.3 0.5],'bandpass',hanning(N)); figure(1); freqz(h,1); title('N=15,汉宁窗'); N=45; %N=45 的汉明窗
ylabel('幅度/dB')
从图中可见， 通带边界和阻带边界分别为 200hz,300hz,衰减量也满足为 25Db。 总结： 脉冲响应不变法的一个重要特点是频率坐标的变换是线性的， ω ＝Ω Τ ， ω 与Ω 是线性关系： 在某些场合，要求数字滤波器在时域上能模仿模拟滤波器的 功能时，如要实现时域冲激响应的模仿，一般使用脉冲响应不变法。脉冲响应不 变法的最大缺点：有频谱周期延拓效应，因此只能用于带限的频响特性，如衰减 特性很好的低通或带通,而高频衰减越大，频响的混淆效应越小，至于高通和带 阻滤波器,由于它们在高频部分不衰减，因此将完全混淆在低频响应中，此时可 增加一保护滤波器，滤掉高于 /2s 的频带，再用脉冲响应不变法转换为数
实验三、IIR 数字滤波器的设计
测控 1201 侍小青 12054109
一、 思考题：
1、双线性变换法中Ω 和ω 之间的关系是非线性的，在实验中你注意到这种非线 性关系了吗？从哪几种数字滤波器的幅频特性曲线中可以观察到这种非线性关 系？ 答：在双线性变化法中，模拟频率与数字频率不再是线性关系，所以一个线 性相位模拟滤波器经双线性变换后， 得到的数字滤波器不再保持原有的线性相位 了， 在每一幅使用了双线性变换的图中， 可以看到在采样频率一半处， 幅度为零， 这显然不是线性变换能够产生的， 这是由于双线性变换将模拟域中的无穷远点映 射到了改点处。 采用双线性变化法设计的巴特沃斯型和切比雪夫数字型滤波器， 可以观察到 这种非线性关系。 2、能否利用公式H z = H s |s = TlnZ 完成脉冲响应不变法的数字滤波器设计？ 为什么？ 答：IIR 数字滤波器的设计实际上是求解滤波器的系数,它是数学上的一种 逼近问题，即在规定意义上（通常采用最小均方误差准则）去逼近系统的特性。 如果在 S 平面上去逼近，就得到模拟滤波器；如果在 z 平面上去逼近，就得到数 字滤波器。 但是它的缺点是， 存在频率混叠效应， 故只适用于阻带的模拟滤波器。 3、谈谈双线性变换法的特点，简述双线性变换法设计滤波器的全过程。 答：与脉冲响应不变法相比，双线性变换的主要优点：靠频率的严重非线性 关系得到 S 平面与 Z 平面的单值一一对应关系， 整个 jΩ 轴单值对应于单位圆一 周，其中 ω 和 Ω 为非线性关系。在零频率附近，Ω ～ω 接近于线性关系，Ω 进一步增加时，ω 增长变得缓慢，(ω 终止于折叠频率处)，所以双线性变换不 会出现由于高频部分超过折叠频率而混淆到低频部分去的现象。 双线性变换法的缺点：Ω 与 ω 的非线性关系，导致数字滤波器的幅频响应 相对于模拟滤波器的幅频响应有畸变，(使数字滤波器与模拟滤波器在响应与频 率的对应关系上发生畸变)。 另外， 一个线性相位的模拟滤波器经双线性变换后， 滤波器就不再有线性相位特性。