正余弦定理及面积公式
一，,知识点回顾： 正弦定理：R C c
B b
A a
2sin sin sin ===
余弦定理：a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ；b 2＝c 2＋a 2－2ca cos B ；c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C 。

面积公式：B ac A bc C ab S ABC sin 21
sin 21sin 21
===∆
三角形内角和 π=++C B A
)
tan(tan )sin(sin )
cos()cos(cos C B A C B A C B C B A +-=+=+-=--=π
二，基础训练：
1,在∆ABC 中，已知=a c 45=∠B ，求b 及A ；
2,在∆ABC 中，已知134.6=a cm ，87.8=b cm ，161.7=c cm ，解三角形
3,在∆ABC 中,53
cos ,135
cos =-=B A ,
（1）求C sin 的值;（2）设BC=5，求∆ABC 的面积
4，设锐角∆ABC 的内角 Ａ，Ｂ，Ｃ的对边分别为a,b,c,
且A b a sin 2= （1）求B ∠的大小 （2）若b c a 求,5,33==
5，在∆ABC 中，已知54
cos ,3,2-===A a b
（1）求B sin 的值 （2）求)62sin(π
+B 的值
6，在∆ABC 中，53
tan ,41
tan ==B A
（1）求C ∠的大小
（2）若AB 的边长为17，求BC 边的长
7，设∆ABC 的内角 Ａ，Ｂ，Ｃ的对边分别为a,b,c,若 3,3,1π
=∠==c c a ，则A ∠ 的值
8，设∆ABC 的周长为12+，且C B A sin 2sin sin =+
（1）求边长AB 的长
（2）若∆ABC 的面积为C sin 61
，求角C
9，在∆ABC 中，Ａ，Ｂ，Ｃ的对边分别为a,b,c,若 55
22cos ,4,2==∠=B
C a π，求∆ABC 的面积。

10，在∆ABC 中，552cos ,10,45=
==∠C AC B （1）求BC 边的长
（2）记AB 的中点为D ，求中线CD 的长
11，在∆ABC 中，已知 30,4,3
34=∠==A b a ，则=B sin 12，在∆ABC 中，Ａ，Ｂ，Ｃ的对边分别为a,b,c,已知 ,1,3,3===∠b a A π
求c 的长度。

13，在∆ABC 中， 75,45,3=∠=∠=
C A AC ，则 BC 的长。

14，在∆ABC 中，已知63,3
1cos ,3tan ==
=AC C B ，求∆ABC 的面 积 15，在∆ABC 中，4
3cos ,1,2===C BC AB （1)求A sin （2）求AC 的值 16，在∆ABC 中，Ａ，Ｂ，Ｃ的对边分别为a,b,c,若B A b a 2,25==
则B cos 的值
17，在∆ABC 中，Ａ，Ｂ，Ｃ的对边分别为a,b,c,若3,2π=
∠=C c （1）若∆ABC 的面积为3，求a,b 的值
（2）设,2=AB 求AB 边上的高
18，在∆ABC 中，Ａ，Ｂ，Ｃ的对边分别为a,b,c,且4sin ,3cos ==A b B a
（1）求边长a
（2）若∆ABC 的面积为10，求∆A B C
的周长 例3．在∆A B C 中，s i n c o s A A +=22
，A C =2，A B =3，求A tan 的值和∆A B C 的面积。

例4．（06年湖南）已知ΔABC 的三个内角A 、B ．C 成等差数列，其外接圆半径为1，且有2
2)cos(22sin sin =-+
-C A C A 。

（1）求A 、B ．C 的大小；（2）求ΔABC 的的面积。

例5．（1）（2005江苏5）△ABC 中，,3,3A BC π=
=则△ABC 的周长为（ ）
A ．)33
B π+
+ B ．)36B π++ C ．6sin()33B π++ D ．6sin()36
B π++
（2
）在45,ABC B AC C ∆∠=︒==
中，，求
（1）?BC =（2）若点D AB 是的中点，求中线CD 的长度。

例6．在锐角ABC △中，角A B C ，，所对的边分别为a b c ，，
，已知sin A =
， （1）求22tan sin 22
B C A ++的值；（2）若2a =
，ABC S △b 的值。

例7．ABC ∆的三个内角为A B C 、、，求当A 为何值时，cos 2cos 2
B C A ++取得最大值，并求出这个 最大值。

例8．（06四川文，18）已知A 、B 、C 是ABC ∆三内角，向量)3,1(-=m )sin ,(cos A A n =，且1.=n m ， （Ⅰ）求角A ；（Ⅱ）若221sin 23,cos sin B B B
+=--求tanC 。

例9．在△ABC 中，a 、b 、c 分别是∠A 、∠B 、∠C 的对边长，已知a 、b 、c 成等比数列，且a 2－c 2=ac － bc ，求∠A 的大小及c
B b sin 的值。

例10．在△AB
C 中，已知A 、B 、C 成等差数列，求2
tan 2tan 32tan 2tan C A C A ++的值。

例11．（2002上海春，14）在△ABC 中，若2cos B sin A ＝sinC ，则△ABC 的形状一定是（ ）
A.等腰直角三角形
B.直角三角形
C.等腰三角形
D.等边三角形
例12．（06安徽理，11）如果111A B C ∆的三个内角的余弦值分别等于222A B C ∆的三个内角的正弦值，则（ ）
A ．111A
B
C ∆和222A B C ∆都是锐角三角形
B ．111A B
C ∆和222A B C ∆都是钝角三角形
C ．111A B C ∆是钝角三角形，222A B C ∆是锐角三角形
D ．111A B C ∆是锐角三角形，222A B C ∆是钝角三角形。