【全国百强校】湖南省长沙市湖南师范大学附属中学2019届高三高考模拟（二）数学（文）试题
学校_________ 班级__________ 姓名__________ 学号__________
一、单选题
1. 设、是两个非空集合，定义集合且，若
，，则（）A．B．C．D．
2. 已知、是实数，则“”是“”的（）
A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
3. 已知数列是等比数列，数列是等差数列，若，
，则的值是（）
A．1
D．
B．C．
4. 某校为了解本校高三学生学习的心理状态，采用系统抽样方法从人中抽取人参加某种测试，为此将他们随机编号为，分组后在第一组采
用简单随机抽样的方法抽到的号码为，抽到的人中，编号落在区间
的人做试卷，编号落在的人做试卷，其余的人做试卷，则做试卷的人数为( )
A．B．C．D．
5. 执行如图的程序框图，则输出的值为（）
D．0
A．1
B．C．
6. （2017-2018学年广东省珠海市珠海二中、斗门一中高三上学期期中联考）多面体的底面为矩形,其正(主)视图和侧(左)视图如图,其中正(主)视图为等腰梯形,侧(左)视图为等腰三角形,则的长为
A．B．
C．D．
7. 为了得到这个函数的图象，只要将的图象上所有的点
A．向左平移个单位长度，再把所得各点的横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变
B．向左平移个单位长度，再把所得各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变
C．向右平移个单位长度，再把所得各点的横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变
D．向右平移个单位长度，再把所得各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变
8. 设，则（）
A．B．C．D．
9. 已知平面平面直线，点、，点、，且、、、，点、分别是线段、的中点，则下列说法正确的是（）
A．当时，、不可能重合
B．、可能重合，但此时直线与不可能相交
C．当直线、相交，且时，可与相交
D．当直线、异面时，可能与平行
10. 若存在实数使不等式组与不等式都成立，则实数的取值范围是（）
A．B．C．D．
11. 已知双曲线的一条渐近线为，圆
与交于第一象限、两点，若，且，其中为坐标原点，则双曲线的离心率为（）
A．B．
C．D．
12. 已知函数y＝f(x)的定义域为R，当x＜0时f(x)＞1，且对任意的实数x，y∈R，等式f(x)f（y）＝f（x+y）成立，若数列{a
}满足
n
，且a1＝f（0），则下列结论成立的是（）A．f（a2017）＞f（a2020）B．f（a2016）＞f（a2018）
C．f（a2018）＞f（a2019）D．f（a2016）＞f（a2019）
二、填空题
13. 已知，，且，共线，则向量在方向上的投影为__________．
14. 的内角的对边分别为，已知
，则的大小为__________．
15. 已知点、，若点是圆上的动点，
面积的最小值为，则的值为__________．
16. 已知函数（，为自然对数的底数）与的图象上存在关于轴对称的点，则实数的取值范围是______．
三、解答题
17. 已知数列前项和为，，且满足，
（）.
（1）求数列的通项公式；
（2）设，求数列的前项和.
18. 如图所示，四棱锥，底面为四边形，，
，，平面平面，，，
（Ⅰ）求证：平面；
（Ⅱ）若四边形中，，，为上一点，且，求三棱锥体积.
19. 某公司计划购买1台机器，且该种机器使用三年后即被淘汰．在购进机器时，可以一次性额外购买几次维修服务，每次维修服务费用200元，另外实际维修一次还需向维修人员支付小费，小费每次50元．在机器使用期间，如果维修次数超过购机时购买的维修服务次数，则每维修一次需支付维修服务费用500元，无需支付小费．现需决策在购买机器时应同时一次性购买几次维修服务，为此搜集并整理了100台这种机器在三年使用期间的维修次数，得如下统
维修次
8 9 10 11 12
数
频数10 20 30 30 10
记表示1台机器在三年使用期内的维修次数，表示1台机器在维修上所需的费用（单位：元），表示购机的同时购买的维修服务次数．
（1）若，求关于的函数解析式；
（2）若要求“维修次数不大于”的频率不小于0.8，求的最小值；
（3）假设这100台机器在购机的同时每台都购买10次维修服务或每台都购买11次维修服务，分别计算这100台机器在维修上所需费用的平均数，以此作为决策依据，判断购买1台机器的同时应购买10次还是11次维修服务？.
20. 已知椭圆的中心在原点，焦点在轴，焦距为2，且长轴长是短轴长的倍．
（1）求椭圆的标准方程；
（2）设，过椭圆左焦点的直线交于、两点，若对满足条件的任意直线，不等式（）恒成立，求的最小值．
21. 已知函数（a为常数）.
（Ⅰ）求函数的单调区间；
（Ⅱ）若，求不等式的解集；
（Ⅲ）若存在两个不相等的整数，满足，求证：.
22. 已知直线的参数方程（为参数），曲线
，以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴的极坐标系.
（1）求直线和曲线的极坐标方程；
（2）直线与曲线交于两点，求值.
23. 已知.
（1）求函数的最大值为；
（2）在第（1）问的条件下，设，且满足,求证：
.。