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2019届湖南省怀化市高三统一模拟考试
理科数学（一）
本试卷共4页，23题（含选考题）。
全卷满分150分。
考试用时120分钟。
注意事项：
1、答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。
2、选择题的作答：每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
3、填空题和解答题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。
写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
4、选考题的作答：先把所选题目的题号在答题卡上指定的位置用2B 铅笔涂黑。
答案写在答题卡上对应的答题区域内，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
5、考试结束一定时间后，通过扫描二维码查看考题视频讲解。
第Ⅰ卷
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知集合A={02|2
≥++-∈x x N x }，则满足条件的集合B 的个数为 A. 3
B. 4
C. 7
D. 8
2.已知i 为虚数单位，且复数2满足|34|)21(i i z -=+，则复数z 的共轭复数为 A.1-2i B. l+2i C. 2-i D. 2+i
3.双曲线
14822=-y x 与双曲线14
82
2=-x y 有相同的 A.渐近线
B.顶点
C.焦点
D.离心率
4.已知倾斜角为α的直线与直线012:=-=y x l 垂直，则αα2
2
sin cos -的值为
A. 5
3- B. 53 C. 56
D. 0 5.某网店2018年全年的月收支数据如图所示，则针对2018年这一年的收支情况，说法错误的是
A.月收入的极差为60
B. 7月份的利润最大
C.这12个月利润的中位数与众数均为30
D.这一年的总利润超过400万元 6.已知0
x 02
2
1
<),,0[x 0,>1,,:a ax ax R x p +∞∈∃++∈0，若q p ∧为真，则实数a 的取值范围为 A. (0,1) B. [0,1) C. (0,1]
D. 0
7.已知数列{n a }满足xdx a a n a a a n n n 2sin 4),2(2
084112π
=⋅≥=+-，且0>4a ,则=
⋅)3
tan(
6
πa A. 33- B. 33
C.
3- D. 3
8.《九章算术》中，称底面为矩形且有一侧棱垂直于底面的四棱锥为阳马，如图，某
阳马的三视图如图所示，则该阳马的最长棱的长度为 A.1 B.2 C.
3 D.2 9.如图所示为函数)2
0,>)(sin()(π
ϕωϕω≤
+=x A x f 的部分图象，点M 、N 分别为
图象的最高点和最低点，点P 为该图象一个对称中心，点A(0，1)与点B 关于点P 对称，且向量在x 轴上的投影恰为1，2
29
=AP ，则)(x f 的解析式为
A.
)36sin(332)(π
π+=x x f
B. )63sin(2)(π
π+=x x f
C. )66sin(2)(ππ+=x x f
D. )6
32sin(2)(π
π+=x x f 10.在正方体中，过AB 作一垂直于直线B1C 的平面交平面ADD1A1于直 线l ，动点M 在直线l 上，则直线B1M 与直线CD 所成的角的正弦值的最小值是 A.
33 B.2
3 C. 22 D. 21
11.过抛物线C:
y x 42
=的焦点F 作斜率分别为21,k k 的两条直线21,l l ，其中A 交C 于A 、B 两 点，2l 交C
于D 、E 两点，若221=k k ,则|AB| + |DE|的最小值为 A. 12 B. 16 C. 24 D. 30
12.对于函数:
)(x f y =与)(x g y =，若存在0x ，使)()(00x g x f -=，则称
))(,()),(,(00o o x g x N x f x M --是函数)(x f 与)(x g 图象的一对“隐对称点已知函数
1
)
1ln()(),2()(--=
+=x x x g x m x f ，若函数)(x f 与)(x g 的图象恰好存在两对“隐对称点”，则实数m 的取值范围为
A.(-1，0)
B.(-∞,一1)
C.(0，1) U (1，+∞)
D.(-∞,-1)U( -1,0) .
第Ⅱ卷
本卷包括必考题和选考题两部分。
第13〜21题为必考题，每个试题考生都必须作答。
第 22〜23题为选考题，考生根据要求作答。
二、填空题：本题共4小题，每小题5分。
13.已知向量b a ,的夹角为 120°，222==-a b a ,则=b
.
14.已知)(,)13(3
*∈-N n x
x n
的展开式的系数和为16,则展开式中的常数项为 .
15.某学校2019年元旦晚会准备了 6个节目，考虑整体效果，其中节目甲必须在前三位，且节目丙、丁必须相邻，则元旦晚会节目的演出顺序的编排方案种数为 .
16.已知变量y x ,满足约束条件⎪⎩
⎪
⎨⎧≥-+≤-+≥0620820y x y x y ,在实数y x ,中插入7个实数，使这9个数构成等差数列{n a }
的前9项，即y a x a ==91, ,则数列{n a }的前13项和的最大值为 .
三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17.(本小题满分12分）
已知△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，且C a b A c cos )12
13
(
cos -=. (1)若5
4
sin =
B ，求A sin 的大小； (2)若△AB
C 的面积为
25，且△ABC 的外接圆半径为2
13
，求△ABC 的周长.
在五边形 ABCDE 中，AB = AE=2，BA⊥AE，BC⊥CD，BE//CD ， BE=2BC = 2CD ，现将△ABE 沿着BE 折起，使得点A 到达点P 的位置， 且使平面PBE 丄平面BCDE ，记线段PE 的中点为M. (1)求证:DM//平面PBC;
(2)求直线CM 与平面PDE 所成角的正弦值. 19.(本小题满分12分）
“日行万步”正成为健康生活的代名词，某学校工会积极组织该校教职工参与“日行
万步”活 动，界定日行步数不足8千步的人为“不健康生活方式者”，不少于14千步的人为“超健康生活 方式者”，其他为“一般健康生活方式者某日，学校工会随机抽取了该校300名教职工，统计他们的日行步数（均不低于4千步，不超过20千步），按步数分组，得到频率分布直方图如图所示：
(1)求300名教职工日行步数（千步）的样本平均数（每组数据 以区间的中点值为代表，结果四舍五人保留整数）；
(2)由直方图可以认为该校教职工的日行步数ξ (千步）服从正态分布
),(2σμN ，其中，μ为样本平均数，标准差σ的近似值为2,求该校被抽取的
3oo 名教职工中日行步数（千步) )18,14(∈ξ的人数 (结果四舍五人保留整数）；
(3)用样本估计总体，将频率视为概率.若工会从该校教职工中 随机抽取2人作
为“日行万步”活动的慰问奖励对象，规定：“不健康生活方式者”给予精神鼓励，奖励金额每人0元；“一般生活方式者”奖励金额每人100元；“超健康生活方式者”奖励金额每人200元。
求工会慰问奖励金额X 的分布列和数学期望。
20.(本小题满分12分）
已知椭圆C: 12222=+b y a x (a>b>0)的短轴长为32，且椭圆C 与圆F:
49)1(2
2=+-y x 的公共弦长为
3.
(1)求椭圆C 的方程；
(2)过点F 的直线l 交椭圆C 于两点，交y 轴于点D ，若DA=mAF ，DB=nBF,试探究n m +是否为定值？若是，求出这个定值；若不是，请说明理由。
已知函数)0,(ln 1)(≠∈--=a R a ax x ax x f 且. (1)试讨论)(x f 的单调性；
(2)设函数x
x xe x g x 1
ln )(--=，当 a>0 时，若),0(),,0(21+∞∈∃+∞∈∀x x ，，使不等式
4)()(21≥+x f x f 4：成立，求实数a 的取值范围.
请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分。
22.(本小题满分10分)选修4一4:坐标系与参数方程
在平面直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程为t t y t x (22,122⎪⎪⎩
⎪⎪⎨⎧=+-=为参数）.以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴，取相同的长度单位建立极坐标系，圆C 的极坐标方程为)4
cos)(22π
θρ+=.
(1)求直线l 的普通方程与圆C 在直角坐标系下的标准方程；
设圆C 与直线l 交于两点，若P 点的直角坐标为（1,0)，求2
2
PB PA +的值. 23.(本小题满分10分)选修4一5:不等式选讲 已知函数3212)(--+=x x x f . (1)解不等式)(x f <6;
(2)已知a ，b ，c 都是正数，记)(x f 的最大值为t,若a + b + 2c = t ，求证: 7
4
11≥+++c b c a .
- 11 -。