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第3章 作业答案

第3章 单元测验一、单项选择题1. 的阶差分是( C )t X k A Bkt t t k X X X -∇=-11kk k t t t k X X X ---∇=∇-∇C D111kk k t t t X X X ---∇=∇-∇1112k k k t t t X X X ----∇=∇-∇2. MA(2)模型,则移动平均部分的特征根是( A )121.10.24t t t t X εεε--=-+A , B ,10.8λ=20.3λ=10.8λ=-20.3λ=C , D ,10.8λ=-20.3λ=-10.8λ=-20.2λ=3. AR(2)模型,其中,则( B ) 121.10.24t t t t X X X ε--=-+0.04t D ε=t t EX ε=A B 00.04C D0.140.24. 若零均值平稳序列,其样本ACF 和样本PACF 都呈现拖尾性,则对可能建立( B{}t X {}t X )模型。

A. MA(2)B.ARMA(1,1)C.AR(2)D.MA(1) 5. 对于一阶滑动平均模型MA(1): ,则其一阶自相关函数为( C )。

15.0--=t t te e Y A. B. C. D. 5.0-25.04.0-8.06. 关于平稳时间序列模型,说法正确的是( B )A. 可以对未来很长一段时间的序列值进行精确预测。

B. 当前观测序列时间为t,MA(q)模型对大于t+q 时间点序列值的预测值恒为常数。

C .自相关系数具有非唯一性,偏自相关系数不具有非唯一性 D .均值非平稳的序列,可以通过对数变换将其变成平稳的。

二、多项选择题1. 关于延迟算子的性质,下列表示中正确的有 ( AD )A B10=B n-=(1-)tt n tx x B x -C∑=-=-ni n in nnB C B 0)1()1(D 对任意两个序列和,有{}t x {}t y 11()t t t t B x y x y --+=+2. ARMA 模型可逆性条件是( CD )A 的特征根都在单位圆内B 的根都在单位圆内 ()0t B εΦ=()0B Θ=C 的特征根都在单位圆内D 的根都在单位圆外 0=Θt B ε)(()0B Θ=3. 关于平稳可逆的ARMA 模型的序列预测问题,下列公式正确的有( ABCD )A12(|,,,)(0)t l t t t t lE x x x x x l +--+=≤ B12ˆ(|,,,)()(0)t l t t t t E x x x x xl l +--=>C 12(|,,,)(0)t l t t t t lE x x x l εε+--+=≤ D12(|,,,)0(0)t l t t t E x x x l ε+--=> 4. 对平稳时间序列模型矩估计方法评价正确的是 ( BCD )A 估计精度高B 估计思想简单直观C 不需要假设总体分布D 计算量小5. 下列属于模型优化方法的有( ABC )A 残差方差图定阶法B F 检验定阶法C 最佳准则函数定阶法D 最小二乘估计法 6. 下列关于说法正确的是( ABCDE ) A AR 模型总是可逆的B 平稳MA 模型的均值就等于模型的截距项参数C 偏自相关系数用来描述时间序列值间的直接影响D 只要ARMA 模型的AR 部分的系数的绝对值和小于1,该模型一定平稳。

E 对原始序列进行对数变换后,基于对数变换后的数据拟合得到的最佳线性均方误预测,再对其经过指数变换后得到的预测不一定是原始序列的最佳线性均方误预测。

三、判断题11. SBC 准则有较强的一致性,但不具有有效性,而AIC 准则并不具有一致性,但更具有有效性。

( T )12. 模型平稳,则对应的满足模型的序列也平稳。

( T ) 13. 方差存在且有界的MA 模型生成的序列总是平稳的。

( T )14. 在金融领域当中有很多冲击效应现象存在,这种现象适合用AR 模型来拟合。

( F )15. 自相关图里拖尾的原因有可能是用样本估计总体参数时有误差。

( T ) 16. 平稳AR 模型自相关系数具有截尾性,偏自相关系数具有拖尾性。

( F ) 17. 两个不同的MA 模型可以具有相同的自相关图。

( T ) 18. 不可逆的MA 模型的偏自相关系数也具有拖尾性。

( T ) 19. 线性最小均方误差预测是无偏的预测。

( T )20. 最小均方误预测误差的方差和预测步长有关,而和预测的时间原点无关。

( T )名词解释省略简答题:1. 如何理解MA 模型的可逆性条件?它有什么意义?答:如果模型生成的序列可以用一个无限阶的自回归模型逼近,即逆转形式存在,我们就称该模型具有可逆性,也就是可逆的,否则,就是不可逆的。

意义:学习模型统计性质的目的是为了利用这些性质反过来识别模型。

MA 模型的自相关系数具有非唯一性,会给我们将来的识别工作增加麻烦。

因为,将来我们都是通过样本自相关系数显示出来的特征选择合适的模型拟合序列的发展,如果自相关系数和模型之间不是一一对应关系,就将导致拟合模型和随机序列之间不会是一一对应关系。

为了保证一个给定的自相关函数能够对应唯一的模型,我们就要给模型增加约束条件。

这个约束条件称为模型的可逆性条件。

另外它还在平稳时间序列建模过程当中也有一些其它具体意义,如下: 1、 在定义和计算ARMA 模型的残差项时,需要可逆条件下模型的逆转形式。

2、 在利用条件最小二乘法估计模型中参数的时候,也需要利用可逆条件下模型的逆转形式。

2. 检验下列模型的平稳性与可逆性,其中为服从正态分布的白噪音。

t ε(1)t2-t 1-t t x 2x x ε++=(2)2t 1t t 2t 1-t t 5.06.14x .18x .0x ---+++-=εεε答:AR (p )模型平稳性的特征根判别法要求所有特征根绝对值小于1,AR (1)模型平稳性的平稳域判别法要求,1||1<φAR (2)模型平稳性的平稳域判别法要求:.1,1||122<±<φφφ (1) 特征方程为: , 2,1,0)2)(1(02212=-==-+=--λλλλλλ即 由特征根判别法:非平稳; 或,平稳域判别法:非平稳。

11,13,12||12122不小于=->=+>=φφφφφ 又为AR 模型,故可逆。

(2), 所以模型非平稳; 12.28.04.116.04.18.014.14.112122<-=--=-<-=-=+>=-=φφφφφ, 所以模型不可逆, 11.16.15.011.26.15.015.05.012122>=+-=-<-=--=+<=-=θθθθθ 综上,该模型非平稳、不可逆。

3. 平稳时间序列建模中,模型的可逆性条件用在序列建模里的哪一步?简单说明。

答:1、模型的有效性检验或者模型的显著性检验因为构造有效性检验的统计量需要残差项,而残差项在平稳可逆的ARMA 模型中是用可逆形式求出来的。

2、模型的参数估计在利用条件最小二乘法估计模型中参数的时候,也需要利用可逆条件下模型的逆转形式来构造残差平方和目标函数。

4. 在时间序列建模步骤中,为什么要用信息准则去选择一个最优化模型?答:当一个拟合模型通过了有效性检验,说明在一定的置信水平下,该模型能有效地拟合观察值序列的波动,但这种有效模型有可能并不是唯一的。

另外,当模型中参数越多,似然函数会越大,拟合程度会越好,但是当参数多时,模型不够精简,而且会产生过拟合现象,同时在样本固定的条件下,参数多会导致估计精度下降,不能够很好地解释变量间的关系,所以需要利用信息准则取选择一个相对能平衡两方面的最优模型。

5. 在R 当中,通过arima 函数对ARIMA (1,1,1)模型来拟合数据,拟合的模型表达式是什么?答:一定是没有截距项参数。

模型如下:-1t t-1=+t t x x φεθε∇∇-证明题:(1)对于任意常数c 不等于0,如下定义的无穷阶MA 序列一定是非平稳序列:(10分)),0(~),(221εσεεεεWN C x t t t t t +++=--(2)的一阶差分序列一定是平稳序列。

{}t x 1--=t t t x x y 证明:(1)12122222(())0(())()t t t t t t t t Ex E C Varx Var C C εεεεεεεεεσσσ----=+++==+++=+++≠C 0 )常数的(界不等于,无所以序列是非平稳序列。

(2)1321211)1()()(--------+=+++-+++=-=t t t t t t t t t t t C C C x x y εεεεεεεε常数=-+=-+==-+=--22211)1())1((0))1((εεσσεεεεC C Var Vary C E Ey t t t t t t 所以一阶差分序列是平稳序列。

计算题1. 已知AR (2)模型 其中为白噪声序列。

确定c 的取值范围,12t t t t x x cx ε--=++{}t ε以保证为平稳序列,并给出该序列的具体表达式(非递推式)。

{}t x k ρ2. 对于ARMA (1,1)模型 :,且0.0020.4-0.72-11=+=-εσεε,t t t t x x 。

预测未来3期序列的置信区间。

01.0,5.02020==εx3. 已知AR(2)模型为,. (10.5)(10.3)t t B B X ε--=20.5t D εεσ==(1)计算偏相关系数; (1,2,3)kk k ϕ=(2).()t Var X 答4、 设一元时间序列服从如下的AR(2) 模型}{t Xt t t t X X X ε+-=--215.0其中为服从正态分布的白噪音,,试求: 1090.3,0.2,X X ==t ε1.0)(1=εVar (1) 判断是否平稳的,说出理由。

}{t X (2) 计算未来二期的预测值和预测误差的方差及预测值95%的预测区间()96.1975.0=Φ(3) 计算一阶、二阶和三阶的自相关函数值 答:5、设一元时间序列服从如下的ARMA(1,1) 模型}{t Xt t t t X X εε+-=--116.08.0其中,为服从正态分布的白噪音,,01.0,3.0100100==εX t ε0025.0)(1=εVar 试求:(1) 判断是否平稳的,说出理由。

}{t X (2) 把ARMA(1,1) 模型表示为的形式。

)(∞MA (3) 给出下期的预测值,预测误差和误差的方差及预测值95%的预测区间()。

96.1975.0=Φ解6、 设一元时间序列满足如下方程}{t Xt t t X X εδ++=-1其中为已知常数,为服从正态分布的白噪音,,试δ,00=X t ε21)(σε=Var 求(1) 判断是否平稳的,说出理由。

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