2019年高中数学单元测试卷
导数及其应用
学校：__________ 姓名：__________ 班级：__________ 考号：__________
一、选择题
1．22
(1cos )x dx π
π-+⎰等于（ ）
A ．π
B . 2
C . π-2
D . π+2(2009福建理)
2．若()224ln f x x x x =--，则()'f x ＞0的解集为（ ）
A ．()0,+∞ B. ()()1,02,-⋃+∞ C. ()2,+∞ D. ()1,0-（2011江西理4）
3．若[0,)x ∈+∞，则下列不等式恒成立的是 (A)2
1x
e x x ++ (211)
1
24x x <-+
(C)21cos 12x x -… (D)21
ln(1)8
x x x +-…
4．如图，一个正五角星薄片（其对称轴与水面垂直）匀速地升出水面，记t 时刻五角星露出水面部分的图形面积为()()()
00S t S =，则导函数()'
y S t =的图像大致为
二、填空题
5．已知3
2
()26(f x x x m m =-+为常数）在[2,2]-上有最大值3，那么此函数在[2,2]-上的最小值为____________
6．已知f (x )＝x 3，g (x )＝－x 2＋x －29a ，若存在x 0∈[－1，a
3](a ＞0)，使得f (x 0)＜g (x 0)，则实
数a 的取值范围是 ▲ ．(0，－3＋21
2)
7． 若函数32()4f x x x ax =+--在区间()1,1-恰有一个极值点，则实数a 的取值范围为 .[1,5)
8．曲线2
y 21x x =-+在点（1,0）处的切线方程为________
9．已知函数()322f x x ax bx a =+++在1x =处有极值10，则a b += ．
10．已知32()33f x x bx cx =++有两个极值点12,x x ，且[][]121,0,1,2x x ∈-∈，则(1)f 的取值范围 ．
11．已知函数ln ()x
f x x
=
，则()f x 的最大值为 12．函数y=x 3+lnx 在x=1处的导数为 .
13．若函数()()02
3
>-=a ax x x f 在区间⎪⎭
⎫
⎝⎛+∞,320上是单调递增函数，则使方程()1000=x f 有整数解的实数a 的个数是 。

三、解答题
14． 已知函数()2
a f x x x
=+，()ln g x x x =+，其中0a >．
(1)若1x =是函数()()()h x f x g x =+的极值点，求实数a 的值；
(2)若对任意的[]12,1x x e ∈，（e 为自然对数的底数）都有()1f x ≥()2g x 成立，求实数a 的取值范围． .
15．已知cx bx ax x f ++=2
3)(在区间[0,1]上是增函数,在区间),1(),0,(+∞-∞上是减函数,又.2
3)21(=
'f (Ⅰ)求)(x f 的解析式;
(Ⅱ)若在区间],0[m (m ＞0)上恒有)(x f ≤x 成立,求m 的取值范围. (陕西文 本小题满分12分)
16．设函数2
()f x x =，()ln (0)g x a x bx a =+>．
（Ⅰ）若(1)(1),'(1)'(1)f g f g ==，求()()()F x f x g x =-的极小值；
（Ⅱ）在（Ⅰ）的条件下，是否存在实常数k 和m ，使得()f x kx m ≥+和
()g x kx m ≤+？若存在，求出k 和m 的值．若不存在，说明理由．
（Ⅲ）设()()2()G x f x g x =+-有两个零点12,x x ，且102,,x x x 成等差数列，试探究
0'()G x 值的符号．
17．已知抛物线2
4y x =-与直线2y x =+。

求：
（1）抛物线与直线的交点的坐标；（2）抛物线在（1）中的交点处的切线的方程。

18．已知函数()(1)ln 1f x x x x =+-+.
（Ⅰ）若2'()1xf x x ax ≤++，求a 的取值范围； （Ⅱ）证明：(1)()0x f x -≥ .
19．设函数f(x)=x 3
+ax 2
+bx +c 在x ＝1处取得极值－2，试用c 表示a 和b ，并求f(x)的单调区间。

20．设函数y=f(x)对任意实数x ，都有f(x)=2f(x+1)，当x ∈ [0,1]时，f(x)=
274
x 2
(1-x). (Ⅰ)已知n ∈N +，当x ∈[n,n+1]时，求y=f(x)的解析式； (Ⅱ)求证：对于任意的n ∈N +，当x ∈[n,n+1]时，都有|f(x)|≤
n 12
； (Ⅲ)对于函数y=f(x)(x ∈[0,+∞)，若在它的图象上存在点P ，使经过点P 的切线与直线x+y=1平行，那么这样点有多少个？并说明理由.
21．设3()3x f x =，对任意实数t ，记2
32
()3
t g x t x t =-．
(I ）求函数()()t y f x g x =-的单调区间；
(II ）求证：（ⅰ）当0x >时，()f x g ()()t f x g x ≥对任意正实数t 成立；
(ⅱ）有且仅有一个正实数0x ，使得00()()x t g x g x ≥对任意正实数t 成立．（浙江理）
本题主要考查函数的基本性质，导数的应用及不等式的证明等基础知识，以及综合运用所学知识分析和解决问题的能力．满分15分． (I ）
22．已知函数ax x x f +=3
)(，b x x g +=2
2)(，它们的图象在1=x 处有相同的切线．
（Ⅰ）求)(x f 与)(x g 的解析式；
（Ⅱ）讨论函数1)1(2)()(2
2
+-++=x t tx x f x G 的单调区间；
（Ⅲ）如果)()()(x mg x f x F -=在区间]3,2
1[上是单调函数，求实数m 的取值范围．
23．已知函数()ln f x x ax =-，a 为常数.
（1）若函数()f x 在1x =处的切线与x 轴平行，求a 的值； （2）当=1a 时，试比较()f m 与1f m ⎛⎫
⎪⎝⎭
的大小； （3）若函数()f x 有两个零点1x 、2x ，试证明2
12x x e >.(本小题满分16分)
24．已知函数)ln()(m x e x f x +-=.
(Ⅰ)设0x =是()f x 的极值点,求m ,并讨论()f x 的单调性;
(Ⅱ)当2m ≤时,证明()0f x >.（2013年普通高等学校招生统一考试新课标Ⅱ卷数学（理）（纯WORD 版含答案））
25．设()f x 是定义在 [－1，1]上的奇函数，函数()g x 与()f x 的图象关于y 轴对称，且当(0,1]x ∈时，2()ln g x x ax =-． ⑵
求函数()f x 的解析式；
⑵若对于区间（0，1]上任意的x ，都有|()|1f x ≥成立，求实数a 的取值范围．(本小题16分)
26．若存在实常数k 和b ，使得函数()f x 和()g x 对其定义域上的任意实数x 分别满足：
()f x kx b ≥+和()g x kx b ≤+，则称直线:l y kx b =+为()f x 和()g x 的“隔离直
线”．
已知2
()h x x =，()2ln (x e x e ϕ=为自然对数的底数)． (1）求()()()F x h x x ϕ=-的极值；
(2）函数()h x 和()x ϕ是否存在隔离直线？若存在，求出此隔离直线方程；若不存在，请说明理由．
27．已知函数()a x x x x f +++-=932
3
．
（1）求()x f 的单调递减区间；
（2）若()x f 在区间[]2,2-上的最大值为20，求它在该区间上的最小值．
28．已知函数e ()ln ,()e x
x
f x mx a x m
g x =--=，其中m ，a 均为实数． （1）求()g x 的极值；
（2）设1,0m a =<，若对任意的12,[3,4]x x ∈12()x x ≠，212111
()()()()
f x f x
g x g x -<-恒成立，求a 的最小值；
（3）设2a =，若对任意给定的0(0,e]x ∈，在区间(0,e]上总存在1212,()t t t t ≠，使得120()()()f t f t g x == 成立，求m 的取值范围．（本小题满分16分）
29．设函数f (x )=ax 3
-(a +b )x 2
+bx +c ，其中a ＞0，b ，c ∈R．
(1)若1
()3
f '=0，求函数f (x )的单调增区间；
(2)求证：当0≤x ≤1时，|()f x '|≤max{(0),(1)}f f ''．(注：max{a ，b }表示a ，b 中的最大值)
30．某特种设备公司设计了一款直升飞机，出于安全因素的考虑，飞机上升高度h 超过50（单位：百米）时，飞机上升速率小于
16264
h
-才是安全的．试飞时，开启自动飞行装置后，每隔0.1（单位：百秒）测一次高度，得到开始的数据如下：
（1）选择适当的函数()h t 表示上升高度（百米）与时间（百秒）的关系； （2）按这样的规律，当上升高度至150（百米）时，飞机是否安全？ （3）求飞机按此规律上升安全的高度范围．。