专题 函数基本性质考点精要会运用函数图像理解和研究函数的性质．热点分析主要考查函数的性质及运用知识梳理1．函数的单调性：设函数y=f （x ）的定义域为A ，区间M A ⊆．如果取区间M 中的任意两个值x 1，x 2，设改变量210x x x ∆=->，则当21()()0y f x f x ∆=->时，就称函数y=f （x ）在区间M 上是增函数，当21()()0y f x f x ∆=-<时，就称函数y=f （x ）在区间M 上是减函数．如果一个函数在某个区间M 上是增函数或是减函数，就说这个函数在这个区间上具有单调性．（区间M 称为单调区间）函数的单调性是函数的一个重要性质，在给定区间上，判断函数增减性，最基本的方法就是利用定义：在所给区间内任取x 1，x 2,当x 1 < x 2时判断相应的函数值f （x 1）与f （x 2）的大小．利用图象观察函数的单调性也是一种常见的方法，教材中所有基本初等函数的单调性都是图象观察得到的．对于[]()y f x φ=型复合形式的函数的增减性，可换过换元，令()u x φ=，然后分别根据()u x φ=，()f f u =在相应区间上的增减性进行判断，一般规律是：“同则增，异则减”，即内外层函数的单调性相同（同增或同减）则[]()y f x φ=为增；内外层函数的单调性相反（内增外减或内减外增）则[]()y f x φ=为减．其本质源于复合函数求导的连锁法则以及函数单调性与其导函数符合的关系．此外，利用导数研究函数的单调性，更是一种非常重要的方法，是“大规大法”，由导数正负与单调性的关系及两函数和、差、积、商的求导法则可以推出许多判定函数单调性的简单技巧．2．函数的奇偶性：设函数y=f（x）的定义域为D，如果对D内的任意一个x，都有x D-∈，且-=-，则这个函数叫做奇函数．设函数y=g（x）的定义域为D，如果对()()f x f xD内的任意一个x，都有x D-∈，且g（－x）=g（x），则这个函数叫做偶函数．如果一个函数是奇函数，则这个函数的图像是以坐标原点为对称中心的中心对称图形；反之，如果一个函数的图像是以坐标原点为对称中心的中心对称图形，则这个函数是奇函数．如果一个函数是偶函数，则它的图像是以y轴为对称轴的轴对称图形；反之，如果一个函数的图像关于y轴对称，则这个函数是偶函数．在奇函数与偶函数的定义中，都要求x D-∈，这就是说，一个函数不∈,x D论是奇函数还是偶函数，它的定义域都一定关于坐标原点对称．如果一个函数的定义域关于坐标原点不对称，那么这个函数就失去了是奇函数或是偶函数的前提条件，即这个函数既不是奇函数也不是偶函数．此外，由奇函数定义可知，若奇函数f（x）在原点处有定义，则一定有f（0）=0，此时函数f（x）的图像一定通过原点．研究函数的奇偶性对了解函数的性质非常重要．如果我们知道一个函数是奇函数或偶函数，则只要把这个函数的定义域分成关于坐标原点对称的两部分，得出函数在其中一部分上的性质和图象，就可得出这个函数在另一部分上的性质和图像．由函数奇偶性定义，可以推出如下法则：在公共定义域上：两个奇函数的和函数是奇函数，差函数也是奇函数；两个偶函数的和函数与差函数都是偶函数；两个奇函数的积或商是偶函数；两个偶函数的积或商是偶函数；一个奇函数与一个偶函数的积或者商都是奇函数．3．单调性与奇偶性之间的关系：奇函数在关于原点对称的区间上的单调性相同；偶函数在关于原点对称的区间上的单调性相反； 例题精讲例 1.下列函数()f x 中，满足“对任意1x ，2x ∈（0，+∞），当1x <2x 时，都有1()f x >2()f x的是( ) A ．()f x =1xB. ()f x =2(1)x - C .()f x =x e D ()ln(1)f x x =+例2 ．对于函数①()2f x x =+，②2()(2)f x x =-，③()cos(2)f x x =-，判断如下两个命题的真假：命题甲：(2)f x +是偶函数；命题乙：()f x 在()-∞2，上是减函数，在(2)+∞，上是增函数； 能使命题甲、乙均为真的所有函数的序号是（ ） Ａ．①②Ｂ．①③Ｃ．②Ｄ．③例3,.已知f （x ）是奇函数，当x ∈（0，1）时，f （x ）＝lg 11x+，那么当x ∈（－1，0）时， f （x ） 的表达式是_____。

练习：设)(x f 是定义在R 上的奇函数，且)()2(x f x f -=+，又当11≤≤-x 时，3)(x x f =，求：当]5,1[∈x 时，求)(x f 的解析式。

例4已知函数()x f 为R 上的减函数，则满足()11f x f <⎪⎪⎭⎫⎝⎛的实数x 的取值范围是（ ）A .()1,1-B .()1,0C .()()1,00,1Y -D .()()+∞-∞-,11,Y例5（1）已知偶函数()f x 在区间[0,)+∞单调增加，则满足(21)f x -＜1()3f 的x 取值范围是 ( )（A ）（13，23） B.［13，23） C.（12，23） D.［12，23）例6 . 在R 上定义的函数()x f 是偶函数，且()()x f x f -=2，若()x f 在区间[]2,1是减函数，则函数()x f（ ）A .在区间[]1,2--上是增函数，区间[]4,3上是增函数B .在区间[]1,2--上是增函数，区间[]4,3上是减函数C .在区间[]1,2--上是减函数，区间[]4,3上是增函数D .在区间[]1,2--上是减函数，区间[]4,3上是减函数 例7设()11xf x x+=-，又记()()()()()11,,1,2,,k k f x f x f x f f x k +===L 则()2009=f x( )A ．1x-B ．xC ．11x x -+ D ．11xx+-例8 求复合函数的单调性求下列函数的单调性，并确定每一个单调区间上的单调性（1）(1)y x x =- （2）21()2x x y -= （3）22log (62)y x x =+-例9 抽象函数性质已知函数()f x 的定义域(0,)+∞是，当1x >时()0f x >，且()()()f xy f x f y =+（1）求(1)f（2）证明()f x 在定义域上是增函数（3）如果1()13f =-，求满足不等式1()()22f x f x -≥-的x 的取值范围。

例10 抽象函数设)(x f 是定义在R 上的函数，对m 、R n ∈恒有)()()(n f m f n m f ⋅=+，且当0>x 时，1)(0<<x f 。

（1）求证：1)0(=f ；（2）求证：)(x f 在R 上是减函数； （4）若1)2()(2>-⋅x x f x f ，求x 的范围。

练习：函数(),(0)y f x x =≠是奇函数，且当(0,)x ∈+∞时是增函数，若(1)0f =，求不等式1()02f x x ⎡⎤-<⎢⎥⎣⎦的解集。

练习 ：、设)(x f 是定义在R 上的奇函数，且)()2(x f x f -=+，又当11≤≤-x 时，3)(x x f =，（1）证明：直线1=x 是函数)(x f 图象的一条对称轴：（2）当]5,1[∈x 时，求)(x f 的解析式。

解析(1)证(1)(1)f x f x +=- (2)(]33(2),[1,3]()(4),3,5x x f x x x ⎧-∈⎪=⎨-∈⎪⎩针对训练1．函数111y x =-- A ．在()1,-+∞内单调递增 B ．在()1,-+∞内单调递减 C ．在()1,+∞内单调递增 D ．在()1,+∞内单调递减2．在(,0)-∞上是增函数的是 A ．12log ()y x =--B ．2(1)y x =-+C ．1x y x=- D ．21y x =+3．函数1()f x x x=-的图像关于 A ．y 轴对称 B ．直线y= -x 对称 C ．坐标原点对称 D ．直线y=x 对称4．已知函数1()lg1xf x x-=+，若f （a ）=b ，则f （-a ）= A ．bB ．-bC ．1bD ．1b-5．下列函数中，在其定义域内既是奇函数，又是减函数的是 A ．3,y x x =-∈R B ．sin ,y x x =∈R C ．,y x x =∈RD ．1,2xy x ⎛⎫=∈ ⎪⎝⎭R6．函数f （x ） = x 3+sin x +1（x ∈R ），若f （a ） = 2，则f （-a ）的值为 A ．3B ．0C ．-1D ．-27．设f （x ），g （x ）都是单调函数，有如下四个命题： ①若f （x ）单调增，g （x ）单调增，则()()f x g x -单调增； ②若f （x ）单调增，g （x ）单调减，则()()f x g x -单调增；③若f （x ）单调减，g （x ）单调增，则()()f x g x -单调减；④若f （x ）单调减，g （x ）单调减，则()()f x g x -单调减； 其中，正确命题是A ．①④B ．①②C ．②③D ．③④8．已知偶函数f （x ）在区间[)0,+∞上单调增加，则满足1(21)3f x f ⎛⎫-< ⎪⎝⎭的x 的取值范围是A ．12,33⎛⎫ ⎪⎝⎭B ．12,33⎡⎫⎪⎢⎣⎭C ．12,23⎛⎫ ⎪⎝⎭D ．12,23⎡⎫⎪⎢⎣⎭9．若f （x ）= -x 2+2ax 与g （x ）=1ax +在区间[1，2]上都是减函数，则a 的取值范围是A ．(1,0)(0,1)-UB ．(1,0)(0,1)-UC ．（0，1）D ．（0，1]10 函数y=2x的单减区间是 。

11 函数y=2(x-1)(x-3)的单增区间是 ；单减区间是 。

12 若偶函数()f x 的定义域为[,]p q ，则p q += 。

13 设32()25(0),f x ax x bx a =++-≠若f(-3)=10,则f(3）= 。

14．若函数f （x ）=（x+1）（x -a ）为偶函数，则a 的值为___________. 15．设f （x ）的图像关于原点对称，且在（0，+∞）上是增函数，f （-3）=0，则xf （x ）<0的解集为______________.16．若函数f （x ）=log (a x +是奇函数，则a=___________.17．已知(31)4,1()log ,1aa x a x f x x x -+<⎧=⎨≥⎩是(,)-∞+∞上的减函数，求a 的取值范围_____________18. 若函数)(x f 是定义在R 上的偶函数，在 ]0,(-∞上是减函数，且(2)0f = ，则使得x x f 的0)(<的取值范围是（ ）A.)2,(-∞B. ),2(+∞C. ),2()2,(+∞--∞YD.（－2，2）19（1）若1()21xf x a =+-是奇函数，则a = ． （2）已知函数)(x f 是定义在),(∞+∞-上的偶函数. 当)0,(∞-∈x 时，4)(x x x f -=，则当),0(∞+∈x 时，=)(x f .20 已知奇函数)(x f 是定义在)2,2(-上的减函数，若0)12()1(>-+-m f m f ，求实数m 的取值范围。