专题 平面向量-2019年高考数学一轮复习讲义考情速递1真题感悟 真题回放1.(2018年新课标Ⅱ文)已知向量a ,b 满足|a |＝1,a ·b ＝－1,则a ·(2a －b )＝( ) A.4 B.3 C.2 D.0【答案】B【解析】由题意,a ·(2a －b )＝2a 2－a ·b ＝2＋1＝3.2. 2018年浙江）已知a ，b ，e 是平面向量，e 是单位向量．若非零向量a 与e 的夹角为π3，向量b 满足b 2-4e •b +3=0，则|a -b |的最小值是（ ）A ．3-1B ．3+1C ．2D ．2- 3 【答案】A【解析】由b 2-4e •b +3=0，得(b -e )·(b -3e )=0，∴（b -e ）⊥（b -3e ），如图，不妨设e =(1，0)，则b 的终点在以（2，0）为圆心，以1为半径的圆周上，又非零向量a 与e 的夹角为π3，则a 的终点在不含端点O的两条射线y =±3x （x ＞0）上．不妨以y =3x 为例，则|a -b |的最小值是（2，0）到直线3x -y =0的距离减1．即|23|3+1-1=3-1．故选A ．3．（2018年北京）设向量a =（1，0），b =（-1，m ）．若a ⊥（m a -b ），则m = ． 【答案】-1【解析】向量a =（1，0），b =（-1，m ）．m a -b =（m +1，-m ）．∵a ⊥（m a -b ），∴m +1=0，解得m =-1．故答案为-1．4.(2018年新课标Ⅲ文)已知向量a ＝(1,2),b ＝(2,－2),c ＝(1,λ).若c ∥(2a ＋b ),则λ＝________. 【答案】12【解析】(2a ＋b )＝2(1,2)＋(2,－2)＝(4,2),由c ∥(2a ＋b ),得14＝λ2,解得λ＝12.2热点题型题型一：平面向量的概念以及线性运算例1．（2018•新课标Ⅰ）在△ABC 中，AD 为BC 边上的中线，E 为AD 的中点，则=（ ）A ．﹣B ．﹣C ．+D ．+【分析】运用向量的加减运算和向量中点的表示，计算可得所求向量． 【答案】A【解析】：在△ABC 中，AD 为BC 边上的中线，E 为AD 的中点，=﹣=﹣ =﹣×（+）=﹣，故选：A ．题型二：平面向量基本定理及坐标表示例2．（2018•南开区三模）向量，，在单位正方形网格中的位置如图所示，则•（）= 3 ．【分析】首先以向量的起点为原点，分别以水平方向和竖直方向为x轴、y轴建立坐标系，将三个向量用坐标表示，再进行运算．【答案】：3【解析】如图建立平面直角坐标系，则=（1，3），=（3，﹣1）﹣（1，1）=（2，﹣2），=（（3， 2）﹣（5，﹣1）=（﹣2，3），∴=（0，1），∴=（1，3）•（0，1）=3．故答案为：3．【点评】本题考查了向量的坐标运算，包括向量的加法运算、数量积的坐标运算，关键是正确建立坐标系，将向量坐标化，再进行运算．变式训练2（2018•新余二模）已知向量，，，若，则= ．【答案】题型三平面向量的数量积例3（2018年天津）在如图的平面图形中，已知OM=1，ON=2，∠MON=120°，→OMNA，则→BC·→BM=2→MA，→CN=2→值为（）A．-15 B．-9 C．-6 D．0【分析】解法Ⅰ，由题意判断BC∥MN，且BC=3MN，再利用余弦定理求出MN和∠OMN的余弦值，计算•即可．解法Ⅱ：用特殊值法，不妨设四边形OMAN是平行四边形，由题意求得的值．【答案】C∴cos∠OMN===，∴•=||×||cos（π﹣∠OMN）=3×1×（﹣）=﹣6．解题Ⅱ：不妨设四边形OMAN是平行四边形，由OM=1，ON=2，∠MON=120°，=2，=2，知=﹣=3﹣3=﹣3+3，∴=（﹣3+3）•=﹣3+3•=﹣3×12+3×2×1×cos120°=﹣6．故选：C．变式训练4（2018•昌平区二模）向量，在边长为1的正方形网格中的位置如图所示，则向量，所成角的余弦值是；向量，所张成的平行四边形的面积是 3 ．【答案】，3【解析】：如图所示，建立直角坐标系，不妨取=（2，1），=（1，2），则===．向量，所张成的平行四边形的面积S=••sin=×=5×=3．故答案分别为：，3．3新题预测1.如图，在等腰直角△ABO中，OA=OB=1，C为AB上靠近点A的四等分点，过C作AB的垂线l，P为垂线上任一点，则等于（）A．﹣ B．C．﹣ D．【答案】A【解析】：由已知条件知，AB=，∠OAB=45°；又，；∴===．故选：A．2．设A，B，C是半径为1的圆O上的三点，，则的最大值是（）A．B．C．D．1【答案】：A=||2﹣||•||cos＜，（）＞=1﹣×cos＜，（）＞，∴当＜，（）＞=180°时，取最大值1+．故选：A．专项训练平面向量一.选择题1. （2018•延安模拟）在△ABC中，点D在边AB上，=，设=，=，则=（）A．+B．+C．+D．+【答案】：B【解析】∵，∴，解得．∴．故选：B．2. （2018•山西一模）在平行四边形ABCD中，点E为CD的中点，BE与AC的交点为F，设=，=，则向量=（）A．+B．﹣﹣C．﹣+D．﹣【答案】：C3. （2018•玉溪模拟）如图，D是△ABC的边AB的中点，则向量等于（）A．B．C．D．【答案】：A【解析】∵D是△ABC的边AB的中点，∴=（+）∵=﹣，∴=（﹣﹣）=﹣+故选：A．4. （2018•泸州模拟）已知△ABC是边长为2的正三角形，点P为平面内一点，且||=，则）的取值范围是（）A．[0，12] B．[0，] C．[0， 6] D．[0，3]【答案】：A5. （2018•资阳模拟）平行四边形ABCD中，M是BC的中点，若，则λ+μ=（）A．B．2 C．D．【答案】：D【解析】∵，．∴=，∴⇒则λ+μ=．故选：D．6. （2018•洛阳三模）已知平面向量，，，若，则实数k的值为（）A．B．C．2 D．【答案】：B【解析】∵平面向量，，，∴=（2+k，﹣1+k），∵，∴，解得k=．∴实数k的值为．故选：B．7. （2018•曲靖一模）如图，在△ABC中，=，=，若=λ+μ，则λ+μ=（）A．B．﹣ C．D．﹣【答案】：D=+（﹣）=﹣+；又=λ+μ，∴λ=﹣，μ=，∴λ+μ=﹣+=﹣．故选：D．8.（2018•惠州模拟）在△ABC中，∠A=，AB=2，AC=3，=2，则=（）A．﹣B．﹣ C．D．【答案】：C【解析】如图，；∴；∴；∴===．故选：C．9. （2018•琼海模拟）如图，ABCD是边长为8的正方形，若DE=，且F为BC的中点，则=（）A．10 B．12 C．16 D．20【答案】：D10. （2018•宁城县一模）如图，在矩形ABCD中，AB=，BC=2，点E为BC的中点，点F在边CD上，若•=，则•的值是（）A．2﹣B．1 C．D．2【答案】：C【解析】：据题意，分别以AB、AD所在直线为x，y轴，建立如图所示平面直角坐标系，则：A（0，0），B（，0），E（，1），设F（x，2）；∴；∴x=1；∴F（1，2），；∴．故选：C．11. （2018•马鞍山三模）已知两点M（﹣1，0），N（1，0）若直线3x﹣4y+m=0上存在点P满足，则实数m的取值范围是（）A．（﹣∞，﹣5]∪[5，+∞）B．（﹣∞，﹣25]∪[25，+∞） C．[﹣25，25] D．[﹣5，5]【答案】：D12.（2018•济宁二模）设非零向量，，满足=0，||=2，＜，＞=120°，则||的最大值为（）A．1 B．C．D．2【答案】：C【解析】：如图所示构造△ABC，使=，=，=，||=2，∠BAC=60°，∴＜，＞=180°﹣∠BAC=120°，△ABC中，由正弦定理得，====，∴||=sinB，当sinB=1，即B=90°时，||取得最大值为．故选：C．二、填空题13. （2018•开封三模）已知非零向量，的夹角为60°，且||=1，|2|=1，则||= ．【答案】：14.（2018•乐山三模）在边长为3的正三角形ABC中，D是BC上的点，=2，则•= 【答案】：【解析】：如图，∵；∴；∴====．故答案为：．15. （2018•静海区校级模拟）已知A，B，C为单位圆O上任意三点，=0，=，=﹣，若OA的中点为E，则的值为．【答案】：．OA的中点为E（﹣，﹣）；∴=（﹣，﹣﹣1，）•（1，﹣1）=﹣++1=．故答案为：．16.（2018•呼和浩特一模）在△ABC中，，满足|﹣t|≤||的实数t的取值范围是．【答案】：．整理得：2t2﹣3t≤0；解得；∴实数t的取值范围是．故答案为：．。