2019年高考数学一轮复习：二项式定理二项式定理1．二项式定理(a＋b)n＝_____________________(n∈N*)，这个公式所表示的规律叫做二项式定理．(a＋b)n的二项展开式共有____________项，其中各项的系数____________(k∈{0，1，2，…，n})叫做二项式系数，式中的____________叫做二项展开式的通项，用T k＋1表示，即__________________．通项为展开式的第__________项．2．二项式系数的性质(1)对称性在二项展开式中，与首末两端“等距离”的两个二项式系数相等，即C0n＝C n n，C1n＝C n－1n，C2n＝C n－2n，…，____________，…，C n n＝C0n.(2)增减性与最大值二项式系数C k n，当____________时，二项式系数是递增的；当____________时，二项式系数是递减的．当n是偶数时，中间的一项____________取得最大值．当n是奇数时，中间的两项____________和____________相等，且同时取得最大值．(3)各二项式系数的和(a＋b)n的展开式的各个二项式系数的和等于________，即C0n＋C1n＋C2n＋…＋C r n＋…＋C n n＝________.二项展开式中，偶数项的二项式系数的和等于奇数项的二项式系数的和，即C1n＋C3n＋C5n＋…＝C0n＋C2n＋C4n＋…＝________.自查自纠1．C0n a n＋C1n a n－1b＋…＋C k n a n－k b k＋…＋C n n b nn＋1C k n C k n a n－k b k T k＋1＝C k n a n－k b k k＋12．(1)C k n＝C n－kn(2)k＜n＋12k＞n＋12Cn2n Cn－12n Cn＋12n(3)2n2n2n－1(2016·四川)设i为虚数单位，则(x＋i)6的展开式中含x4的项为( )A．－15x4B．15x4C．－20ix4D．20ix4解：由题可知，含x4的项为C26x4i2＝－15x4.故选A.(2017·全国卷Ⅰ)⎝⎛⎭⎪⎫1＋1x2(1＋x)6展开式中x2的系数为( )A．15 B．20 C．30 D．35解：(1＋x)6展开式的通项T r＋1＝C r6x r，所以⎝⎛⎭⎪⎫1＋1x2(1＋x)6的展开式中x2的系数为1×C26＋1×C46＝30，故选C.(2017·全国卷Ⅲ)(x＋y)(2x－y)5的展开式中x3y3的系数为( )A ．－80B ．－40C ．40D ．80 解：原题即求(2x －y )5中x 2y 3与x 3y 2系数的和，即为C 35·22·(－1)3＋C 25·23·(－1)2＝40.故选C.(2016·全国卷Ⅰ)(2x ＋x )5的展开式中，x 3的系数是____________．(用数字填写答案)解：展开式的通项为T r ＋1＝25－r C r 5x5－r2，令5－r2＝3，得r ＝4，故所求系数为2C 45＝10.故填10.(2016·天津)⎝⎛⎭⎪⎫x 2－1x 8的展开式中x 7的系数为________．(用数字作答)解：二项式展开式通项为T r ＋1＝C r 8(x 2)8－r ⎝ ⎛⎭⎪⎫－1x r＝(－1)r C r 8x16－3r ，令16－3r ＝7，r ＝3，所以x 7的系数为(－1)3C 38＝－56.故填－56.类型一 求特定项(1)⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋a x ⎝⎛⎭⎪⎫2x －1x 5的展开式中各项系数的和为2，则该展开式中的常数项为( )A ．－40B ．－20C ．20D ．40 解：令x ＝1，可得a ＋1＝2，a ＝1，⎝⎛⎭⎪⎫2x －1x 5的展开式中1x项的系数为C 3522(－1)3，x 项的系数为C 2523，所以⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋1x (2x －1x )5的展开式中常数项为C 3522(－1)＋C 2523＝40.故选D.【点拨】①令x ＝1可得所有项的系数和；②在求出a 的值后，再分析常数项的构成，便可解得常数项．(2)(2015·安徽)⎝⎛⎭⎪⎫x 3＋1x 7的展开式中x 5的系数是________．(用数字填写答案)解：由题意，二项式⎝ ⎛⎭⎪⎫x 3＋1x 7展开的通项为T r ＋1＝C r 7(x 3)7－r ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x r＝C r 7x 21－4r ，令21－4r ＝5，得r ＝4，则x 5的系数是C 47＝35.故填35.(3)(2017·浙江)已知多项式(x ＋1)3(x ＋2)2＝x 5＋a 1x 4＋a2x 3＋a3x 2＋a 4x ＋a 5，则a 4＝________，a 5＝________．解：a 4为含x 的项的系数，根据二项式定理，a 4＝C 23×12×C 22×22＋C 33×13×C 12×2＝16，a 5是常数项，a 5＝C 33×13×C 22×22＝4.故填16；4.【点拨】求二项展开式有关问题的常见类型及解题策略：(1)求展开式中的特定项．可依据条件写出第r ＋1项，再由特定项的特点求出r 值即可．(2)已知展开式的某项，求特定项的系数．可由某项得出参数项，再由通项写出第r ＋1项，由特定项得出r 值，最后求出其系数．(1)已知在⎝⎛⎭⎪⎫3x －123x n的展开式中，第6项为常数项，则含x 2项的系数为________．解：通项T r ＋1＝C r n xn －r3⎝ ⎛⎭⎪⎫－12r x －r3＝C r n ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12r xn －2r3，因为第6项为常数项，所以r ＝5时，有n －2r3＝0，得n ＝10.令10－2r3＝2，得r ＝2，所以含x 2项的系数为C 210⎝ ⎛⎭⎪⎫－122＝454.故填454.(2)(2016·北京)在(1－2x)6的展开式中，x2的系数为____________．(用数字填写答案)解：展开式的通项T r＋1＝C r6·16－r·(－2x)r＝C r6(－2x)r.令r＝2得T3＝C26·4x2＝60x2，即x2的系数为60.故填60.(3)(2015·全国卷Ⅰ)(x2＋x＋y)5的展开式中，x5y2的系数为( )A．10 B．20 C．30 D．60解：在(x2＋x＋y)5的5个因式中，2个取x2，剩余的3个因式中1个取x，其余因式取y，故x5y2的系数为C25C13C22＝30，故选C.类型二展开式的系数和问题在(2x－3y)10的展开式中，求：(1)二项式系数的和；(2)各项系数的和；(3)奇数项的二项式系数和与偶数项的二项式系数和；(4)奇数项系数和与偶数项系数和；(5)x的奇次项系数和与x的偶次项系数和．解：设(2x－3y)10＝a0x10＋a1x9y＋a2x8y2＋…＋a10y10，(*)各项系数和为a0＋a1＋…＋a10，奇数项系数和为a0＋a2＋…＋a10，偶数项系数和为a1＋a3＋a5＋…＋a9，x的奇次项系数和为a1＋a3＋a5＋…＋a9，x的偶次项系数和为a0＋a2＋a4＋…＋a10.由于(*)是恒等式，故可用“赋值法”求出相关的系数和．(1)二项式系数的和为C010＋C110＋…＋C1010＝210.(2)令x＝y＝1，各项系数和为(2－3)10＝(－1)10＝1.(3)奇数项的二项式系数和为C010＋C210＋…＋C1010＝29，偶数项的二项式系数和为C110＋C310＋…＋C910＝29.(4)令x＝y＝1，得a0＋a1＋a2＋…＋a10＝1，①令x＝1，y＝－1(或x＝－1，y＝1)，得a0－a1＋a2－a3＋…＋a10＝510，②①＋②得2(a 0＋a 2＋…＋a 10)＝1＋510， 所以奇数项系数和为1＋5102；①－②得2(a 1＋a 3＋…＋a 9)＝1－510， 所以偶数项系数和为1－5102.(5)x 的奇次项系数和为a 1＋a 3＋a 5＋…＋a 9＝1－5102；x 的偶次项系数和为a 0＋a 2＋a 4＋…＋a 10＝1＋5102.【点拨】①“赋值法”普遍运用于恒等式，是一种处理二项式相关问题比较常用的方法．对形如(ax ＋b )n ，(ax 2＋bx ＋c )m (a ，b ，c ∈R )的式子求其展开式各项系数之和，只需令x ＝1即可；对形如(ax ＋by )n (a ，b ∈R )的式子求其展开式各项系数之和，只需令x ＝y ＝1即可．②若f (x )＝a 0＋a 1x ＋a 2x 2＋…＋a n x n ，则f (x )展开式中各项系数之和为f (1)，奇数项系数之和为a 0＋a 2＋a 4＋…＝f （1）＋f （－1）2，偶数项系数之和为a 1＋a 3＋a 5＋…＝f （1）－f （－1）2.(1)(2017浙江温州模拟)在⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫x ＋3x n 的展开式中，各项系数和与二项式系数和之比为64，则x 3的系数为( )A ．15B ．45C ．135D ．405解：由题意4n2n ＝64，n ＝6，T r ＋1＝C r 6x 6－r ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫3x r ＝3r C r 6x6－3r2，令6－3r2＝3，得r ＝2，则x 3的系数为32C 26＝135.故选C.(2)若(x ＋2＋m )9＝a 0＋a 1(x －1)＋a 2(x －1)2＋…＋a 9(x －1)9，且(a 0＋a 2＋…＋a 8)2－(a 1＋a 3＋…＋a 9)2＝39，则实数m 的值为____________．解：令x ＝2，得a 0＋a 1＋a 2＋…＋a 9＝(4＋m )9，令x ＝0，得a 0－a 1＋a 2－a 3＋…－a 9＝(m ＋2)9，所以有(4＋m )9(m ＋2)9＝39，即m 2＋6m ＋5＝0，解得m ＝－1或－5.故填－1或－5.(3)设⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫22＋x 2n ＝a 0＋a 1x ＋a 2x 2＋…＋a 2nx 2n ，则(a 0＋a 2＋a 4＋…＋a 2n )2－(a 1＋a 3＋a 5＋…＋a 2n －1)2＝_______________________________.解：设f (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫22＋x 2n，则(a 0＋a 2＋a 4＋…＋a 2n )2－(a 1＋a 3＋a 5＋…＋a 2n －1)2＝(a 0＋a 2＋a 4＋…＋a 2n －a 1－a 3－a 5－…－a 2n －1)(a 0＋a 2＋a 4＋…＋a 2n ＋a 1＋a 3＋a 5＋…＋a 2n －1)＝f (－1)·f (1)＝⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫22－12n ·⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫22＋12n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－122n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫14n .故填⎝ ⎛⎭⎪⎫14n. 类型三 系数最大项问题已知(3x ＋x 2)2n 的展开式的二项式系数和比(3x －1)n的展开式的二项式系数和大992.(1)求⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋1x 2n的二项式系数最大的项；(2)求⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋1x 2n的展开式系数最大的项．解：由题意知，22n －2n ＝992，即(2n －32)(2n ＋31)＝0，所以2n ＝32(负值舍去)，解得n ＝5.(1)由二项式系数的性质知，⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋1x 10的展开式中第6项的二项式系数最大，即C 510＝252.所以T 6＝C 510(2x )51x 5＝C 51025＝8 064.(2)设第r ＋1项的系数最大，因为T r ＋1＝C r10(2x )10－r1x r＝C r 10210－r x 10－2r ， 所以⎩⎪⎨⎪⎧C r10210－r ≥C r －110210－r ＋1，C r 10210－r ≥C r ＋110210－r －1，得⎩⎪⎨⎪⎧C r 10≥2C r －110，2C r 10≥C r ＋110， 即⎩⎪⎨⎪⎧11－r ≥2r ，2（r ＋1）≥10－r ，解得83≤r ≤113，因为r ∈N ，所以r ＝3.故系数最大的项是第4项，第4项为T 4＝C 31027x 4＝15 360x 4.【点拨】(1)求二项式系数最大项：①如果n 是偶数，则中间一项⎝ ⎛⎭⎪⎫第n 2＋1项的二项式系数最大；②如果n 是奇数，则中间两项(第n ＋12项与第n ＋12＋1项)的二项式系数相等并最大．(2)求展开式系数最大项：如求(a ＋bx )n (a ，b ∈R )的展开式系数最大的项，一般是采用待定系数法，列出不等式组⎩⎪⎨⎪⎧A r ≥A r －1，A r ≥A r ＋1，从而解出r ，即得展开式系数最大的项．已知⎝⎛⎭⎫x 23＋3x 2n的展开式中第3项与第4项的二项式系数相等．(1)求展开式中二项式系数最大的项； (2)求展开式中系数最大的项．解：(1)易知n ＝5，故展开式共有6项，其中二项式系数最大的项为第三、第四两项．所以T 3＝C 25⎝⎛⎭⎫x 233·(3x 2)2＝90x 6，T 4＝C 35⎝⎛⎭⎫x 232·(3x 2)3＝270x 223. (2)设展开式中第r ＋1项的系数最大．T r ＋1＝C r 5·(x 23)5－r ·(3x 2)r ＝C r 5·3r ·x10＋4r3，故有⎩⎪⎨⎪⎧C r5·3r ≥C r －15·3r －1，C r 5·3r ≥C r ＋15·3r ＋1，即⎩⎪⎨⎪⎧3r ≥16－r ，15－r ≥3r ＋1.解得72≤r ≤92.因为r ∈N ，所以r ＝4，即展开式中第5项的系数最大．T 5＝C 45·x 23·(3x 2)4＝405x 263.类型四 整除问题与求近似值问题(1)已知2n ＋2·3n ＋5n －a 能被25整除，求正整数a 的最小值；(2)求1.028的近似值．(精确到小数点后三位) 解：(1)原式＝4·6n ＋5n －a ＝4(5＋1)n ＋5n －a＝4(C 0n 5n ＋C 1n 5n －1＋…＋C n －2n 52＋C n －1n 5＋C n n)＋5n －a＝4(C 0n 5n ＋C 1n 5n －1＋…＋C n －2n52)＋25n ＋4－a ，显然正整数a的最小值为4.(2)1.028＝(1＋0.02)8≈C08＋C18·0.02＋C28·0.022＋C38·0.023≈1.172.【点拨】(1)利用二项式定理解决整除问题的关键是巧妙地构造二项式，其基本思路是：要证明一个式子能被另一个式子整除，只需证明这个式子按二项式定理展开后的各项均能被另一个式子整除．因此，一般将被除式化为含有相关除式的二项式，然后再展开，此时常采用“配凑法”“消去法”结合整除的有关知识来处理．注意：0≤余数<除数．(2)整除问题和求近似值是二项式定理中两类常见的应用问题，整除问题中要关注展开式的最后几项，而求近似值则应关注展开式的前几项．(1)设a∈Z，且0≤a<13，若512 016＋a能被13整除，则a＝( )A．0 B．1 C．11 D．12解：512 016＋a＝(52－1)2 016＋a＝522 016＋C12 016×522 015×(－1)＋…＋C2 0152 016×52×(－1)2 015＋(－1)2 016＋a能被13整除，只需(－1)2 016＋a＝1＋a能被13整除即可．因为0≤a<13，所以a＝12.故选D.(2)设n∈N*，n≠1，求证33n－26n－1能被676整除．证明：33n－26n－1＝27n－26n－1＝(26＋1)n －26n－1＝26n＋C1n26n－1＋C2n26n－2＋…＋C n－2n262＋C n－1n26＋C n n－26n－1＝262() 26n－2＋C1n26n－3＋C2n26n－4＋…＋C n－2n ＝676()26n－2＋C1n26n－3＋C2n26n－4＋…＋C n－2n而26n－2＋C1n26n－3＋C2n26n－4＋…＋C n－2n为整数．故33n－26n－1能被676整除．类型五 特殊“三项式”(可化为二项式)的展开式求⎝ ⎛⎭⎪⎫|x |＋1|x |－23展开式中的常数项．解法一：原式＝（|x |2－2|x |＋1）3|x |3＝（|x |－1）6|x |3，所以 (1－|x |)6的展开式中|x |3的系数C 36(－1)3＝－20就是原式展开式中的常数项．解法二：将原式化为⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫|x |－1|x |6，利用二项式定理求解．解法三：将原式看成三个|x |＋1|x |－2相乘，常数项只可能由|x |·1|x |·(－2)和(－2)3构成，可利用计数原理分成两类再求和．故所求为C 13·C 12·(－2)＋C 33·(－2)3＝－20.【点拨】三项式的展开式问题，通常可用解法二化为二项式问题，或者用解法三化为计数问题．(2015·江西模拟)若(x 2＋ax ＋1)6(a >0)的展开式中x 2的系数是66，则⎠⎜⎛0a sin xdx 的值为____________．解：由题意可得(x 2＋ax ＋1)6的展开式中x 2的系数为C 16＋C 26a 2，故C 16＋C 26a 2＝66，所以a ＝2或a ＝－2(舍去)．故⎠⎜⎛0a sin xdx ＝(－cos x )|20＝1－cos2.故填1－cos2.1．二项展开式的通项主要用于求二项式的指数、项和系数，在运用公式时要注意以下几点：(1)C k n a n－k b k是第k＋1项，而不是第k项．(2)求展开式的一些特殊项，通常都是由题意列出方程求出k，再求所需的某项(有时需先求n)．计算时要注意n，k的取值范围及它们的大小关系．(3)求展开式的某一项的系数，先要准确地写出通项，特别要注意符号问题，然后将通项中的系数和字母分离．2．要注意二项展开式中二项式系数与某一项系数的区别．在(a＋b)n的展开式中，系数最大的项是中间项；但当a，b的系数不是1时，系数最大的项的位置就不一定在中间，需要利用通项公式，根据系数的增减性具体讨论而定．3．对三项或三项以上的展开问题，应根据式子的特点，转化为二项式来解决(有些题目也可转化为计数问题解决)，转化的方法通常为集项、配方、因式分解，集项时要注意项与项结合的合理性和简捷性．4．二项式定理的应用方法(1)“赋值法”和“构造法”是解决二项展开式中“系数和”问题的基本思路，也是证明有关组合数恒等式的重要方法．(2)“配凑法”和“消去法”是解决“整除性问题”或“余数问题”的重要方法．(3)整除问题要关注的是展开式的最后几项，求近似值问题关注的是展开式的前几项．(4)有些不等式的证明问题，也常借助二项式定理进行“放缩”处理．(5)要注意二项式定理的逆用，它常用于有关化简和求值问题．1．在⎝⎛⎭⎪⎫x －23x 4的展开式中，常数项为()A ．－32B ．32C ．－24D ．24解：通项T r ＋1＝C r 4x 4－r (－2)r ·x －r3＝C r 4(－2)r x 4－4r 3，令4－4r3＝0⇒r ＝3.故所求为－32.故选A. 2．(2015·南昌质检)在⎝⎛⎭⎪⎫x 2－13x n的展开式中，只有第5项的二项式系数最大，则展开式中常数项是( )A ．－7B ．7C ．－28D ．28 解：由题意可知n ＝8，T r ＋1＝C r8⎝ ⎛⎭⎪⎫x 28－r ⎝ ⎛⎭⎪⎫－13x r ＝⎝⎛⎭⎪⎫128－r(－1)r C r 8·x 8－4r 3. 令8－43r ＝0，得r ＝6，⎝ ⎛⎭⎪⎫122×(－1)6C 68＝7.故选B.3．(2017·广西联考)若二项式⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫55x 2＋1x 6的展开式中的常数项为m ，则⎠⎜⎛1m (x 2－2x )dx ＝( )A.13 B ．－13 C ．－23 D.23 解：因为二项展开式的通项公式为T r ＋1＝C r6⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫55x 26－r ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x r ＝⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫556－rC r 6x 12－3r ， 令12－3r ＝0，得r ＝4，所以m ＝⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫552C 46＝3，所以⎠⎜⎛1m(x 2－2x )dx ＝⎠⎜⎛13(x 2－2x )dx ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13x 3－x 2|31＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13×33－32－⎝ ⎛⎭⎪⎫13－1＝23，故选D. 4．(2016·贵州模拟)在二项式(x 2＋x ＋1)(x －1)5的展开式中，含x 4项的系数是( )A ．－25B ．－5C ．5D ．25 解：因为(x 2＋x ＋1)(x －1)＝x 3－1，所以原式可化为(x 3－1)(x －1)4.故展开式中，含x 4项的系数为C 34(－1)3－C 04＝－4－1＝－5.故选B.5．从⎝⎛⎭⎪⎪⎫4x ＋1x 20的展开式中任取一项，则取到有理项的概率为( )A.521B.27C.310D.37解：⎝⎛⎭⎪⎪⎫4x ＋1x 20的展开式的通项公式为T k ＋1＝C k20(4x )20－k⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫1x k＝C k 20x 5－34k ，其中k＝0，1，2，…，20.而当k ＝0，4，8，12，16，20时，5－34k 为整数，对应的项为有理项，所以从⎝⎛⎭⎪⎪⎫4x ＋1x 20的展开式中任取一项，取到有理项的概率为P ＝621＝27.故选B.6．若x 4(x ＋3)8＝a 0＋a 1(x ＋2)＋a 2(x ＋2)2＋…＋a 12(x ＋2)12，则log 2(a 1＋a 3＋a 5＋…＋a 11)等于( )A ．27B ．28C ．7D ．8 解：令x ＝－1得a 0＋a 1＋a 2＋…＋a 12＝28，①；令x ＝－3得a 0－a 1＋a 2－a 3＋…＋a 12＝0，②.①－②得2(a 1＋a 3＋…＋a 11)＝28，所以a 1＋a 3＋…＋a 11＝27，所以log 2(a 1＋a 3＋…＋a 11)＝7.故选C.7．(2016·上海)在⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫3x －2x n 的二项式中，所有项的二项式系数之和为256，则常数项等于________．解：因为所有项的二项式系数之和为2n ， 所以2n ＝256，所以n ＝8，二项展开式的通项为T r ＋1＝C r 8(3x )8－r ·⎝ ⎛⎭⎪⎫－2x r ＝(－2)r C r 8x 83－43r ，令83－43r ＝0，得r ＝2，所以T 3＝112.故填112.8．(2016·山东)若⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫ax 2＋1x 5的展开式中x 5的系数是－80，则实数a ＝________．解：因为T r ＋1＝C r 5(ax 2)5－r⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫1x r＝C r 5a 5－r x 10－52r ，所以由10－52r ＝5r ＝2，因此C 25a 5－2＝－80a ＝－2.故填－2.9．求证：32n ＋2－8n －9能被64整除(n ∈N *)． 证明：因为32n ＋2－8n －9＝32·32n －8n －9 ＝9·9n －8n －9＝9(8＋1)n －8n －9＝9(C 0n 8n ＋C 1n 8n －1＋…＋C n －1n ·8＋C n n·1)－8n －9 ＝9(8n ＋C 1n 8n －1＋…＋C n －2n82)＋9·8n ＋9－8n －9＝9×82(8n －2＋C 1n 8n －3＋…＋C n －2n )＋64n ＝64[9(8n －2＋C 1n 8n －3＋…＋C n －2n)＋n ]． 所以32n ＋2－8n －9能被64整除．10．已知二项式⎝ ⎛⎭⎪⎫12＋2x n.(1)若展开式中第5项，第6项与第7项的二项式系数成等差数列，求展开式中二项式系数最大的项的系数；(2)若展开式前三项的二项式系数和等于79，求展开式中系数最大的项．解：(1)因为C 4n ＋C 6n ＝2C 5n ，所以n 2－21n ＋98＝0，所以n ＝7或n ＝14.当n ＝7时，展开式中二项式系数最大的项是T 4和T 5.所以T 4的系数为C 37×⎝ ⎛⎭⎪⎫124×23＝352，T 5的系数为C 47×⎝ ⎛⎭⎪⎫123×24＝70. 当n ＝14时，展开式中二项式系数最大的项是T 8.所以T 8的系数为C 714×⎝ ⎛⎭⎪⎫127×27＝3 432. (2)因为C 0n ＋C 1n ＋C 2n ＝79，所以n 2＋n －156＝0， 所以n ＝12或n ＝－13(舍去)．设第k ＋1项的系数最大，因为⎝ ⎛⎭⎪⎫12＋2x 12＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1212(1＋4x )12，所以⎩⎪⎨⎪⎧C k 124k ≥C k －1124k －1，C k 124k ≥C k ＋1124k ＋1.所以9.4≤k ≤10.4，所以k ＝10.所以展开式中系数最大的项为第11项，且T 11＝C 1012·⎝ ⎛⎭⎪⎫122·210·x 10＝16 896x 10. 11. (1)已知(1－x ＋x 2)3(1－2x 2)4＝a 0＋a 1x ＋a 2x 2＋…＋a 14x 14，求a 1＋a 3＋a 5＋…＋a 13的值．(2)已知(x ＋1)2(x ＋2)2 014＝a 0＋a 1(x ＋2)＋a 2(x ＋2)2＋…＋a 2 016(x ＋2)2 016，求a 12＋a 222＋a 323＋…＋a 2 01622 016的值．解：(1)设f (x )＝(1－x ＋x 2)3(1－2x 2)4. 令x 分别取1，－1，则f (1)＝a 0＋a 1＋a 2＋…＋a 13＋a 14＝1；f (－1)＝a 0－a 1＋a 2－…－a 13＋a 14＝27. a 1＋a 3＋a 5＋…＋a 13＝f （1）－f （－1）2＝1－272＝－13. (2)依题意令x ＝－32，得⎝ ⎛⎭⎪⎫－32＋12⎝ ⎛⎭⎪⎫－32＋22 014＝a 0＋a 1⎝ ⎛⎭⎪⎫－32＋2＋a 2⎝ ⎛⎭⎪⎫－32＋22＋…＋a 2016⎝ ⎛⎭⎪⎫－32＋22 016，令x ＝－2得a 0＝0，则a 12＋a 222＋a 323＋…＋a 2 01622 016＝⎝ ⎛⎭⎪⎫122 016.已知()1＋x ＋x 2⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋1x 3n(n ∈N *)的展开式中没有常数项，且2≤n ≤8，则n ＝________.解：因为(1＋x ＋x 2)⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋1x 3n(n ∈N *)的展开式中没有常数项，所以⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋1x 3n的展开式中没有常数项，且没有x －1，x －2项.⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋1x 3n的展开式的通项为T r ＋1＝C r n xn －4r ，当n ＝2，3，4时，取r ＝1可知均不符合要求；当n ＝6，7，8时，取r ＝2可知均不符合要求；当n ＝5时，r 取0，1，2，3，4，5均不会产生x －1，x －2及常数项．故填5.。