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2014年全国高考理科数学试卷及答案(大纲卷)

2014年普通高等学校统一考试(大纲)
理科
第Ⅰ卷(共60分)
一、选择题:本大题共12个小题,每小题5分,共60分. 在每小题给出的四个选
项中,只有一项
是符合题目要求的.
1.设103i z i
=+,则z 的共轭复数为( ) A .13i -+ B .13i -- C .13i + D .13i -
2.设集合2{|340}M x x x =--<,{|05}N x x =≤≤,则M
N =( )
A .(0,4]
B .[0,4)
C .[1,0)-
D .(1,0]-
3.设0sin 33a =,0cos55b =,0tan 35c =,则( )
A .a b c >>
B .b c a >>
C .c b a >>
D .c a b >>
4.若向量,a b 满足:||1a =,()a b a +⊥,(2)a b b +⊥,则||b =( )
A .2
B
C .1
D 5.有6名男医生、5名女医生,从中选出2名男医生、1名女 医生组成一个医疗小组,则不同的选法共有( )
A .60种
B .70种
C .75种
D .150种
6.已知椭圆C :22221x y a b +=(0)a b >>的左、右焦点为1F 、2F ,过2F 的
直线交C 于A 、B 两点,若1AF B ∆的周长为C 的方程为( )
A .22132x y +=
B .2213x y +=
C .221128x y +=
D .22
1124
x y += 7.曲线1x y xe -=在点(1,1)处切线的斜率等于( )
A .2e
B .e
C .2
D .1
8.正四棱锥的顶点都在同一球面上,若该棱锥的高为4, 底面边长为2,则该球的表面积为( )
A .814π
B .16π
C .9π
D .274
π 9.已知双曲线C 的离心率为2,焦点为1F 、2F ,点A 在C 上,若12||2||F A F A =,则21cos AF F ∠=( )
A .14
B .13
C
D
10.等比数列{}n a 中,452,5a a ==,则数列{lg }n a 的前8项和等于( )
A .6
B .5
C .4
D .3
11.已知二面角l αβ--为060,AB α⊂,AB l ⊥,A 为垂足,CD β⊂,C l ∈,0135ACD ∠=,则异面直线AB 与CD 所成角的余弦值为( )
A .14 B
C
D .12
12.函数()y f x =的图象与函数()y g x =的图象关于直线0x y +=对称,则()y f x =的反函数是( )
A .()y g x =
B .()y g x =-
C .()y g x =-
D .()y g x =--
第Ⅱ卷(共90分)
二、填空题(每题5分,满分20分,将答案填在答题纸上)
13.
8的展开式中22x y 的系数为 . 14.设x 、y 满足约束条件02321x y x y x y -≥⎧⎪+≤⎨⎪-≤⎩
,则4z x y =+的最大值为 .
15.直线1l 和2l 是圆222x y +=的两条切线,若1l 与2l 的交点为(1,3),则1l 与2l 的夹角的正切值等于 .
16.若函数()cos 2sin f x x a x =+在区间(,)62
ππ是减函数,则a 的取值范围是 . 三、解答题 (本大题共6小题,共70分.解答应写出文 字说明、证明过程或演算步骤.)
17.(本小题满分10分)
ABC
∆的内角A、B、C的对边分别为a、b、c,已知3cos2cos
a C c A
=,
1
tan
3
A=,求B.
18. (本小题满分12分)
等差数列{}
n
a的前n项和为
n
S,已知
1
10
a=,
2
a为整数,且
4
n
S S
≤.
(1)求{}
n
a的通项公式;
(2)设
1
1
n
n n
b
a a
+
=,求数列{}
n
b的前n项和
n
T.
19. (本小题满分12分)
如图,三棱柱
111
ABC A B C
-中,点
1
A在平面ABC内的射影D在AC上,0
90
ACB
∠=,1
1,2
BC AC CC
===.
(1)证明:
11
AC A B
⊥;
(2)设直线
1
AA与平面
11
BCC B的距离为3,求二面角
1
A A
B C
--的大小.
20. (本小题满分12分)
设每个工作日甲、乙、丙、丁4人需使用某种设备的概率分别为0.60.50.50.4
、、、,各人是否需使用设备相互独立.
(1)求同一工作日至少3人需使用设备的概率;
(2)X表示同一工作日需使用设备的人数,求X的数学期望.
21. (本小题满分12分)
已知抛物线C:22(0)
y px p
=>的焦点为F,直线4
y=与y轴的交点为P,与C的交点为
Q ,且5||||4
QF PQ =. (1)求C 的方程;
(2)过F 的直线与C 相交于A 、B 两点,若AB 的 垂直平分线'l 与C 相较于M 、N 两点,且A 、M 、B 、N 四点在同一圆上,求的方程.
22. (本小题满分12分) 函数()ln(1)(1)ax f x x a x a
=+->+. (1)讨论()f x 的单调性;
(2)设111,ln(1)n n a a a +==+,证明:
23+22
n a n n <≤+.。

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