梯形常用辅助线的做法常见的梯形辅助线基本图形如下:1.平移梯形一腰或两腰,把梯形的腰、两底角等转移到一个三角形中,同时还得到平行四边形．【例1】已知：如图,在梯形ABCD中,.求证：.分析:平移一腰BC到DE,将题中已知条件转化在同一等腰三角形中解决,即AB=2CD.证明：过D作 ,交AB于E.∵ AB平行于CD,且 ,∴四边形是菱形.∴又∴为等边三角形.∴又 ,∴∴.【例2】如图,在梯形ABCD 中,AD∥BC , E、F 分别是AD 、BC 的中点,若.AD = 7 ,BC = 15 ,求EF ．分析：由条件 ,我们通过平移AB 、DC ；构造直角三角形MEN ,使EF 恰好是△MEN 的中线．解：过E 作EM∥AB ,EN ∥DC ,分别交BC 于M 、N ,∵ , ∴∴是直角三角形,∵ , ,∴ .∵、分别是、的中点,∴为的中点,∴ .变式：如图1，梯形ABCD的上底AB=3，下底CD=8，腰AD=4，求另一腰BC的取值范围。
图1析解：过点B作BM//AD交CD于点M，则梯形ABCD转化为△BCM和平行四边形ABMD。
在△BCM中，BM=AD=4，CM=CD－DM=CD－AB=8－3=5，所以BC的取值范围是：5－4<BC<5＋4，即1<BC<9。
2.延长梯形的两腰,使它们交于一点,可得到两个相似三角形或等腰三角形、直角三角形等进一步解决问题．【例3】.如图,在梯形中, , ,梯形的面积与梯形的面积相等．求证： .分析：条件是两个梯形的面积相等,而结论是三线段长的平方关系,如果延长两腰交于一点,就可得到三个相似的三角形,再利用相似三角形的面积比与相似比的关系变形就可得出结论．证明：延长、使它们相交于点,∵ ,∴∴.同理,∵故得∴变式1：如图5，在梯形ABCD中，AD//BC，∠B=50°，∠C=80°，AD=2，BC=5，求CD 的长。
图5析解：延长BA、CD交于点E。
在△BCE中，∠B=50°，∠C=80°。
所以∠E=50°，从而BC=EC=5同理可得AD=ED=2所以CD=EC－ED=5－2=3变式2：如图所示，四边形ABCD中，AD不平行于BC，AC＝BD，AD＝BC. 判断四边形ABCD 的形状，并证明你的结论.变式3：（延长两腰）如图，在梯形中，，，、为、的中点。
3.从梯形上底的两端向下底引垂线作高,可以得到一个矩形和两个直角三角形．然后利用构造的直角三角形和矩形解决问题．例4.如图,在梯形中,.求证：.分析:过上底向下底作两高,构造Rt△,然后利用两三角形全等解决问题.证明：分别过D、C、作AB的垂线,垂足分别为E、F.∵ ,∴ .又 ,∴≌ .∴变式：如图7，在直角梯形ABCD中，AB//DC，∠ABC=90°，AB=2DC，对角线AC⊥BD，垂足为F，过点F作EF//AB，交AD于点E，求证：四边形ABFE是等腰梯形。
图7析证：过点D作DG⊥AB于点G，则易知四边形DGBC是矩形，所以DC=BG。
因为AB=2DC，所以AG=GB。
从而DA=DB，于是∠DAB=∠DBA。
又EF//AB，所以四边形ABFE是等腰梯形。
如图8，在梯形ABCD中，AD为上底，AB>CD，求证：BD>AC。
图8析证：作AE⊥BC于E，作DF⊥BC于F，则易知AE=DF。
在Rt△ABE和Rt△DCF中，因为AB>CD，AE=DF。
所以由勾股定理得BE>CF。
即BF>CE。
在Rt△BDF和Rt△CAE中由勾股定理得BD>AC4.平移对角线一般是过上底的一个端点作一条对角线的平行线,与另一底的延长线相交,得到一个平行四边形和三角形,把梯形问题转化为平行四边形和三角形问题解决．【例5】.如图,等腰梯形中, , ,且 ,是高,是中位线,求证：．分析：由梯形中位线性质得 ,欲证 ,只要证．过点作 ,交的延长线于 ,就可以把、和移到三角形中,再证明等式成立就简单多了．证明：过点作交的延长线于点 ,则四边形是平行四边形．∴ ,∵四边形是等腰梯形,∴ ,∴又∵ ,∴ ,∴ ,∴ .∵ ,∴又∵ ,∴ .【例6】.已知：如图,在梯形中, .求证：梯形 是等腰梯形. 证明：过D 作,交BA 延长线于E.则四边形 是平行四边形.∴.∴又 ,∴于是,可得∴∴梯形ABCD 是等腰梯形.变式1：如图3，在等腰梯形ABCD 中，AD//BC ，AD=3，BC=7，BD=25，求证：AC ⊥BD 。
图3析解：过点C 作BD 的平行线交AD 的延长线于点E ，易得四边形BCED 是平行四边形，则DE=BC ，CE=BD=25，所以AE=AD ＋DE=AD ＋BC=3＋7=10。
在等腰梯形ABCD 中，AC=BD=25，所以在△ACE 中，22222AE 100)25()25(CE AC ==+=+，从而AC ⊥CE ，于是AC ⊥BD 。
变式2：（平移对角线）已知梯形ABCD 的面积是32，两底与高的和为16，如果其中一条对角线与两底垂直，则另一条对角线长为_____________变式3:如图4，在梯形ABCD 中，AD//BC ，AC=15cm ，BD=20cm ，高DH=12cm ，求梯形ABCD 的面积。
图4析解：过点D 作DE//AC ，交BC 的延长线于点E ，则四边形ACED 是平行四边形，即DCE ACD ABD S S S ∆∆∆==。
所以DBE ABCD S S ∆=梯形由勾股定理得2222DH AC DH DE EH -=-=9121522=-=（cm ）161220DH BD BH 2222=-=-=（cm ）所以)cm (15012)169(21DH BE 21S 2DBE =⨯+⨯=⋅=∆，即梯形ABCD 的面积是150cm 2。
5.遇到梯形一腰中点的问题可以作出梯形的中位线,中位线与上、下底都平行,且三线段有数量关系. 或利用“等积变形”,连结梯形上底一端点和另一腰中点,并延长与下底延长线交于一点,构成三角形解决问题．【例7】.已知：如图4,在梯形中, 是 的中点,且.求证：.证明：取 的中点F,连结FE.则∵ ,∴.∴.【例8】.已知：梯形 ABCD 中AD BC,E 为AB 中点,且AD ＋BC=DC , 求证：DE⊥EC,DE 平分∠ADC,CE 平分∠BCD．证法1：取DC 中点F,连结EF,E 为AD 中点,则EF 为梯形的中位线∴EF∥AD∥BC EF=(AD ＋BC) ∴∠1=∠5,∠3=∠6 ∵DC=AD＋BC∴EF=DC=DF=CF ∴∠1=∠2,∠3=∠4 ∴∠2=∠5,∠4=∠6∴∠1＋∠3＋∠2＋∠4=180° ∴∠1＋∠3=90°∴DE⊥C,DE 平分ADC,CE 平分∠CD证法2：延长CE 与DA 延长线交于一点F,过程略． 证法3：在DC 上截取DF=AD,连结AF 、BF 、EF 解决.变式1：如图9，在梯形ABCD 中，AB//DC ，O 是BC 的中点，∠AOD=90°，求证：AB ＋CD=AD 。
图9析证：取AD 的中点E ，连接OE ，则易知OE 是梯形ABCD 的中位线，从而OE=21（AB ＋CD ）①在△AOD 中，∠AOD=90°，AE=DE 所以AD 21OE② 由①、②得AB ＋CD=AD 。
变式2：在梯形ABCD 中，AD ∥BC ， ∠BAD=900，E 是DC 上的中点，连接AE 和BE ，求∠AEB=2∠CBE 。
解、分析：分别延长AE 与BC ，并交于F 点，从而等到△ADE 与△FCE 是全等的，在利用“直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半就可以求出结论”。
解：分别延长AE 与BC ，并交于F 点∵∠BAD=900且AD ∥BC∴∠FBA=1800－∠BAD=900又∵AD ∥BC∴∠DAE=∠F(两直线平行内错角相等) ∠AED=∠FEC （对顶角相等）DE=EC （E 点是CD 的中点） ∴△ADE ≌△FCE （AAS ） ∴ AE=FE在△ABF 中∠FBA=900且AE=FE∴ BE=FE （直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半） ∴ 在△FEB 中 ∠EBF=∠FEB ∠AEB=∠EBF+ ∠FEB=2∠CBE6.已知梯形两条对角线的中点，连接梯形一顶点与一条对角线中点，并延长与底边相交，使问题转化为三角形中位线。
［例10］如图10，在梯形ABCD 中，AD//BC ，E 、F 分别是BD 、AC 的中点，求证：（1）EF//AD ；（2）)AD BC (21EF -=。
图10析证：连接DF ，并延长交BC 于点G ，易证△AFD ≌△CFG 则AD=CG ，DF=GF由于DE=BE ，所以EF 是△BDG 的中位线 从而EF//BG ，且BG 21EF =因为AD//BG ，AD BC CG BC BG -=-= 所以EF//AD ，EF )AD BC (21-=7.当遇到以上的梯形辅助线添加后不能解决问题时,可以特题特解,结合具体问题中的具体条件,寻求特殊的方法解决问题.比如可将对角线绕中点旋转 、利用一腰中点旋转、将梯形补成平行四边形或三角形问题.【例9】.已知：如图5,在梯形ABCD 中,M 、N 分别是BD 、AC 的中点.求证：.证明：连结并延长 ,交于E.则 .∴又N是AC的中点,∴ ,故取一腰的中点,连结顶点和这个中点并延长与对边的延长线相交,可得两个全等三角形．【例10】.如图,梯形中, ,、分别平分和 ,为中点,求证：．分析：要证明 ,可以利用为中点,延长与的延长线交于 ,,得到,再证明即可．证明：延长、交于点 F,显然．∴ , .又∵ ,, ,∴ ,∴∴是线段的垂直平分线．∴ ,∴ .评注：添加辅助线后,沟通了、与的联系,由线段垂直平分线性质得出 ,从而问题获得解决．利用一腰中点旋转【例11】.已知：如图,在梯形中,是CD的中点.求证：.证明：延长AE、BC相交于点F.易证.∴ ,∵ ,∴即 .∴BE是等腰底边上的高.∴ .说明：在图5中,相当于由绕点E旋转得到；在图6中,是由绕点E旋转得到.【例12】.如图,梯形中, ,为腰的中点,求证：.分析：与梯形ABCD的面积关系不明显,如果利用梯形助特点把它补成如图7的平行四边形,它们之间的关系就清晰了．梯形补成平行四边形,各种关系明显、直观,解题思路清晰．证明：延长 ,使 ,延长 ,使；则 ,则四边形是平行四边形．为的中点,连结 ,与交于点 .连结、 ,则.∵ ,是中点,∴为中点且是中点．∴四边形是平行四边形,∴ ,∴【模拟试题】1. 若等腰梯形的锐角是60°，它的两底分别为11cm，35cm，则它的腰长为__________cm.2. 如图所示，已知等腰梯形ABCD中，AD∥BC，∠B＝60°，AD＝2，BC＝8，则此等腰梯形的周长为（）A. 19B. 20C. 21D. 223. 如图所示，AB∥CD，AE⊥DC，AE＝12，BD＝20，AC＝15，则梯形ABCD的面积为（）A. 130B. 140C. 150D. 1604. 如图所示，在等腰梯形ABCD中，已知AD∥BC，对角线AC与BD互相垂直，且AD＝30，BC＝70，求BD的长.5. 如图所示，已知等腰梯形的锐角等于60°，它的两底分别为15cm和49cm，求它的腰长.6. 如图所示，已知等腰梯形ABCD中，AD∥BC，AC⊥BD，AD＋BC＝10，DE⊥BC于E，求DE的长.7. 如图所示，梯形ABCD中，AB∥CD，∠D＝2∠B，AD＋DC＝8，求AB的长.8. 如图所示，梯形ABCD中，AD∥BC，（1）若E是AB的中点，且AD＋BC＝CD，则DE与BCAD EE C'A BCDPCE 有何位置关系？（2）E 是∠ADC 与∠BCD 的角平分线的交点，则DE 与CE 有何位置关系？【课后演练】1（本小题满分5分）已知：如图，梯形ABCD 中，AD ∥BC ，AB=DC ，∠BAD 、∠CDA 的平分线AE 、DF 分别交直线BC 于点E 、F ．求证： CE=BF ．2．如图，在梯形ABCD 中，AD BC ∥，9038BD CD BDC AD BC =∠===，°，，．求AB 的长． 3．如图6，在梯形ABCD 中，AD BC ∥，90A ∠=︒，︒=∠45C ，DE=EC ，AB=4,AD=2，求BE 的长．4．如图，在平面直角坐标系中，A （23，0），B （23，2）.把矩形OABC 逆时针旋转30︒得到矩形111OA B C . （1）求1B 点的坐标；（2）求过点（2，0）且平分矩形111OA B C 面积的直线l 方程；（3）设（2）中直线l 交y 轴于点P ，直接写出1PC O ∆与11PB A ∆的面积和的值及1POA ∆与11PB C ∆的面积差的值.5. 如图，矩形纸片ABCD 中，BC=4，AB=3，点P 是BC 边上的动点(点P 不与点B 、C 重合)．现将△PCD 沿PD 翻折，得到△PC ’D ；作∠BPC ’的角平分线，交AB 于点E ．设BP= x,BE= y,则下列图象中，能表示y 与x 的函数关系的图象大致是6．已知：如图，梯形ABCD 中，DC ∥AB ，AD =BC ，对角线AC 、BD 交于点O ，∠COD =60°，若CD =3，AB =8，求梯形ABCD 的高．7．已知如图，直角梯形ABCD 中，AD ∥BC ，AB ⊥BC ，AD=2，BC=DC=5，点P 在BC 上移动，则当PA+PD 取最小值时，△APD 中边AP 上的高为 . 8 如图，在矩形ABCD 中，AB=2，BC=1，动点P 从点B 出发，沿路线B C D →→作匀速运动，那么△ABP 的面积S 与点P 运动的路程x 之间的函数图象大致是备用图 12题图D C PB AxyO9．如图，在四边形ABCD 中，AC 平分∠BAD ，10CD B C ==，21AB =，9AD =．求AC 的长．10如图，直线1l ：1y x =+与直线2l ：y mx n =+相交于点), 1(b P ． （1）求b 的值；（2）不解关于y x ,的方程组 请你直接写出它的解；（3）直线3l ：y nx m =+是否也经过点P ？请说明理由．11．已知：关于x 的一元二次方程01)2()1(2=--+-x m x m （m 为实数） 若方程有两个不相等的实数根，求m 的取值范围；12．已知：如图，直线323+-=x y 与x 轴、y 轴分别交于点A 和点B ，D 是y 轴上的一点，若将△DAB 沿直线DA 折叠，点B 恰好落在x 轴正半轴上的点C 处，求直线CD 的解析式．14．如图，在梯形ABCD 中，AD //BC ，BD ⊥DC ，∠C =60°，AD=4，BC=6，求AB 的长．15．已知：如图，在梯形ABCD 中，AD ∥BC ，∠B=45°，∠BAC=105°，AD =CD ．求BC 的长．16．已知：将函数33y x =的图象向上平移2个单位，得到一个新的函数的图像． (1)求这个新的函数的解析式；(2)若平移前后的这两个函数图象分别与y 轴交于O 、A 两点，与直线3x =-交于C 、B 两点．试判断以A 、B 、C 、O 四点为顶点的四边形形状，并说明理由；17 如图，在梯形CD AB 中，AB ∥DC ，DC A DB ∠平分，过点A 30B DC =∠°，3AD =求CD 的长．O3 1 1 3 S x A ．O11 3 Sx O3 Sx 3O1 1 3 SxB ．C ．D ．2 OxyP10题A BCD x yO D A BC。