梯形辅助线专题训练口诀：梯形问题巧转换，变为△和□。

平移腰，移对角，两腰延长作出高。

如果出现腰中点，细心连上中位线。

上述方法不奏效，过腰中点全等造。

通常情况下，通过做辅助线，把梯形转化为三角形、平行四边形，是解梯形问题的基本思路。

至于选取哪种方法，要结合题目图形和已知条件。

常见的几种辅助线的作法如下：作法 图形平移腰，转化为三角形、平行四边形。

ABCDE平移对角线。

转化为三角形、平行四边形。

ABCDE延长两腰，转化为三角形。

ABCD E作高，转化为直角三角形和矩形。

ABCD E F中位线与腰中点连线。

ABCD EF（一）、平移1、平移一腰：例1. 如图所示，在直角梯形ABCD 中，∠A ＝90°，AB ∥DC ，AD ＝15，AB ＝16，BC＝17. 求CD 的长.解：过点D 作DE ∥BC 交AB 于点E. 又AB ∥CD ，所以四边形BCDE 是平行四边形. 所以DE ＝BC ＝17，CD ＝BE. 在R t △DAE 中，由勾股定理，得 AE 2＝DE 2－AD 2，即AE 2＝172－152＝64. 所以AE ＝8.所以BE ＝AB －AE ＝16－8＝8. 即CD ＝8.例2如图，梯形ABCD 的上底AB=3，下底CD=8，腰AD=4，求另一腰BC 的取值范围。

解：过点B 作BM//AD 交CD 于点M ，在△BCM 中，BM=AD=4， CM=CD －DM=CD －AB=8－3=5， 所以BC 的取值范围是： 5－4<BC<5＋4，即1<BC<9。

2、平移两腰：例3如图，在梯形ABCD 中，AD//BC ，∠B ＋∠C=90°，AD=1，BC=3，E 、F 分别是AD 、BC 的中点，连接EF ，求EF 的长。

解：过点E 分别作AB 、CD 的平行线，交BC 于点G 、H ，可得ABCDABCDE∠EGH＋∠EHG=∠B＋∠C=90°则△EGH是直角三角形因为E、F分别是AD、BC的中点，容易证得F是GH的中点所以)(2121CHBGBCGHEF--==1)13(21)(21)]([21)(21=-=-=+-=--=ADBCDEAEBCDEAEBC3、平移对角线：例4、已知：梯形ABCD中，AD//BC，AD=1，BC=4，BD=3，AC=4，求梯形AB CD的面积．解：如图，作DE∥AC，交BC的延长线于E点．∵AD∥BC ∴四边形ACED是平行四边形∴BE=BC+CE=BC+AD=4+1=5，DE=AC=4∵在△DBE中， BD=3，DE=4，BE=5∴∠BDE=90°．作DH⊥BC于H，则512=⨯=BEEDBDDH6251252DHBC)(ADABCD=⨯=⨯+=∴梯形S．例5如图，在等腰梯形ABCD中，AD//BC，AD=3，BC=7，BD=25，求证：A C⊥BD。

解：过点C作BD的平行线交AD的延长线于点E，易得四边形BCED是平行四边形，则DE=BC，CE=BD=25，所以AE=AD＋DE=AD＋BC=3＋7=10。

ABDC EH在等腰梯形ABCD 中，AC=BD=25，所以在△ACE 中，22222100)25()25(AE CE AC ==+=+，从而AC ⊥CE ，于是AC ⊥BD 。

例6如图，在梯形ABCD 中，AD//BC ，AC=15cm ，BD=20cm ，高DH=12cm ，求梯形ABCD 的面积。

解：过点D 作DE//AC ，交BC 的延长线于点E ， 则四边形ACED 是平行四边形， 即DCE ACD ABD S S S ∆∆∆==。

所以DBEABCD S S ∆=梯形由勾股定理得2222DH AC DH DE EH -=-=9121522=-=（cm ）1612202222=-=-=DH BD BH （cm ） 所以)(15012)169(21212cm DH BE S DBE =⨯+⨯=⋅=∆，即梯形ABCD 的面积是150cm 2。

（二）、延长即延长两腰相交于一点，可使梯形转化为三角形。

例7如图，在梯形ABCD 中，AD//BC ，∠B=50°，∠C=80°，AD=2，BC=5，求CD 的长。

解：延长BA 、CD 交于点E 。

在△BCE 中，∠B=50°，∠C=80°。

所以∠E=50°，从而BC=EC=5 同理可得AD=ED=2 所以CD=EC －ED=5－2=3例8. 如图所示，四边形ABCD 中，AD 不平行于BC ，AC ＝BD ，AD ＝BC. 判断四边形ABCD 的形状，并证明你的结论.解：四边形ABCD 是等腰梯形.证明：延长AD 、BC 相交于点E ，如图所示. ∵AC ＝BD ，AD ＝BC ，AB ＝BA ， ∴△DAB ≌△CBA. ∴∠DAB ＝∠CBA.∴EA ＝EB.又AD ＝BC ，∴DE ＝CE ，∠EDC ＝∠ECD.而∠E ＋∠EAB ＋∠EBA ＝∠E ＋∠EDC ＋∠ECD ＝180°， ∴∠EDC ＝∠EAB ，∴DC ∥AB. 又AD 不平行于BC ， ∴四边形ABCD 是等腰梯形.（三）、作对角线即通过作对角线，使梯形转化为三角形。

例9如图6，在直角梯形ABCD 中，AD//BC ，AB ⊥AD ，BC=CD ，BE ⊥CD 于点E ，求证：AD=DE 。

解：连结BD ，由AD//BC ，得∠ADB=∠DBE ；ABCDABCDE由BC=CD，得∠DBC=∠BDC。

所以∠ADB=∠BDE。

又∠BAD=∠DEB=90°，BD=BD，所以Rt△BAD≌Rt△BED，得AD=DE。

（四）、作梯形的高1、作一条高例10如图，在直角梯形ABCD中，AB//DC，∠ABC=90°，AB=2DC，对角线A C⊥BD，垂足为F，过点F作EF//AB，交AD于点E，求证：四边形ABFE是等腰梯形。

证：过点D作DG⊥AB于点G，则易知四边形DGBC是矩形，所以DC=BG。

因为AB=2DC，所以AG=GB。

从而DA=DB，于是∠DAB=∠DBA。

又EF//AB，所以四边形ABFE是等腰梯形。

2、作两条高例11、在等腰梯形ABCD中，AD//BC，AB=CD，∠ABC=60°，AD=3cm，BC=5c m，求：(1)腰AB的长；(2)梯形ABCD的面积．解：作AE⊥BC于E，DF⊥BC于F，又∵AD∥BC，∴四边形AEFD是矩形， EF=AD=3cm∵AB=DCcmEFBCFCBE1)(21=-==∴∵在Rt△ABE中，∠B=60°，BE=1cmAB CDE F∴AB=2BE=2cm ，cm BE AE 33== ∴2342)(cm AEBC AD S ABCD =⨯+=梯形例12如图，在梯形ABCD 中，AD 为上底，AB>CD ，求证：BD>AC 。

证：作AE ⊥BC 于E ，作DF ⊥BC 于F ，则易知AE=DF 。

在Rt △ABE 和Rt △DCF 中， 因为AB>CD ，AE=DF 。

所以由勾股定理得BE>CF 。

即BF>CE 。

在Rt △BDF 和Rt △CAE 中 由勾股定理得BD>AC（五）、作中位线1、已知梯形一腰中点，作梯形的中位线。

例13如图，在梯形ABCD 中，AB//DC ，O 是BC 的中点，∠AOD=90°，求证：AB ＋CD=AD 。

证：取AD 的中点E ，连接OE ，则易知OE 是梯形ABCD 的中位线，从而OE=21（AB ＋CD ）①在△AOD 中，∠AOD=90°，AE=DE 所以AD OE 21=②由①、②得AB ＋CD=AD 。

2、已知梯形两条对角线的中点，连接梯形一顶点与一条对角线中点，并延长与底边相交，使问题转化为三角形中位线。

例14如图，在梯形ABCD 中，AD//BC ，E 、F 分别是BD 、AC 的中点，求证：（1）EF//AD ；（2）)(21AD BC EF -=。

证：连接DF ，并延长交BC 于点G ，易证△AFD ≌△CFG 则AD=CG ，DF=GF由于DE=BE ，所以EF 是△BDG 的中位线 从而EF//BG ，且BG EF 21=因为AD//BG ，AD BC CG BC BG -=-= 所以EF//AD ，EF )(21AD BC -=3、在梯形中出现一腰上的中点时，过这点构造出两个全等的三角形达到解题的目的。

例15、在梯形ABCD 中，AD ∥BC ， ∠BAD=900，E 是DC 上的中点，连接AE 和BE ，求∠AEB=2∠CBE 。

解：分别延长AE 与BC ，并交于F 点 ∵∠BAD=900且AD ∥BC ∴∠FBA=1800－∠BAD=900 又∵AD ∥BC∴∠DAE=∠F(两直线平行内错角相等) ∠AED=∠FEC （对顶角相等） DE=EC （E 点是CD 的中点） ∴△ADE ≌△FCE （AAS ） ∴ AE=FE在△ABF 中∠FBA=900 且AE=FE∴ BE=FE （直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半） ∴ 在△FEB 中 ∠EBF=∠FEB∠AEB=∠EBF+ ∠FEB=2∠CBE例16、已知：如图，在梯形ABCD 中，AD//BC ，AB ⊥BC ，E 是CD 中点，试问：线段AE 和BE 之间有怎样的大小关系？解：AE=BE ，理由如下： 延长AE ，与BC 延长线交于点F ． ∵DE=CE ，∠AED=∠CEF ， ∠DAE=∠F ∴△ADE ≌△FCE ∴AE=EF∵AB ⊥BC ， ∴BE=AE ．例17、已知：梯形ABCD 中，AD//BC ，E 为DC 中点，EF ⊥AB 于F 点，AB=3c m ，EF=5cm ，求梯形ABCD 的面积．解：如图，过E 点作MN ∥AB ，分别交AD 的延长线于M 点，交BC 于N 点． ∵DE=EC ，AD ∥BC ∴△DEM ≌△CNE四边形ABNM 是平行四边形 ∵EF ⊥AB ，∴S 梯形ABCD =S □ABNM =AB ×EF=15cm 2．【模拟试题】（答题时间：40分钟）1. 若等腰梯形的锐角是60°，它的两底分别为11cm ，35cm ，则它的腰长为__________cm .2. 如图所示，已知等腰梯形ABCD 中，AD ∥BC ，∠B ＝60°，AD ＝2，BC ＝8，则此等腰梯形的周长为（ ）A. 19B. 20C. 21D. 22AB CDAB DCEFA BCD EFM N3. 如图所示，AB ∥CD ，AE ⊥DC ，AE ＝12，BD ＝20，AC ＝15，则梯形ABCD 的面积为（ ）A. 130B. 140C. 150D. 160ABCDE*4. 如图所示，在等腰梯形ABCD 中，已知AD ∥BC ，对角线AC 与BD 互相垂直，且AD ＝30，BC ＝70，求BD 的长.AB CD5. 如图所示，已知等腰梯形的锐角等于60°，它的两底分别为15cm 和49cm ，求它的腰长.AB CD6. 如图所示，已知等腰梯形ABCD 中，AD ∥BC ，AC ⊥BD ，AD ＋BC ＝10，DE ⊥BC 于E ，求DE 的长.ABCDE7. 如图所示，梯形ABCD 中，AB ∥CD ，∠D ＝2∠B ，AD ＋DC ＝8，求AB 的长.ABCD**8. 如图所示，梯形ABCD 中，AD ∥BC ，（1）若E 是AB 的中点，且AD ＋BC ＝CD ，则DE 与CE 有何位置关系？（2）E 是∠ADC 与∠BCD 的角平分线的交点，则DE 与CE 有何位置关系？A B C DE。