第1章 质点运动学 习题及答案1．｜r ∆｜与r ∆ 有无不同?t d d r 和dr dt 有无不同? t d d v 和dv dt有无不同?其不同在哪里?试举例说明． 解: ｜r ∆｜与r ∆ 不同. ｜r ∆｜表示质点运动位移的大小,而r ∆则表示质点运动时其径向长度的增量;t d d r 和dr dt 不同. t d d r 表示质点运动速度的大小,而dr dt则表示质点运动速度的径向分量;t d d v 和dv dt 不同. t d d v 表示质点运动加速度的大小, 而dv dt则表示质点运动加速度的切向分量. 2.质点沿直线运动，其位置矢量是否一定方向不变？质点位置矢量方向不变，质点是否一定做直线运动？解: 质点沿直线运动，其位置矢量方向可以改变;质点位置矢量方向不变，质点一定做直线运动.3.匀速圆周运动的速度和加速度是否都恒定不变？圆周运动的加速度是否总是指向圆心，为什么？ 解: 由于匀速圆周运动的速度和加速度的方向总是随时间发生变化的,因此,其速度和加速度不是恒定不变的;只有匀速圆周运动的加速度总是指向圆心,故一般来讲,圆周运动的加速度不一定指向圆心.4．一物体做直线运动，运动方程为2362x t t =-，式中各量均采用国际单位制，求：（1）第二秒的平均速度（2）第三秒末的速度；（3）第一秒末的加速度；（4）物体运动的类型。
解: 由于: 232621261212x(t )t t dx v(t )t t dtdv a(t )t dt=-==-==- 所以:（1）第二秒的平均速度: 1(2)(1)4()21x x v ms --==- （2）第三秒末的速度: 21(3)1236318()v ms -=⨯-⨯=-（3）第一秒末的加速度:2(1)121210()a ms -=-⨯=（4）物体运动的类型为变速直线运动。
5．一质点运动方程的表达式为2105(t t t =+r i j ），式中的,t r 分别以m,s 为单位，试求；（1）质点的速度和加速度；（2）质点的轨迹方程。
解: （1）质点的速度: 205dr v ti j dt==+质点的加速度: 20dv a i dt== （2）质点的轨迹方程: 由210,5x t y t ==联立消去参数t 得质点的轨迹方程:252y x = 6．一人自坐标原点出发，经过20s 向东走了25m ，又用15s 向北走了20m ，再经过10s 向西南方向走了15m ，求：（1）全过程的位移和路程；（2）整个过程的平均速度和平均速率。
解: 取由西向东为x 轴正向, 由南向北为y 轴正向建立坐标系.则人初始时的位置坐标为(0,0), 经过20s 向东走了25m 后的位置坐标为(25,0), 又用15s 向北走了20m 后的位置坐标为(25,20), 再经过10s 向西南方向走了15m 后的位置坐标为(2520--于是:（1）全过程的位移和路程: [(25(207.52)]()25201560()r i j m s m∆=-+-∆=++= （2）整个过程的平均速度和平均速率: 5141/[(25(207.52)]/[(2)(2)](/)96964/60/45(/)3v r t i j t i j m s v s t m s =∆∆=-+-∆=-+-=∆∆== 7．一质点在xOy 平面上运动，运动方程为x =3t +5, y =21t 2+3t -4. 式中t 以 s 计，x ,y 以m 计． (1)以时间t 为变量，写出质点位置矢量的表示式，分别求出第一秒和第二秒质点的位移；(2)求出质点速度矢量的表示式，计算t ＝4 s 时质点的瞬时速度；(3) 求出质点加速度矢量的表示式，并计算t ＝0s 到t ＝4s 质点的平均加速度。
解: （1） j t t i t r )4321()53(2-+++=(m ) 将0t =，1=t ,2=t 分别代入上式即有054t s r i j ==-(m )180.5t s r i j ==- (m )2114t s r i j ==+(m )第一秒质点的位移：103 3.5t s t s r r r i j ==∆=-=+(m )第二秒质点的位移213 4.5t s t s r r r i j ==∆=-=+(m )(2) d 3(3)m/s d r v i t j t ==++ 437m/s t s v i j ==+(3) 2d 1m/s d v a j t== 240(37)(33)1/404t s t sv v i j i j a jm s ==-+-+===- 8.质点的运动方程为8282(t )cos(t )sin(t )(m )=+r i j ，求:(1)质点在任意时刻的速度和加速度的大小；（2）质点的切向加速度和运动轨迹。
解: (1)质点在任意时刻的速度和加速度的大小:122212212122221621623223221632x y x y dr v sin(t )cos(t )(ms )dtd r a cos(t )sin(t )(ms )dt v (v v )(ms )a (a a )(ms )----==-+==--=+==+=i j i j （2）质点的切向加速度:20()dv a ms dtτ-== 运动轨迹:由 8282x cos(t )y sin(t )==消去t 得2228x y += 9．一质点沿半径为1 m 的圆周运动，运动方程为 θ=2+33t ，θ式中以弧度计，t 以秒计，求：(1)t ＝2 s 时，质点的切向和法向加速度；(2)当加速度的方向和半径成45°角时，其角位移是多少? 解: (1) t ＝2 s 时，质点的切向和法向加速度2222222222229181836(9)1296t s t s t s n t s t s t s d t dtd t dta R t ms a R t ms τθωωββω-===-============= (2)当加速度的方向和半径成45°角时的角位移:令 /451n a a tg τ== 得到:329t = 因此 223 6.679Rad θ=+⨯= 故 0 2.6720.67Rad θθθ∆=-=-=10 飞轮半径为0.4 m ，自静止启动，其角加速度为β= 0.2 rad/2s ，求t ＝2s 时边缘上各点的速度、法向加速度、切向加速度和合加速度．解: 1212222222122220.220.4()0.40.40.16()0.40.40.064()0.40.20.08()()0.102()1.25t s t s n t s t s n n t rads v r ms a r ms a r ms a a a ms a tg a τττωβωωβθ-=-=-=-=-==⨯===⨯===⨯===⨯==+=== 11 一质点沿X 轴运动，其加速度32a t =+，如果初始时刻1053v ms ,t s -==时，则质点的速度大小为多少？解:305132(32)23()vdv t dtdv t dt v ms -=+=+=⎰⎰12 在离水面高h 米的岸上，有人用绳子拉船靠岸，船在离岸S 处，如图所示．当人以0v (m ·1-s )的速率收绳时，试求船运动的速度和加速度的大小．解： 设人到船之间绳的长度为l ，此时绳与水面成θ角，由图可知222s h l +=将上式对时间t 求导，得 ts s t l ld d 2d d 2= 根据速度的定义，并注意到l ,s 是随t 减少的，∴ t s v v t l v d d ,d d 0-==-=船绳即 θcos d d d d 00v v s l t l s l t s v ==-=-=船或 s vs h s lv v 02/1220)(+==船 将船v 再对t 求导，即得船的加速度32222022002)(d d d d d d s v h s v s l s v s lv s v v s tslt l s t v a =+-=+-=-==船船13．已知一质点作直线运动，其加速度为 a ＝4+3t 2s m -⋅，开始运动时，x ＝5 m ，v =0，求该质点在t ＝10s 时的速度和位置．解：∵ t t va 34d d +==分离变量，得 t t v d )34(d +=积分，得 12234c t t v ++=由题知，0=t ,00=v ,∴01=c故 2234t t v +=又因为 2234d d t t t xv +==分离变量， t t t x d )234(d 2+=积分得 232212c t t x ++=由题知 0=t ,50=x ,∴52=c故 521232++=t t x所以s 10=t 时21102310341010190(m s )21210105705(m)2v x -=⨯+⨯=⋅=⨯+⨯+=14．一质点沿x 轴运动，其加速度为a = 4t (SI)，已知t = 0时，质点位于x 0=10 m 处，初速度v 0 = 0．试求其位置和时间的关系式．解:0021220103442()22210()3vtxt dv t dtdv tdtv t ms dx t dtdx t dt x t m -======+⎰⎰⎰⎰15．在一个无风的雨天，一火车以120m s -⋅的速度前进，车旅客看见玻璃上雨滴的下落方向与竖直方向成75，求雨滴下落的速度（设雨滴做匀速运动）。
解:由题意,牵连速度1020v ms -=,相对速度与竖直方向成75,绝对速度竖直向下.于是: 0075v tg v = 由此得到: 01075 5.36()v v tg ms -==。