题型一：广义逆和最小二乘解1设⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=211,311220201βA ，求不相容方程组β=Ax 的最优最小二乘解．（12分）2．设⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---=733411123221A ，求A 的广义逆+A 。

（12分） 3、（15分）设线性方程组1212122136126x x x x x x -=⎧⎪-=⎨⎪-+=-⎩，用广义逆验证它是矛盾方程，并求它的最小二乘解的通解.4．设⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛---=733411123221A ，求A 的广义逆+A 。

（12分）5．（15分）设线性方程组1231231232024213632x x x x x x x x x -+=⎧⎪-+-=⎨⎪-+=-⎩，用广义逆验证它是矛盾方程，并求它的最小二乘解的通解.6、(18分) 设方程=Ax b ,其中121121031-⎛⎫ ⎪=- ⎪ ⎪⎝⎭A ，111-⎛⎫⎪= ⎪ ⎪⎝⎭b1、 求A 的满秩分解(记为=A BC );2、 说明方程=Ax b 为矛盾方程;3、 求方程=Ax b 的长度最小最小二乘解和最小二乘解通解.7、(本题12分) 用广义逆验证线性方程组⎪⎩⎪⎨⎧-=-+=+--=-+24420442122321321321x x x x x x x x x 是矛盾方程祖，并求其最小二乘通解。

8、（15分）用广义逆验证线性方程组12312312341228141x x x x x x x x x -+=⎧⎪-+-=-⎨⎪-+-=-⎩ 是矛盾方程祖，并求其最小二乘通解。

9、（15分）用广义逆验证线性方程组12312312341228141x x x x x x x x x -+=⎧⎪-+-=-⎨⎪-+-=-⎩ 是矛盾方程祖，并求其最小二乘通解。

10、（15分）用广义逆验证线性方程组12312312341228241x x x x x x x x x -+=⎧⎪-+-=⎨⎪-+-=-⎩是矛盾方程祖，并求其最小二乘通解。

11、（15分）用广义逆验证线性方程组12312312341228141x x x x x x x x x -+=⎧⎪-+-=-⎨⎪-+-=-⎩ 是矛盾方程祖，并求其最小二乘通解。

12、（15分）用广义逆验证线性方程组1231231232212441221x x x x x x x x x -+=⎧⎪-+-=-⎨⎪-+-=-⎩ 是矛盾方程祖，并求其最小二乘通解。

13．设线性方程组1212122124126x x x x x x -=⎧⎪-=⎨⎪-+=-⎩，用广义逆验证它是矛盾方程，并求它的最小二乘解的通解。

（10分）14、（15分）用广义逆验证线性方程组12312312341228241x x x x x x x x x -+=⎧⎪-+-=⎨⎪-+-=-⎩是矛盾方程祖，并求其最小二乘通解。

15．（15分）设线性方程组1231231232212441221x x x x x x x x x -+=⎧⎪-+-=-⎨⎪-+-=-⎩，用广义逆验证它是矛盾方程，并求它的最小二乘解的通解。

题型二：广义特征值 特征向量1设⎪⎪⎭⎫⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=2112,4222B A ．求A 相对于 B 的广义特征值和广义特征向量．（12分）2．设⎪⎪⎭⎫⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=4224,4222B A 。

求A 相对于 B 的广义特征值和广义特征向量。

（12分）3．设⎪⎪⎭⎫⎝⎛=⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=4224,4222B A 。

求A 相对于 B 的广义特征值和广义特征向量。

（12分）题型三：矩阵分解1设⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-----=8410101749A ，求A 的谱分解． (12分) 2、（10分）设⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛--=140102011A ，求矩阵A 的LR 分解.3．（10分）设⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=200242111A ，求矩阵A 的谱分解.4、(10分)设1210A -⎛⎫= ⎪-⎝⎭，求A 的谱分解.5、（本题10分）设矩阵⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=102322121A ，求A 的三角分解（LU 分解）。

6、（10分）设矩阵111102111A -⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪-⎝⎭，求A 的三角分解A =LR ，7、（10分）设矩阵112122424483A -⎛⎫ ⎪=--- ⎪ ⎪--⎝⎭，求A 的满秩分解。

8、（10分）设矩阵111102111A -⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪-⎝⎭，求A 的三角分解A =LR ，9、设矩阵121223140A ⎛⎫⎪= ⎪ ⎪-⎝⎭，求A 的三角分解A =LR ，10．设⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛--=140102011A ，⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=731b ，用Doolittle 分解计算线性方程组b Ax =（10分）11（10分）设矩阵121223140A ⎛⎫⎪= ⎪ ⎪-⎝⎭，求A 的三角分解A =LR ，题型四：J 标准型和e A(t)的求解1设⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛------=8610111769A ，求可逆阵P 和若当（Jordan ）标准形J ，使P AP J -=1,并求At e 2（16分）2 设A =-----⎛⎝ ⎫⎭⎪⎪⎪313729214。

求可逆阵P 和若当（Jordan ）标准形J ，使P AP J -=1,并求e At （18分）3、（15分）设⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=101434210A ，求可逆阵P 和A 的Jordan 标准形J ，使1P AP J -=.4． 设A =-----⎛⎝ ⎫⎭⎪⎪⎪313729214。

求可逆阵P 和若当（Jordan ）标准形J ，使P AP J -=1,并求eAt（18分）5．（15分）设⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=300142011A ，求可逆阵P 和A 的Jordan 标准形J ，使1P AP J -=.6、（7分）设200311313⎛⎫ ⎪=-- ⎪ ⎪⎝⎭A ，求A 的若当（Jordan ）标准形J .7、(本题12分) 设矩阵⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛--=221010110A ，求矩阵A 的Jordan 标准型8、（15分）设矩阵110330102A -⎛⎫ ⎪=- ⎪ ⎪⎝⎭，求A 的Jordan 标准形J 与可逆阵P ，使1P A P J -=。

9、（15分）设矩阵110341213A -⎛⎫ ⎪=- ⎪ ⎪--⎝⎭，求A 的Jordan 标准形J 。

10、（15分）设矩阵110335102A -⎛⎫ ⎪=- ⎪ ⎪⎝⎭，求A 的Jordan 标准形J 与可逆阵P ，使1P AP J -=。

11、（15分）设矩阵110341213A -⎛⎫ ⎪=- ⎪ ⎪--⎝⎭，求A 的Jordan 标准形J 与可逆阵P ，使1P A P J -=。

12．设⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-----=412927313A ，求可逆阵P 和A 的Jordan 标准形J ，使1P A P J -=。

（1513（15分）设⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛--=110430102A ，求A 的Jordan 标准形J 与可逆阵P ，使1P AP J -=。

题型五：矩阵函数求解下常微分方程组1用矩阵函数求解下常微分方程组初值问题的解⎩⎨⎧==⎪⎩⎪⎨⎧++-=+-=0)0(1)0(,14321212211x x x x dtdxx x dt dx ．（18分） 2用矩阵函数求解下常微分方程组初值问题的解⎩⎨⎧==⎪⎩⎪⎨⎧++-=++-=1)0(2)0(,014321212211x x x x dtdxx x dt dx 。

（18分） 3、（15分）用矩阵函数求解常微分方程组初值问题的解()⎪⎩⎪⎨⎧=⎪⎪⎭⎫⎝⎛---=T=0131150t t x x dt dx |)(.4．用矩阵函数求解下常微分方程组初值问题的解⎩⎨⎧==⎪⎩⎪⎨⎧++-=++-=1)0(2)0(,014321212211x x x x dtdxx x dt dx 。

（18分） 5．（15分）用矩阵函数求解常微分方程组初值问题的解⎪⎩⎪⎨⎧+=-=21221154x x dt dxx x dt dx ，⎩⎨⎧-==101021)()(x x 6、（18分）用矩阵函数求解下面常微分方程组初值问题的解: ()()()()()()1121221200102431t t t (),()t t t ⎧=-+⎪=⎧⎪⎨⎨=⎩⎪=-+⎪⎩dx x x x dtx dx x x dt7、（15分）求微分方程组的初值问题⎪⎩⎪⎨⎧===)0()()()(0x t x t Ax dtt dx t 的解，其中⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---=336018027A ，⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=213)0(x 。

8、（15分）求微分方程组的初值问题⎪⎩⎪⎨⎧===)0()()()(0x t x t Ax dtt dx t 的解，其中122121112A --⎛⎫⎪=-- ⎪ ⎪-⎝⎭，⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=213)0(x 。

9、（15分）求微分方程组的初值问题⎪⎩⎪⎨⎧===)0()()()(0x t x t Ax dtt dx t 的解，其中⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---=336018027A ，⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=213)0(x 。

10、（15分）求微分方程组的初值问题⎪⎩⎪⎨⎧=+==)0()()()()(0x t x t f t Ax dtt dx t 的解，其中⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=1113A ，⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=11)(t f ，⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=21)0(x 。

11．（15分）用矩阵函数求解常微分方程组初值问题的解⎪⎩⎪⎨⎧===00|)(x t x Axdt dx t 其中⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=3612A ，⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=210x 。

题型六：T 线性变换（证明 矩阵 特征值）1设V 是二阶实方阵全体，⎪⎪⎭⎫⎝⎛=0011C ． 对任意V A ∈，令=)(A T CA AC +（20分）1） 证明T 是V 的线性变换；2） 求T 在V 的基⎪⎪⎭⎫⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=2100,1100,0002,00114321B B B B 下的矩阵表示；3） 求T 的特征值； 4）判别T 是否可对角化．2设V 是二阶实方阵全体， 对任意V A ∈，令=)(A T 2-T A 3A （18分） 4） 证明T 是V 的线性变换；5） 求T 在V 的基⎪⎪⎭⎫⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=2100,1100,0002,00114321B B B B 下的矩阵表示；6） 求T 的特征值； 4）判别T 是否可对角化。

3、（15分）设T 为线性空间22R⨯上的变换，22(),T X AXA X R ⨯=∈，其中⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=1011A ， 求线性变换T 在基123411011110,,,11100000A A A A --⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫==== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭下的矩阵，并求T 的特征值.5．（15分）设x e x cos =1α，x e x sin =2α，x xe x cos =3α，x xe x sin =4α，x e x x cos 2521=α，x e x x sin 2621=α是6维线性空间V 的一组基，求微分变换D 在这组基下的矩阵，并求D 的特征值.6、(本题16分) 设⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=111,312,101;100,210,321321321βββααα是3R 中的两组基，（1）求由基123,,ααα到基123,,βββ的转移矩阵；（2）设α在基123,,ααα下的坐标向量是T-)1,1,1(，求α在基123,,βββ下的坐标。