向量组的线性相关与线性无关1.线性组合设12,,,n t a a a R ⋅⋅⋅∈，12,,,t k k k R ⋅⋅⋅∈，称1122t t k a k a k a ++⋅⋅⋅+为12,,,t a a a ⋅⋅⋅的一个线性组合。

【备注1】按分块矩阵的运算规那么，12112212(,,,)t t t t k kk a k a k a a a a k ⎛⎫ ⎪ ⎪++⋅⋅⋅+=⋅⋅⋅ ⎪ ⎪⎝⎭。

这样的表示是有好处的。

2.线性表示设12,,,n t a a a R ⋅⋅⋅∈，n b R ∈，如果存在12,,,t k k k R ⋅⋅⋅∈，使得1122t t b k a k a k a =++⋅⋅⋅+那么称b 可由12,,,t a a a ⋅⋅⋅线性表示。

1122t t b k a k a k a =++⋅⋅⋅+，写成矩阵形式，即1212(,,,)t t k k b a a a k ⎛⎫ ⎪ ⎪=⋅⋅⋅ ⎪ ⎪⎝⎭。

因此，b 可由12,,,t a a a ⋅⋅⋅线性表示即线性方程组1212(,,,)t t k ka a ab k ⎛⎫ ⎪ ⎪⋅⋅⋅= ⎪ ⎪⎝⎭有解，而该方程组有解当且仅当1212(,,,)(,,,,)t t r a a a r a a a b ⋅⋅⋅=⋅⋅⋅。

3.向量组等价设1212,,,,,,,n t s a a a b b b R ⋅⋅⋅⋅⋅⋅∈，如果12,,,t a a a ⋅⋅⋅中每一个向量都可以由12,,,s b b b ⋅⋅⋅线性表示，那么称向量组12,,,t a a a ⋅⋅⋅可以由向量组12,,,s b b b ⋅⋅⋅线性表示。

如果向量组12,,,t a a a ⋅⋅⋅和向量组12,,,s b b b ⋅⋅⋅可以相互线性表示，那么称这两个向量组是等价的。

向量组等价的性质：(1) 自反性 任何一个向量组都与自身等价。

(2) 对称性 假设向量组I 与II 等价，那么向量组II 也与I 等价。

(3) 传递性 假设向量组I 与II 等价，向量组II 与III 等价，那么向量组I 与III 等价。

证明：自反性与对称性直接从定义得出。

至于传递性，简单计算即可得到。

设向量组I 为12,,,r a a a ⋅⋅⋅，向量组II 为12,,,s b b b ⋅⋅⋅，向量组III 为12,,,t c c c ⋅⋅⋅。

向量组II 可由III 线性表示，假设1tj kj k k b y c ==∑，1,2,,j s =⋅⋅⋅。

向量组I 可由向量组II 线性表示，假设1si ji j j a x b ==∑，1,2,,i r =⋅⋅⋅。

因此，11111()s s t t si ji j ji kj k kj ji k j j k k j a x b x y c y x c ========∑∑∑∑∑，1,2,,i r =⋅⋅⋅因此，向量组I 可由向量组III 线性表示。

向量组II 可由I 线性表示，III 可由II 线性表示，按照上述方法再做一次，同样可得出，向量组III 可由I 线性表示。

因此，向量组I 与III 等价。

结论成立！ 4.线性相关与线性无关设12,,,n t a a a R ⋅⋅⋅∈，如果存在不全为零的数12,,,t k k k R ⋅⋅⋅∈，使得11220t t k a k a k a ++⋅⋅⋅+=那么称12,,,t a a a ⋅⋅⋅线性相关，否那么，称12,,,t a a a ⋅⋅⋅线性无关。

按照线性表示的矩阵记法，12,,,t a a a ⋅⋅⋅线性相关即齐次线性方程组1212(,,,)0t t k ka a a k ⎛⎫ ⎪ ⎪⋅⋅⋅= ⎪ ⎪⎝⎭有非零解，当且仅当12(,,,)t r a a a t ⋅⋅⋅<。

12,,,t a a a ⋅⋅⋅线性无关，即1212(,,,)0t t k ka a a k ⎛⎫ ⎪ ⎪⋅⋅⋅= ⎪ ⎪⎝⎭只有零解，当且仅当12(,,,)t r a a a t ⋅⋅⋅=。

特别的，假设t n =，那么12,,,n n a a a R ⋅⋅⋅∈线性无关当且仅当12(,,,)n r a a a n ⋅⋅⋅=，当且仅当12(,,,)n a a a ⋅⋅⋅可逆，当且仅当12(,,,)0n a a a ⋅⋅⋅≠。

例1. 单独一个向量n a R ∈线性相关即0a =，线性无关即0a ≠。

因为，假设a 线性相关，那么存在数0k ≠，使得0ka =，于是0a =。

而假设0a =，由于10a a ⋅==，10≠因此，a 线性相关。

例2. 两个向量,n a b R ∈线性相关即它们平行，即其对应分量成比例。

因为，假设,a b 线性相关，那么存在不全为零的数12,k k ，使得120k a k b +=。

12,k k 不全为零，不妨假设10k ≠，那么21k a b k =-，故,a b 平行，即对应分量成比例。

如果,a b 平行，不妨假设存在λ，使得a b λ=，那么0a b λ-=，于是,a b 线性相关。

例3.1000,1,0001⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭线性无关，且任意1323x x x R x ⎛⎫ ⎪=∈ ⎪ ⎪⎝⎭都可以由其线性表示，且表示方法唯一。

事实上，121233100010001x x x x x x x ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪ ⎪ ⎪==++ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭5.线性相关与无关的性质(1) 假设一向量组中含有零向量，那么其必然线性相关。

证明：设12,,,n t a a a R ⋅⋅⋅∈，其中有一个为零，不妨假设0t a =，那么121000100t a a a -⋅+⋅+⋅⋅⋅+⋅+⋅=因此，12,,,t a a a ⋅⋅⋅线性相关。

(2) 假设一向量组线性相关，那么增添任意多个向量所形成的新向量组仍然线性相关；假设一向量组线性无关，那么其任意局部向量组仍然线性无关。

证明：设1212,,,,,,,n t s a a a R βββ⋅⋅⋅⋅⋅⋅∈，12,,,t a a a ⋅⋅⋅线性相关。

存在不全为零的数12,,,t k k k ⋅⋅⋅，使得11220t t k a k a k a ++⋅⋅⋅+=这样，1122120000t t s k a k a k a βββ++⋅⋅⋅++⋅+⋅+⋅⋅⋅+⋅=12,,,t k k k ⋅⋅⋅不全为零，因此，1212,,,,,,,t s a a a βββ⋅⋅⋅⋅⋅⋅线性相关。

后一个结论是前一个结论的逆否命题，因此也正确。

(3) 假设一个向量组线性无关，在其中每个向量一样位置之间增添元素，所得到的新向量组仍然线性无关。

证明：设12,,,n t a a a R ⋅⋅⋅∈为一组线性无关的向量。

不妨假设新的元素都增加在向量最后一个分量之后，成为1212,,,t t a a a b b b ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⋅⋅⋅ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，12,,,t b b b ⋅⋅⋅是同维的列向量。

令112212*********t t t t t t t a k a k a k a a a k k k b k b k b k b b b ++⋅⋅⋅+⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫+⋅⋅⋅+== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪++⋅⋅⋅+⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭那么11220t t k a k a k a ++⋅⋅⋅+=。

由向量组12,,,t a a a ⋅⋅⋅线性相关，可以得到120t k k k ==⋅⋅⋅==。

结论得证！(4) 向量组线性相关当且仅当其中有一个向量可以由其余向量线性表示。

证明：设12,,,n t a a a R ⋅⋅⋅∈为一组向量。

必要性 假设12,,,t a a a ⋅⋅⋅线性相关，那么存在一组不全为零的数12,,,t k k k ⋅⋅⋅，使得11220t t k a k a k a ++⋅⋅⋅+=12,,,t k k k ⋅⋅⋅不全为零，设0j k ≠，那么111111j j j j t tj jk a k a k a k a a k --+++⋅⋅⋅+++⋅⋅⋅+=-充分性 假设12,,,t a a a ⋅⋅⋅中某个向量可以表示成其余向量的线性组合，假设j a 可以表示成111,,,,,j j t a a a a -+⋅⋅⋅⋅⋅⋅的线性组合，那么存在一组数111,,,,,j j t k k k k -+⋅⋅⋅⋅⋅⋅，使得111111j j j j j t t a k a k a k a k a --++=+⋅⋅⋅++⋅⋅⋅+也就是1111110j j j j j t t k a k a a k a k a --+++⋅⋅⋅-++⋅⋅⋅+=但111,,,1,,,j j t k k k k -+⋅⋅⋅-⋅⋅⋅不全为零，因此，12,,,t a a a ⋅⋅⋅线性无关。

【备注2】请准确理解其意思，是其中某一个向量可以由其余向量线性表示，而不是全部向量都可以。

(5) 假设12,,,n t a a a R ⋅⋅⋅∈线性无关，n b R ∈，使得12,,,,t a a a b ⋅⋅⋅线性相关，那么b 可由12,,,t a a a ⋅⋅⋅线性表示，且表示方法唯一。

证明：12,,,,t a a a b ⋅⋅⋅线性相关，因此，存在不全为零的数121,,,,t t k k k k +⋅⋅⋅，使得112210t t t k a k a k a k b +++⋅⋅⋅++=10t k +≠，否那么10t k +=，那么11220t t k a k a k a ++⋅⋅⋅+=。

由12,,,t a a a ⋅⋅⋅线性无关，我们就得到120t k k k ==⋅⋅⋅==，这样，121,,,,t t k k k k +⋅⋅⋅均为零，与其不全为零矛盾！这样，11221t tt k a k a k a b k +++⋅⋅⋅+=-因此，b 可由12,,,t a a a ⋅⋅⋅线性表示。

假设11221122t t t t b x a x a x a y a y a y a =++⋅⋅⋅+=++⋅⋅⋅+，那么111222()()()0t t t x y a x y a x y a -+-+⋅⋅⋅+-=由12,,,t a a a ⋅⋅⋅线性无关，有11220t t x y x y x y -=-=⋅⋅⋅=-=，即1122,,,t t x y x y x y ==⋅⋅⋅=因此，表示法唯一。

【备注3】 刚刚的证明过程告诉我们，如果向量b 可由线性无关向量组1,,t a a ⋅⋅⋅线性表示，那么表示法唯一。

事实上，向量b 可由线性无关向量组1,,t a a ⋅⋅⋅线性表示，即线性方程组1(,,)t a a x b ⋅⋅⋅=有解。

而1,,t a a ⋅⋅⋅线性无关，即1(,,)t r a a t ⋅⋅⋅=。