上海市徐汇区2022届初三一模数学试卷
2022.01
一. 选择题（本大题共6题，每题4分，共24分）
1. 在△ABC 中，∠C =90°，AB =5，BC =4，则sin A 的值是（ ） A.
45 B. 35 C. 3
4
D. 43 2. 如图，已知AB ∥CD ∥EF ，BD : DF =2 : 3，那么下列结论中，正确的是（ ） A. :2:5CD EF = B. :2:5AB CD = C. :2:5AC AE = D. :2:5CE EA =
3. 无人机在空中点A 处观察地面上的小丽所在位置点B 处的俯角是50°，那么小丽在地面 点B 处观察空中点A 处的仰角是（ ）
A. 40°
B. 50°
C. 60°
D. 70° 4. 已知点C 是线段AB 的中点，下列结论中正确的是（ ） A. AC BC = B. 0AC BC += C. 12BC AB =
D. 1
||||2
CA BA = 5. 下列对二次函数22(1)3y x =-++的图像的描述中，不正确的是（ ）
A. 抛物线开口向下
B. 抛物线的对称轴是直线1x =-
C. 抛物线与y 轴的交点坐标是(0,3)
D. 抛物线的顶点坐标是(1,3)-
6. 如图，在△ABC 中，∠ACB =90°，CD 、CE 分别是斜边AB 上的高和中线，下列结论 不一定成立的是（ ）
A. A DCB ∠=∠
B. tan CD
ECB AD
∠= C. 2CD AD DB =⋅ D. 22BC DB EC =⋅
二. 填空题（本大题共12题，每题4分，共48分） 7. 计算：12(4)2
a a
b --=
8. 冬日暖阳，下午4点时分，小明在学校操场晒太阳，身高1.5米的他，在地面上的影长 为2米，则此时高度为9米的旗杆在地面的影长为 米
9. 将抛物线2
23y x =+先向左平移1个单位，再向下平移4个单位后，所得抛物线的表达
式是
10. 如果点1(2,)A y 、2(5,)B y 在二次函数22y x x n =-+图像上，那么1y 2y (填>、=或<)
11. 如图，某人跳芭蕾舞，踮起脚尖时显得下半身比上半身更修长，若以裙子腰节为分界点， 身材比例正好符合黄金分割，已知从脚尖到头顶高度为176cm ，那么裙子的腰节到脚尖的 距离为 cm (结果保留根号)
12. 如图，△ABC 中，AB =8，BC =7，点D 、E 分别在边AB 、AC 上，已知AE =4， ∠AED =∠B ，则线段DE 的长为
13. 如图，BE 是△ABC 的角平分线，过点E 作ED ∥BC 交边AB 于点D . 如果AD =3， DE =2，则BC 的长度为
14. 二次函数的图像如图所示，对称轴为直线1x =-，根据图中信息可求得该二次函数的 解析式为
15. 小明同学逛书城，从地面一楼乘自动扶梯，随扶梯移动了13米，到达距离地面5米高的二楼，则该自动扶梯的坡度i =
16. 如图7，已知点G 是△ABC 的重心，记向量AB a =，AC b =，则向量AG = (用向量xa yb +的形式表示，其中x 、y 为实数)
17. 如图，已知点A 是抛物线2y x =图像上一点， 将点A 向下平移2个单位到点B ，再 把点A 绕点B 顺时针旋转120°得到点C ，如果点C 也在该抛物线上，那么点A 的坐标 是
18. 如图，在Rt △ABC 中，∠CAB =90°，AB =AC ，点D 为斜边BC 上一点，且BD =3CD ，将△ABD 沿直线AD 翻折，点B 的对应点为B '，则sin ∠CB D '=
三. 解答题（本大题共7题，共10+10+10+10+12+12+14=78分）
19. 计算：sin 603tan30cos6012cot 45cot30︒︒︒
︒︒
+⋅-+.
20. 二次函数2()f x ax bx c =++的自变量x 的取值与函数y 的值列表如下：
x
⋅⋅⋅ 2- 1-
0 ⋅⋅⋅ 2 3 4 ⋅⋅⋅ ()y f x =
⋅⋅⋅
5-
3
⋅⋅⋅
3
5-
⋅⋅⋅
（1）根据表中的信息求二次函数的解析式，并用配方法求出顶点的坐标；
（2）请你写出两种平移的方法，使平移后二次函数图像的顶点落在直线y x =上，并写出平移后二次函数的解析式.
21. 已知如图，在梯形ABCD 中，AD ∥BC ，AD =4，BC =6，对角线BD 、AC 相交于点E ， 过点A 作AF ∥DC ，交对角线BD 于点F （1）求BF
EF
的值；（2）设AB a =，AD b =，请用向量a 、b 表示向量AE .
22. 左图是一种自卸货车，右图是该货车的示意图，货箱侧面是一个矩形，长AB =4米，宽BC =2米，初始时点A 、B 、F 在同一水平线上，车厢底部AB 离地面的高度为1.3米. 卸货时货箱在千斤顶的作用下绕着点A 旋转，箱体底部AB 形成不同角度的斜坡. （1）当斜坡AB 的坡角为37°时，求车厢最高点C 离地面的距离；
（2）点A 处的转轴与后车轮转轴(点E 处)的水平距离叫做安全轴距，已知该车的安全轴距为0.7m. 货厢对角线AC 、BD 的交点G 是货厢侧面的重心，卸货时如果A 、G 两点的水平距离小于安全轴距时，会发生车辆倾覆安全事故.
当斜坡AB 的坡角为45°时，根据上述车辆设计技术参数，该货车会发生车辆倾覆安全事故吗？试说明你的理由.
(精确到0.1米，参考值: sin37︒≈0.60，cos37︒≈0.80，tan37︒≈0.75，2≈1.4142)
23. 如图，Rt △ABC 中，∠ACB =90°，射线CD 交AB 于点D ，点E 是CD 上一点， 且∠AEC =∠ABC ，联结BE . （1）求证：△ACD ∽△EBD ；
（2）如果CD 平分∠ACB ，求证：22AB ED EC =⋅.
24. 已知在平面直角坐标系xOy 中，抛物线22410
33
y x x =-+
+与x 轴交于点A ，与y 轴交 于点B ，C 为线段OA 上的一个动点，过点C 作x 轴的垂线，交直线AB 于点D ，交该抛物 线于点E .
（1）求直线AB 的表达式，直接写出顶点M 的坐标；
（2）当以B 、E 、D 为顶点的三角形与△CDA 相似时，求点C 的坐标； （3）当∠BED =2∠OAB 时，求△BDE 与△CDA 的面积之比.
25. 如图，在Rt △ABC 中，∠C =90°，cot 2A =，点D 为边AC 上的一动点，以点D 为顶点作∠BDE =∠A ，射线DE 交边AB 于点E ，过点B 作射线DE 的垂线，垂足为点F . （1）当点D 是边AC 中点时，求tan ∠ABD 的值； （2）求证：AD BF BC DE ⋅=⋅； （3）当DE : EF =3 : 1时，求AE : EB .
参考答案
一. 选择题
1. A
2. C
3. B
4. D
5. C
6. B
二. 填空题 7.
3
22
a b + 8. 12 9. 22(1)1y x =+- 10. <
11. 1) 12.
7
2
13. 103 14. (3)(1)y x x =-+-
15. 1:2.4 16. 11
33
a b + 17. ( 18. 10
三. 解答题
19.
20.（1）223y x x =-++，顶点(1,4)；（2）向下平移3个单位，22y x x =-+； 向右平移3个单位，2(4)4y x =--+ 21.（1）
5
4
；（2）2355a b +
22.（1）5.3米；（20.7>，不会发生 23.（1）略；（2）略 24.（1）54(,
49)12；
（2）(5
,0)2或(11,0)8；（3）1225104
25.（1）4；（2）略；（3）5
3。