u2 + —
x2 1 s+2
1 s
x3 +
+
y2
图7
系统方块图
F(s) e-Ts C(s)
图 8 解：
某采样控制系统示意图
C ( z ) = R( z ) + G1 ( z ) E ( z ) + F ( z ) z −1 = R( z ) + G1 ( z )G2 R( z ) − G1 ( z ) H 2 H 1 R( z ) + F ( z ) z −1 1 + H 2 H 1G1 ( z )
2
= 1.96 ； t s =
3
ξω0
= 2.5
4、 （15 分） 单位负反馈系统的开环传递函数为：G
(s ) =
K (τS + 1) ；K > 0 、 τ > 0、 S 2 (TS + 1)
T > 0 ，输入 r (t ) = t 2 。试求系统稳态误差 ess (∞ ) < 0.1 时，系统应满足的条件。
解： ess
(∞ ) =
⎧ τ >T 2 < 0.1， K > 20 ；因此，系统参数应满足： ⎨ K ⎩ K > 20
5、 （15 分）系统结构如图 5 所示。使闭环极点为 S 算出的 K 值为基准，绘制以τ 为参变量的根轨迹。
= −1 ± j 3 ,试确定 K 、τ 值，以计
R (s )
−
K S2
H4
G6
Y (s )
图2 解： G(s) =
G1G6 (G2 G4 + G3 G5 ) G1G6 (G2 G4 + G3 G5 )(H 4 − H 3 ) + (1 + G1 H 1 )(1 + G4 H 2 + G5 的单位阶跃响应为： y (t ) = 10 − 12.5e 试求：系统的超调量 σ % 、峰值时间 t p 和调节时间 t s 。 【提示： 15e 解：
R（s）
T
e （ 1 k）
e（ 2 k）
D(k）
T
H（ 0 s）
K s +1
Y(s)
图9
采样控制系统示意图
解：在 0< K <0.289 范围内，系统是稳定的。 10、 （25 分）设一被控对象由以下状态空间代表式描述
⎡− 1 0 2⎤ ⎡2⎤ & = ⎢ 0 − 2 1 ⎥ x + ⎢0 ⎥ u x ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ 1 0 3 ⎣ ⎦ ⎢ ⎣1 ⎥ ⎦
T2 > T1 三种情况下的奈奎斯特图。
解： G
(s ) =
=
10 ( jT1ω + 1)( jT2ω − 1)
(
10 ⋅ ω (T1 − T2 ) − 10 × (1 + ω 2T1T2 ) + j 2 2 2 2 2 2 1 + T1 ω 1 + T2 ω 1 + T1 ω 2 1 + T2 ω 2
y = [1 0 0]x
要求：1）推导该系统的开环传递函数 Gopen； 2）设计状态反馈控制器，使得闭环系统 满足阻尼比
ζ = 0.707 ，调节时间 t s = 2s (±2%) ；3）分别判断开环系统稳定性与闭环系
统稳定性；4）请对该系统设计状态观测器，使得状态观测器的闭环极点均为：s=-5。 解：1、推导系统的开环传递函数
N (s )
R (s )
−
K1
E (s )
Td 2 S 2 + Td1S + 1 X (s ) S2
K2
1 S
Y (s )
2、 （15 分）系统结构如图 2 所示，试用方框图等效变换法求传递函数 G (s ) =
Y (s ) R (s )
H3
G2
− − −
R(s )
−
E (s )
G4
G1
H1 G3
H2 G5
−1.2t
sin 1.6t + 53.1o
(
)
sin 1.6t + 53.1o − 20e −1.2t cos 1.6t + 53.1o = 25e −1.2t sin 1.6t 】
(
)
(
)
⎧ ω0 = 2 ⎨ ⎩ξ = 0.6
σ% =e
−
ξπ
1−ξ 2
= 9.5% ； t p =
π ω0 1 − ξ
1 + τS
图5
Y (s )
解： ⎨
⎧K =4 ⎩τ = 0.5
构造等效开环传递函数
G k (s ) =
S 4τS = 4 τ (S + j 2)( S − j 2) S2 + 4
6、 （15 分）系统开环传递函数为 G
(s ) =
10 ，试绘制 T2 < T1 ，T2 = T1 ， (T1S + 1)(T2 S − 1)
2010 年硕士研究生试题答案
1、 （10 分）系统的微分方程模型如下：
&(t ) = Td 2 e &&(t ) + Td1e &(t ) + e(t ) ； y & (t ) = k 2 [n(t ) + x(t )] e(t ) = k1 [r (t ) − y (t )] ； & x
式中， r 、 n 、 y 分别是输入、干扰和输出， k1 、 k 2 、 Td1 、 Td 2 为常数，试建立系统方框 结构图。 解：
2、设计状态反馈控制器 因为系统是三阶的，选择主导极点满足期望的性能指标，另选择第三个远极点。 由调节时间为 t s = 2 s (±2%) ， ζ = 0.707 ， 故主导极点为： s1, 2 = −2 ± j 2 ；选择非主导极点： s3 = −100 期望的特征方程：
Δ* = ( s + 2 + j 2)( s + 2 − j 2)( s + 100) = s 3 + 104 s 2 + 408s + 800 = 0 k p = [- 49.5 - 392 - 5]
⎡ x1 ⎤ 5 0⎤ ⎢ ⎥ ⎡0 0⎤ ⎡ u1 ⎤ ⎡ y1 ⎤ ⎡ 5 ⎢ y ⎥ = ⎢− 10 − 10 1⎥ ⎢ x2 ⎥ + ⎢2 0⎥ ⎢u ⎥ ⎦ ⎣ 2 ⎦ u1 + ⎦⎢ x ⎥ ⎣ ⎣ 2⎦ ⎣ ⎣ 3⎦
—
1 s+3
2
x1
+ +
y1 5
2. 判断系统是否能控、能观 能控矩阵： 故系统能控。 系统能观。 8、 （10 分）某采样系统如图 8 所示， 请给出 C(z)和 C(z)/R(z)表达式。
当 T2
> T1 时， Re[G ( jω )] < 0 ， Im[G ( jω )] < 0
7、 （15 分） 列写如图 7 所示系统的状态空间表达式， 并判断该系统是否能控？是否能观？ 解：1. 列写状态方程
⎡− 8 − 5 0 ⎤ ⎡ x1 ⎤ ⎡ 1 0⎤ ⎡u ⎤ & = ⎢ 10 8 − 1⎥ ⎢ x2 ⎥ + ⎢− 2 1⎥ ⎢ 1 ⎥ x ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥ u ⎣ 2⎦ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ x 0 1 0 0 0 3 ⎣ ⎦⎣ ⎦ ⎣ ⎦
3.系统稳定性： 系统开环不稳定。但状态反馈后的闭环系统是稳定的。 4、状态观测器的设计 系统的不能观，故不能设计状态观测器。 11、 （5 分）请用李亚普诺夫方法研究如下系统。给出系统在平衡点稳定时参数 a 需满足的 条件。
&1 = − x2 + ax13 x
3 & 2 = x1 + ax2 x
解：1）可以求得系统的平衡点为原点，即： x1 = 0; x2 = 0 。 2）计算李亚普诺夫函数 令：
)(
) (
)(
)
显然，
ω = 0 时， G (0 ) = −10 ω = ∞ 时， G ( j∞ ) = 0
当 T2
< T1 时， Re[G ( jω )] < 0 ， Im[G ( jω )] > 0
当 T2
= T1 时， Re[G ( jω )] =
− 10 1 + ω 2T12
，
Im[G ( jω )] = 0
Gopen
⎡ s −3 ⎢ s 2 − 2s − 5 0 * * = c[ sI − A]−1 b = [1 0 0]⎢ ⎢ * * ⎢ ⎢ ⎣
2 ⎤ 2⎤ s − 2s − 5 ⎥ ⎡ 2( s − 2) ⎢ ⎥ * 0⎥ = ⎥ ⎢ ⎥ s 2 − 2s − 5 * ⎥⎢ ⎣1 ⎥ ⎦ ⎥ ⎦
2
该系统不存在 C(z)/R(z)。
9、 （15 分）一采样控制系统结构见图 9，采样周期 T=1s， H（ 为零阶保持器。试确定使 0 s）
系统稳定时的 K 值范围。注：图 9 中 D(k)： e （ =e （ ） + 10[e （ − 0.5e （ ） ]。 2 k） 2 k −1 1 k） 1 k −1
所以原点是大范围渐近稳定的。
2 V ( x) = x12 + x2 ，显然 V ( x) > 0 4 4
& ( x) = 2 x x & & 计算： V 1 1 + 2 x 2 x 2 = 2a ( x1 + x 2 ) & ( x) 的负定性 3）讨论 V & ( x) 的表达式，显然，当 a < 0 时， V & ( x) < 0 ；所以 V ( x) 是李亚普诺夫函数。 由V & ( x) < 0 ，可以判定原点是渐近稳定性。又当 x → ∞ ， V ( x) → ∞ ， 由 V ( x) > 0 和 V