§3 实对称矩阵的相似对角化
一. 实对称矩阵的特征值和特征向量的性质 设矩阵A=(aij), 用aij表示aij的共轭复数, 记 A=(aij ) 称A为A的共轭矩阵. 显然, A为实矩阵时,A=A. 共轭矩阵具有下列性质:
(1) A + B = A + B ; (2) A = A , 其中是常数; (3) AB = AB ;
ξ Aξ1 = ξ ξ
T 2
T 1 2 1
而且
T T T T ξT A ξ = ξ A ξ = ( A ξ ) ξ = ξ 2 1 2 1 2 1 2 2 ξ1
于是
(1 2 )ξ ξ = 0
T 2 1
由于12, 所以2T1=0, 即1, 2正交.
二. 实对称矩阵正交相似于对角矩阵 定理6.9 设A是实对称矩阵, 则必存在正交矩阵Q, 使 得Q-1AQ=QTAQ为对角矩阵. 证 n=1时显然成立, 设对n-1阶矩阵定理结论成立. 取n阶实对称矩阵A的任一特征值1, 和属于1的特征向量1,
=(+1)(2-10-11)=(+1)2(2-11) 得特征值λ1=λ2=-1, λ3=11.
对λ1=λ2=-1, 由于
2 2 4 1 1 2 -E-A 2 2 4 0 0 0 4 4 8 0 0 0
例6 设
1 2 4 A 2 1 4 4 4 7
求一个正交矩阵Q, 使Q-1AQ为对角矩阵. 解 先求A的所有特征值 det(E-A)
1 2 4 1 1 4 3 0 8 2 1 4 2 1 4 2 1 4 4 4 7 4 0 7 4 0 7
1 6
所以方程组(-E-A)x=0等价于x1+x2+2x3=0, 一基础解系为 1=(-1, 1, 0)T, 2=(-2, 0, 1)T, 将其正交化得: 1=1=(-1, 1, 0)T, 2=2-(2T 1/ 1T1)1=2-1=(-1, -1, 1)T, 再单位化得:
1 1 1 1 , = /| | 1 1= 1/| 1 | = , 0 2 2 2 = , , , 2 2 3 3 3
T T
对λ3=11, 由于
10 2 4 1 0 - 1 2 1 11E-A 2 10 4 0 1 - 2 4 4 4 0 0 0
所以方程组(11E-A)x=0的一个基础解系为3= (1, 1, 2)T,
T T T
T
____ T
于是有
( )ξ Tξ 0
由于0, 所以T0, 因此, 即是实数.
显然, 实对称矩阵的特征向量都可以取为实向量.
定理6.8 实对称矩阵的属于不同特征值的特征向量 是正交的. 证 设1, 2是实对称矩阵A的特征值, 1, 2分别是
属于它们的特征向量, 则有
1 0 Q1 1= 0 B B是n-1阶实对称矩阵, 由假设, 存在n-1阶正交矩阵P, 使得
-1AQ
2 P -1BP
3
n
取n阶正交矩阵
1 0 Q2 0 P则有Leabharlann 1 Q 0T 2
_____ ____
________
(4) A = AT ;
_____ T
定理6.7 实对称矩阵的特征值都是实数. 证 设λ为实对称矩阵A的特征值, 是属于λ的特征 向量, 则有
ξ T Aξ = ξ Tξ ξ Tξ ,
由于AT=A,A=A, 故有
ξ Aξ = (ξ A )ξ (Aξ) ξ ξ ξ
三. 实对称矩阵正交相似对角化的方法 用正交矩阵化实对称矩阵为对角矩阵的步骤如下: (1) 求出A的全部特征值; (2) 对每个特征值, 若其重数为k, 求出其k个线性无 关的特征向量. (3) 将求出的k个线性无关的特征向量规范正交化. (4) 用求出的n个规范正交的特征向量构造正交矩阵. (5) 写出对角矩阵.
1 1 2 将其单位化得: 3= 3/| 3 | = , , 6 6 6
T
而且, QTAQ=diag(-1, -1, 11).
1 1 3 2 1 所以得正交矩阵: Q=(1, 2, 3) = 1 2 3 1 0 3
1 6 2 6
1 0 2 Q 2 B n
即, Q2-1 Q1-1AQ1Q2=Q2T Q1TAQ1Q2为对角矩阵. 只要取Q=Q1Q2是正交矩阵, 定理结论成立. 推论 设0是实对称矩阵A的k重特征值, 则属于0的 线性无关的特征向量恰有k个, 也即R(0E-A)=n-k.
(取1为单位向量).
再取2, 3,…, n 使 1, 2,…, n为Rn的一组规范正交基.
于是有
A(1, 2,…, n )=(11, A2,…, An)
0 1 C =(1, 2,…, n ) 0 B
记Q1=(1, 2,…, n) , 则Q1为正交矩阵, 且有