TL,rr
R2 , t
3 R2 TS,rr dr 3 TL,rr dr
r R1
r R2
两个界面上的约束条件由动力平衡给出：
PG
t
PS
R1 , t
TS ,rr
R1 , t
21
R1
1
R1
,
r
R1
由此得到： PS
R2
,
t
TS ,rr
R2 ,t
PL
R2 ,t
TL,rr
R2,t
2 2
R2
,
R23
4 VSGS R23
1
Re1 R1
可以看到新模型只用到一个变量，形式上简单许多。
修正
模型的出发点： Church模型：将包膜看作是一个连续的固体层，充分考
虑了固体层内的应力变化。在其模型中，系统被划分成泡 内气体、包膜、泡外液体三个区域，给出两个界面条件。 模型相对完备，但是比较复杂 很多实际问题中，包膜层非常薄；引入包膜层内的细化， 带来复杂的数学过程，不能有效提高气泡演化的精度。 保留Church模型思想中两个界面约束条件，将三个区域 转化为两个区域：气体区和液体区；并将两个界面条件接 合。从而使方程形式大大简化。
d Vs
4 R2
包膜本身是有质量的， 当两个界面条件结合 时要考虑考虑膜的质 量：
ms R&& F总
其中ms 0
包膜气泡模型示意图
考虑表面张力的变化
1
2
A A0
1
其中 3GS d 综合以上，得到我们的模型方程：
s
Vs
4 R2
L
R
R&&
L
3 2
R&2
P0
2
R0
R
R0 R
R0 R(t)
3
由界面上的平衡得到
Pl
r
R,t
Pg (t)
2
Rt
P0
2
R0
R0 R(t)
3
2
R t
Poritsky在1952年对此进行修正 ：
Pl
r
R, t
P0
2
R0
R0 R(t)
3
2
Rt
4
R&t R t
由能量守恒，远场声压 P 与Pl 对气泡所做功的代
数和应等于气泡周围液体的动能，即
TL,rr
R2 , t
2 2 21
R2 R1
考虑到 PS R1,t PS R2 ,t
就有
PL
R2 ,t
PG
t
21 R1
2 2 R2
TL,rr
R2,t
4s
R&1 R1
R&2 R2
4Gs
R1
Re1 R1
R2
Re2 R2
模型假设 ：
包膜厚度的变化：在 包膜体积不变的前提 下，近似的有
r
r 2Trr
T T r
这里 是密度，p 是压强，T 是S和L中的应力张量；
两边从 到 积分，就有
R1
S
R1R&&1 1
L S S
R1 R2
S R&12
3
2
L S S
4R23 R13 2R23
R1 R2
PS R1,t PS R2,t PL R2,t P t TS,rr R2,t TS,rr R1,t
3
1
3
c
R&
P0
Pac
t
2 R
R
4L
1
Vs
2 R3
R& R
3s
Vs
R&
1
R4
4GsVs
4 Re2 R
Re
4 R4
数值计算分析
只压不胀的现象 不同驱动类型下包膜气泡动力学行为 频谱分析其非线性
“只压不胀” 的主要原因：
毛细管压力项 2 (R) 起很 大作用； R
常识上想像这个问题： 吹气球时，将气球吹 起来总是最困难的； 此后随着气球半径增 大反而吹得轻松
两个界面上的约束条件为：
PG
t
PS
R1 ,
t
TS
,rr
R1 ,
t
21
R1
,
因此有PS
R2 ,t
TS ,rr
R2
,t
PL
R2
,t
TL,rr
R2 ,t
2 2
R2
PL R2 ,t PG t PS R2 ,t PS R1,t TS,rr R1,t TS,rr R2 ,t
R R0
Pl P
4 r2dr 1
2
R
r&2 4 r2dr
R
整理后两边对R求导可得：
RR&&
3 2
R&2
1
P0
2
R0
R0 R
3
2
R
4
R& R
P0
Pt
这个方程被称为R.P.N.N.P方程以纪念
Rayleigh(1917)，Plesset(1949)， Noltingk和
Re1 R1
可将其与Church模型进行比较：Church模型方程为
R1R&&1 1
L S S
R1 R2
S R&12
3
2
L S S
4R23 R13 2R23
R1 R2
1
S
PG,eq
R01 R1
3
P
t
21
R1
2 2
R2
4 U1 R1
VS
S
L R13
化。经过一些推导，最后得到
R1R&&1 1
L S S
R1 R2
S R&12
3
2
L S S
4R23 R13 2R23
R1 R2
1
S
PG ,eq
R01 R1
3
P
t
21
R1
2 2
R2
4 U1 R1
VS
S
L
R23
R13
பைடு நூலகம்
4
VS GS R23
1
Church模型包膜气泡示意图
由于球状对称，不可压缩材料（S和L）上的 质量守恒，可得到关于r处径向速率u的约束条件（r 为到空化泡中心的距离）：
u r,t
R12 r
2
t
U1
t
其中 向
R1 t 为界面1处的半径
，U1 t
为界面1处的径
速率 ；径向动力守恒满足：
u t
u
u r
p r
1 r2
气泡动力学理论推导与非线性
主要内容
• 自由气泡动力学推导 • 包膜气泡动力学模型推导
气液界面（自由）气泡动力学模型
气液界面泡动力学模型是包膜气泡动力学 的基础
考虑在不可压缩液体中的空化气泡 :
初始状态下气泡内的压强为
Pg
t
0
P0
2
R0
绝热模型假设下，当半径变化为R 时,
Pg
t
P0
2
R0
Neppiras(1950,1951)，Poritsky(1952) 对其形
成所作的贡献，简称Rayleigh-Plesset(RP) 方程
包膜气泡模型及修正
Church模型：
气泡的气体G在表面1处 与表面（包膜）层S分 离，而表面层S则在表 面2处与周围液体L分 离；表面层和外围液 体都被看作是黏性的 且是不可压缩的
r
R2
R1R&&1 1
L S S
R1 R2
S R&12
3
2
L S S
4R23 R13 2R23
R1 R2
其中的积分项决定S，L中的黏性、弹性反
1
S
PG
t
P
t
21
R1
2 2
R2
3
R2 R1
TS,rr dr 3 r
R2
TL,rr r
dr
应，其中第一项积分代表了膜内的参数分散