ww
4
一半径为 r 的圆盘以匀角深度ω在一半经为 R 的固定圆形槽内作
无滑动地滚动，如图所示，求圆盘边上 M 点的深度υ和加速度α（用 参量θ，Ψ表示） 。
kh
da
aM M
后 答
bc bc 2 i i 2 2 2 (b d) sin (b d) sin
da
课
w.
0;
dV 2 x dx 0
x x0
x x0
案 网
V V V F ( i j k) x y z
2(d 2 x 2 )x 2 i d2
co
m
已知 B 端以匀速 c 运动，如图所示。求椭圆规尺上 M 点的轨道 方程、速度及加速度的大小υ与α。 解：依题知： y B (b d) cos
（2）动量矩定理 （3）动能定理 4 机戒能守恒定理 T+V=E 〈析〉势函数 V:
dV
dL M dt
d dT F m dt dt
V V V dx dy dz Fdr x y z
后 答
稳定平衡下的势函数： 此时势能处极小处 Vm
1 矢量的标积
* b 0 时，可设 y* Ax 2 Bx C * b 0 时，可设 y* Ax 3 Bx 2 Cx D
注：以上 c1 , c 2 ,A,B,C,D 均为常数，由初始条件决定。
A B=B A= A B cos =A x Bx +A y By +A z Bz
1 2
e x cos x ， y e x sin x ； *若 12 i 则 y 1 2
y e x (c1 cos x c 2 sin x)
（2）若 f x a 0 x 2 b0 x c0 为二次多项式
ww
w.
三 矢量
（其它各矢量微分与此方法相同） 微分时一定要注意矢量顺序
da

后 答
w.
案 网
co
m
惯性定律的矢量表述
d2 r ma m 2 F dt
（1）直角坐标系中
Fx mx Fy my Fz mz
（2）极挫标系中
i A B=-(B A)= A B sin en = A x B x j Ay By k Az Bz
(A x By A z By )i (A z Bx A x Bz ) j (A x By A y Bx )k
Rt x 0 R sin , R R cos ）

Mi y M j ( R R cos )i R 故： M x R 2 sin i R 2 cos j R 2 (sin i cos j) aM M
a

（1）写处质点轨道的极坐标方程； （2）用极坐标表示出质点 的速度 和加速度 a 。

w.

解： 1 y r sin bt 得： r csc er
d d 2 x 2 i i cos 2 d

ww
kh

d
VM E 0质点再平衡点附近振动 且能量满足 0 E质点逃逸- V E质点逃逸+ m
2xx i 故： a
2
椭圆规尺 AB 的两端点分别沿相互垂直的直线 Oχ与 Oy 滑动，
kh
课
*D 0 时，方程只有零解
da
*D=0 时，方程组有非零解
后 答
a11 a12 令D a 21 a 22 a 31 a 32
a13 a 23 a 33
w.
案 网
co
m
风光占尽。 【要点分析与总结】
1 质点运动的描述 （1）直线坐标系
r x i yj zk x i yj zk r a r x i yj zk
（2）平面极坐标系
r rer e r r re 2 )e (r 2r )e r a (r r
（3）自然坐标系
et
v2 e t en a
（4）柱坐标系
四 矩阵
此处仅讨论用矩阵判断方程组解的分布情形。
a11x1 a12 x 2 a13 x 3 0 a 21x1 a 22 x 2 a 23 x 3 0 a x a x a x 0 31 1 32 2 33 3
ww
w.
第一章 牛顿力学的基本定律
万丈高楼从地起。整个力学大厦的地基将在此筑 起，三百年的人类最高科学智慧结晶将飘来他的古朴 与幽香。此时矢量言语将尽显英雄本色，微积分更是
3 二元函数的展开(x=y=0 处)
性问题的转化。在理论力问题的简单处理中，一般只需近似到 三阶以内。
二 常微分方程
1
w.
y+P x y=Q x
一阶非齐次常微分方程：
ww
P x dx P x dx dx 通解： y e c Q xe
kh
w.
特别: x0 0 时,
案 网
f 0 f 0 2 f 0 3 x x x 1！ 2！ 3!
co
m
m m-1 2 m m-1 m-2 3 x x 2！ 3 ！
通解： y=K cos Ax+0
B A2
注： K ,0 为由初始条件决定的常量 3 二阶非齐次常微分方程
( ) sin( )e ) cos( )e e (R r)( r (R r) sin( )er M r [(R r) cos( ) r] r sin( )er r[1 cos( )]e
第零章
一 泰勒展开式
1 二项式的展开
f x 1 x 1 mx+
m
数学准备
2 一般函数的展开
f x f x0
f x0 f x 0 f x 0 2 3 x-x 0 x-x 0 x-x 0 1！ 2！ 3! f x f 0
sin B C (b d) 且： y
得：
C * (b d) sin
又因 M 点位置： x M b sin , y M d cos

cos i d sin j Mi | y M j b 故有： M x

即：
c b 2 cot 2 d 2 bd
课
3
一半径为 r 的圆盘以匀角速率 沿一直线滚动，如图所示。求 圆盘边上任意一点 M 的速度 和加速度 a （以 O、M 点的连线与 铅直线间的夹角θ表示） ；并证明加速度矢量总是沿圆盘半径 指向圆心。

w.

解 ： 设 O 点 坐 标 为 （ Rt x 0 , R ）。 则 M 点 坐 标 为 （
v2 e t en a
e e z ze
kh

课

ww
w.
2 牛顿定律
〈析〉 上述矢量顺序分别为： i , j, k; er , e , ek ; et , en , eb ; e , e , ez .
der e ek er dt de 矢量微分： ek e er dt dek ek ek 0 dt
2 ) Fr m(r r 2r ) F m(r F 0 k
（3）自然坐标系中
F m 2 F m n Fb 0
3 质点运动的基本定理 几个量的定义： 动量
w.
冲量 力矩 冲量矩 动能 （1）动量定理
ww
kh
P m
角动量
da
L r m r P
I P2 P1
课
后 答
M r F
t2 H I2 I1 Mdt
t1
T
1 m 2 2 dP F dt
w.
案 网
co
m
dP ˆ 方向上动量守恒： e ˆ Fe ˆ 0 e dt

注： P x dx, Q x e P xdx dx 积分时不带任意常数，Q x 可为
常数。
2 一个特殊二阶微分方程
y A2 y B
课
评注：以上方法多用于近似处理与平衡态处的非线性问题向线
da
后 答
f 1 2f 2f 2f f 2 x 2 xy+ y2 f x，y f 0 x+ y 0 0 0 0 0 2 2 x ！ xy y y 2 x
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w.
案 网
代入（*）式得： M

bc cot dc i j bd bd
co
m