2014－2015 学年 第一学期期末试卷答案
学号 姓名 成绩 考试日期： 2015年1月13日
考试科目：《应用数理统计》（B 层）
一、填空题（本题共16分，每小题4分）
1．设122,,n x x x ，是来自正态总体2(,)N μσ的简单样本，则c =
n m
m
- 时，统计量2
22112
2211
()()m
k
k k n k
k k m x
x c
x
x η-=-=+-=-∑∑服从F -分布。

2. 设12,,n x x x ，是来自正态总体2
(0,)N σ的简单样本，用2
2
21
1ˆ()n
i i nx x n σ
===∑估计2σ，则均方误差2222ˆ()E σσ
σ- 42σ 。

3．设总体X 的密度函数为22
,[0,]
(;)0,
[0,]x x p x x θθθθ⎧∈⎪=⎨⎪∉⎩，其中0θ>，12,,,n x x x 是
来自总体X 简单样本，则2()q θθ=的矩估计ˆq
= 2
94
x 或2
1
2n i i x n =∑ 。

4．在双因素方差分析中，总离差平方和T S 的分解式为
T A B A B e S S S S S ⨯=+++
其中2
111
()p
q
r
e ijk ij i j k S x x ⋅====-∑∑∑，11r
ij ijk k x x r ⋅==∑，
则e S 的自由度是 (1)p q r - 或n pq -，其中n pqr = 。

二、（本题12分）设总体X 的密度函数为111,(0,1)
(;)0,(0,1)x x f x x θ
θθ-⎧∈⎪=⎨⎪∉⎩
，其中0θ>，
12,,,n x x x 是来自总体X 的简单样本。

（1）求θ的极大似然估计ˆθ；（2）求θ的一致最小方差无偏估计；（3）问θ的一致最小方差无偏估计是否为有效估计？证
明你的结论。

解（1）似然函数为
(1)()1
1
{01}121
1
()()
(,,,)n n
i x x n n
i L x I x x x θ
θθ-<≤<==
∏
对数似然函数为
(1)(){01}121
1
ln ()ln (1)ln ln (,,,)n n
i x x n i L n x I x x x θθθ
<≤<==-+-+∑
求导，有
2
1
ln ()1
ln n
i
i L n x θθθθ
=∂=--∂∑
令ln ()0L θθ∂=∂，可得θ的极大似然估计为1
1ˆln n
i i x n θ==-∑。

（2）因为
(1)()1
1
12{01}121
1
(,,,;)()
(,,,)n n
n i x x n n
i f x x x x I x x x θ
θθ-<≤<==
∏
(1)(){01}121
1
1
(,,,)exp{(1)ln }n n
x x n i n
i I x x x x θθ
<≤<==-∑
令1
()n
c θθ
=
，(1)(){01}12()(,,,)n x x n h x I x x x <≤<= ，1
()1w θθ
=
-，1
ln n
i i T x ==∑，由于()
w θ的值域(0,)+∞有内点，由定理2.2.4知1
ln n
i i T x ==∑是完全充分统计量。

而
1
1
1
1
(ln )(ln )i E x x x dx θθθ
-=
=-⎰
所以
1
1
(ln )(ln )n
n
i i i i E x E x n θ====-∑∑
因而11ˆln n i i x n θ==-∑既是完全充分统计量1
ln n i i T x ==∑的函数，又是θ的无偏估计，由定理2.2.5知11ˆln n
i
i x n θ==-∑是θ一致最小方差无偏估计。

（3）由于1
1ˆ()(ln )Var Var x n
θ=，而 22
111(ln )(ln )((ln ))Var x E x E x =-11
1
2
220
1
(ln )x x dx θθθθ
-=
-=⎰
所以21ˆ()Var n
θ
θ=。

又因为当(0,1)x ∈时，
2223
ln (;)12
ln f x x θθθθ∂=+∂，所以 222
ln (;)1()()f x I E θθθθ
∂=-=∂ 从而22()ˆ()()
Var n nI θθθθ'==
，即信息不等式等号成立，故11ˆln n
i i x n θ==-∑是θ的有效估计。

三、（本题12分）设n x x x ,,,21 是来自正态总体20(,)N μσ的简单样本，
其中2
0σ是已知常数，μ是未知参数。

考虑假设检验问题
0010::H H μμμμ=<
（1）求显著性水平α(01)α<<下的似然比检验；（2）求犯第二类错误的概率。

解：（1）当0μμ≤时，μ的极大似然估计为0ˆmin{,}x μ
μ=似然比统计量为 01212120sup{(,,,;)}(,,,)(,,,;)n n n p x x x x x x p x x x μμ
μλμ≤=
0201,1exp{},2x x x μμ>⎧
⎪
⎪≤=⎨⎪
⎪⎩
令x U =
，则
0122
01,(,,,)1exp{},2
n x x x x U x μλμ>⎧⎪
=⎨≤⎪⎩ 即
122
1,0(,,,)1exp{},02
n U x x x U U λ>⎧⎪
=⎨≤⎪⎩ 由于12(,,,)n x x x λ 的最小值是1，所以当0H 成立()x λ远离1时拒绝0H ，即()x c λ≥拒绝0H ，只有在0U <时才能获得，因而有
001{()}{}P x c P U c μμλα≥=≤=
又由于0H 成立时，U 服从(0,1)N ，因此11c u u αα-==-。

故似然比检验的统计量可取为
x U =
，拒绝域为121{(,,,):}n x W x x x U u α-=
≤- 。

（2）二类错误的概率为
11{}x P U z P u μαμα-->-=>-
11(u αΦ-=---
，0μμ<
四、（本题10分）考虑某四因子二水平试验，除考察因子D C B A ,,,外，还需考察交互作用B A ⨯，A C ⨯。

今选用表)2(78L ，表头设计及试验数据如表所示，所考虑指标是越小越好。

试用极差分析方法指出因子的主次顺序和较优工艺条件。

五、（本题10分）随机向量),,(321x x x 的相关系数矩阵
1
1
1R ρρρ
ρρρ
⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝
⎭
（1）根据主成分75%的选取标准，若只选取一个主成分，求ρ满足的条件。

解：（1）求特征根
21||1(1)(12)1
I R λρρ
λρλρλρλρρρλ----=---=-+-----
令||0I R λ-=，可得112λρ=+，21λρ=-，11λρ=-。

若只选取一个主成分，只要1123120.83
λρλλλ+=≥++，即0.7ρ≥。

（2）求解齐次线性方程组
1232202u u u ρρρρρρρρ
ρ--⎛⎫⎛⎫ ⎪⎪--= ⎪⎪ ⎪⎪--⎝
⎭⎝⎭
可获得对应于特征值112λρ=+
的单位特征向量为α'=，则第一主
成分为1123y x x x =+。