2018-2019学年苏州市高一期末调研测试
数学参考答案 2018．6
一、填空题
1．{ 1，2，3，4 } 2．25 3． 4．1 5．13
6．210 7．2 8．32
9．0.5 10．152
11．3
4 12．-2n + 10 13．8 14．52
二、解答题
15．解：（1）设数列{a n }的前n 项和为n S ，
∵S 10 = 110，∴110
9
101102a d ⨯+=． 则19
112a d +=．① ……………… 2分
∵a 1，a 2，a 4 成等比数列，
∴2214a a a =，即2
111()(3)a d a a d +=+．∴21a d d =．
∵d ≠ 0，∴a 1 = d ．② ……………… 5分
由①，②解得12,2.a d =⎧⎨=⎩，∴
2n a n =． ……………… 7分
（2）∵(1)n n b n a =+=2(1)n n +， ∴111
1
1
()2(1)21n b n
n n n ==-++． ……………… 10分
∴n T 111111(1)()()22231n n ⎡
⎤
=-+-++-⎢⎥+⎣⎦ ……… 12分
2(1)n
n =+． ……………… 14分
16．解：（1）由0AD BC ⋅=，得AD BC ⊥．
记AD h =，由13564AB AD ⋅=，得135||||cos 64AB AD BAD ⋅∠=．………… 3分
∴213564
h =，则h =||AD ………………… 5分
（2）∵1cos 4
A =-，∴sin A = ………………… 7分 由sin ah bc A =，得6bc =．① ………………… 9分 ∵2222cos a b c bc A =+-，∴2213b c +=．② ………………… 11分 由①，②，解得b = 2，c = 3，或 b = 3，c = 2．
∵c b >，∴b = 2，c = 3． ………………… 14分 （直接由①，②得出b = 2，c = 3不扣分）
17．解：（1）不等式(1)()22
a x f x x -=>-化为 (2)(4)02
a x a x --->-． …………… 2分 即[(2)(4)](2)0a x a x ---⋅->． …………… 4分
∵()2f x >的解集为(2,3)，∴
432
a a -=-． …………… 6分 解得1a =，经检验符合题意． …………… 8分
（2）∵()3f x x <-对任意(2,)x ∈+∞恒成立，
∴(1)(2)(3)a x x x -<--对任意(2,)x ∈+∞恒成立． …………… 10分 令1x t -=，则(1)(2)at t t <--对任意(1,)t ∈+∞恒成立． ∴23a t t <+
-对任意(1,)t ∈+∞恒成立． …………… 12分
∵23t t
+-最小值为3，
∴3a <． …………… 14分
18．解：（1）在△ABC 中，由余弦定理，得2222cos AB AC AB AC A BC +-⋅=．
∴22o 2cos1201x y xy +-=，即221x y xy ++=． …………… 4分 又x > 0，y > 0，
∴x ，y 满足的关系式为221x y xy ++=（0 < x < 1）． …………… 5分
（2）设需准备此种新型材料的长度为a ，则必须要x + y ≤a 恒成立． ∵221x y xy ++=，∴2()1x y xy +-=． …………… 7分 ∵2)2x y xy +≤(，∴22()1()2
x y x y ++-≤． …………… 11分 则24()3x y +≤
，∴x y + …………… 14分
当且仅当x y ==
（百米）时取“=”．
∴a x + y ≤a 恒成立．
…………… 16分
19.（1）证明：∵11112n n n n n n n a S a S a a -+++-=，a n ≠ 0， ∴1112n n n n n
S S a a -++-=． ……………… 2分 则21211S S a a -=，32322S S a a -=，…，2112n n n n n S S a a ----=（n ≥2，*n ∈N ）． 以上各式相加，得
211122n n n S S a a --=+++． ……………… 4分 ∵111S a =，∴1121n n n
S a --=-． ∴12n n n S a -=（n ≥2，*n ∈N ）． …………… 7分 ∵n = 1时上式也成立，∴12n n n S a -=（*n ∈N ）． …………… 8分
（2）∵12n n n S a -=，
∴112n n n S a ++=．
两式相减，得11122n n n n n a a a -++=-．
即11(21)2n n n n a a -+-=． …………… 10分 则11122
n n n n a b a -+==-． …………… 12分
12231n n n a a a T a a a +=+++ =211112(1)222
n n --+
+++ …………… 14分 =11222n n --+． …………… 16分
20．解：（1）当3a =时，不等式()7f x >，即23|3|x x --> 7．
① 当x ≥3时，原不等式转化为：2340x x -->．………………… 1分
解得1x <-或43
x >． 结合条件，得x ≥3； ………………… 3分 ② 当3x <时，原不等式转化为：23100x x +->． ……………… 4分
解得2x <-或53
x >． 结合条件，得2x <-或533
x <<． ………………… 6分 综上，所求不等式解集为5{|2}3
x x x <->或． ………………… 7分 （2）当0 < a ≤3时，2()f x ax x a =-+211()24a x a a a =-
+-． ① 若132a
<，即136a <≤时， ∵()f x 在[3,)+∞上单调增，∴值域为[103,)a -+∞；…………… 10分 ② 若
132a ≥，即106a <≤时，值域为1[,)4a a -+∞． …………… 13分 当3a >时，22(),()(3).
ax x a x a f x ax x a x a ⎧-+⎪=⎨+-<⎪⎩≥≤ ∵()f x 在[3,)+∞上单调增，∴值域为[83,)a ++∞．
综上所述： 当106
a <≤时，()f x 值域为1[,)4a a -+∞； 当136
a <≤时，()f x 值域为[103,)a -+∞； 当3a >时，()f x 值域为[)83,a ++∞． …………… 16分 （每类3分，没有综上所述不扣分）。