利用有限差分法分析电磁场边界问题在一个电磁系统中，电场和磁场的计算对于完成该系统的有效设计师极端重要的。

例如，在系统中，用一种绝缘材料是导体相互隔离是，就要保证电场强度低于绝缘介质的击穿强度。

在磁力开关中，所要求的磁场强弱，应能产生足够大的力来驱动开关。

在发射系统中进行天线的有效设计时，关于天线周围介质中电磁场分布的知识显然有实质性的意义。

为了分析电磁场，我们可以从问题所涉及的数学公式入手。

依据电磁系统的特性，拉普拉斯方程和泊松方程只能适合于描述静态和准静态（低频）运行条件下的情况。

但是，在高频应用中，则必须在时域或频域中求解波动方程，以做到准确地预测电场和磁场，在任何情况下，满足边界条件的一个或多个偏微分方程的解，因此，计算电池系统内部和周围的电场和磁场都是必要的。

对电磁场理论而言，计算电磁场可以为其研究提供进行复杂的数值及解析运算的方法，手段和计算结果；而电磁场理论则为计算电磁场问题提供了电磁规律，数学方程，进而验证计算结果。

常用的计算电磁场边值问题的方法主要有两大类，其每一类又包含若干种方法，第一类是解析法；第二类是数值法。

对于那些具有最简单的边界条件和几何形状规则的（如矩形、圆形等）问题，可用分离变量法和镜像法求电磁场边值问题的解析解（精确解），但是在许多实际问题中往往由于边界条件过于复杂而无法求得解析解。

在这种情况下，一般借助于数值法求解电磁场的数值解。

有限差分法，微分方程和积分微分方程数值解的方法。

基本思想是把连续的定解区域用有限个离散点构成的网络来代替，这些离散点称作网格的节点；把连续定解区域上的连续变量的函数用在网格上定义的离散变量函数来近似；把原方程和定解条件中的微商用差商来近似，积分用积分和来近似，于是原微分方程和定解条件就近似地代之以代数方程组，即有限差分方程组，解此方程组就可以得到原问题在离散点上的近似解。

然后再利用插值方法便可以从离散解得到定解问题在整个区域上的近似解。

差分运算的基本概念：有限差分法是指用差分来近似取代微分，从而将微分方程离散成为差分方程组。

于是求解边值问题即转换成为求解矩阵方程[5]。

对单元函数()x f而言，取变量x的一个增量x∆=h，则函数()x f的增量可以表示为()x f∆=()hxf+-()x f称为函数()x f的差分或一阶差分。

函数增量还经常表示为()x f∆=⎪⎭⎫⎝⎛+2hxf-⎪⎭⎫⎝⎛-2hxf称为函数()x f 的中心差分或一阶中心差分。

函数一阶差分()x f ∆与自变量增量h 的比值()x f ∆/h 称为一阶差商。

在一阶差分运算中，它常用来近似函数()x f ∆的一阶导数()dx x df /。

函数()x f 的二阶差商定义为()22x x f ∆∆()[]()[]h h x f h h x f ∆-+∆= ()()2h x f h x f ∆-+∆=它常被用来近似函数()x f 的二阶导数()22/dx x f d 。

我们还可以采用类似方法给出二阶以上差分的定义，并用它们来近似函数二阶以上的导数。

但由于二阶以上的倒数在本次研究中没有用到，因此就不在赘述了。

3.1 个相同形式的差分方程。

有限差分法应用 有限差分法基本思想是将场域离散为许多小网格，应用差分原理，将求解连续函数ϕ的泊松方程的问题转换为求解网格节点上ϕ的差分方程组的问题[6][7]。

现在，以静电场边值问题为例，说明有限差分法的应用。

f(s)为边界点s 的点函数，二位场域D 和边界L 示于下图中。

yx02413D Lhh有限差分的网格分割通常将场域分成足够小的正方形网格,网格线之间的距离为h ,节点4,3,2,1,0上的电位分别用3210,,,ϕϕϕϕ和4ϕ表示。

设函数ϕ在x 处可微，则沿x 方向在x 处的泰勒公式展开为()()()∑=-+-=nK nKK K 000)(!χχοχχϕϕχ将1χχ=和3χ分别代入上式,得⋅⋅⋅⋅⋅⋅+∂∂+∂∂+∂∂+=03330222001)(!31)(!21)(x h x h x h ϕϕϕϕϕ ⋅⋅⋅⋅⋅⋅+∂∂-∂∂+∂∂-=03330222003)(!31)(!21)(x h x h x h ϕϕϕϕϕ由上式得h x x x 2)(310ϕϕϕ-≈∂∂=2301x x 22h 2x 0ϕϕϕϕ+-≈∂∂=)(同理h y y y 2)(310ϕϕϕ-≈∂∂=2301222)(0h y y y ϕϕϕϕ+-≈∂∂= 得到泊松方程的五点差分格式)(414243210204321Fh Fh -+++=⇒=-+++ϕϕϕϕϕϕϕϕϕϕ当场域中,0=ρ得到拉普拉斯方程的五点差分格式：)(41044321004321ϕϕϕϕϕϕϕϕϕϕ+++=⇒=-+++从这个公式我们可以看出，当我们将一个二维无源区场域剖分为一系列正方形网格时，场域内任何一个节点的电位都等于它周围四个节点电位的算术平均值。

这就是规则正方形网格内某点的电位所满足的拉普拉斯方程的差分格式，或差分方程[8]。

对于场域内的每一个结点，关系式都成立，都可以列出。

分离变量法：具体例题如下：3） 如图所示，有一长方形的导体槽，a = 20，b = 10，设槽的长度为无限长，槽上有一块与槽绝缘的盖板，电位为100V ，其他板电位为零，求槽内的电位分布。

yb解：用有限差分法求金属盒内电位（20x10） （1）在盒内取20×10个离散的电位节点第一步，在场域内部节点上选定电位初始值，为简单起见，可将它们都取为零，记为()01Φ=()02Φ=···=()0200Φ=0，常称为零次解。

第二步，将零次解代入差分方程式（3.2.10），得出诸内部节点电位值的一次解，它们为：()11Φ=()()40002102Φ+++Φ=40000+++=0()12Φ=()()()400220103Φ+Φ++Φ=40000+++=0()120Φ=()140Φ=()160Φ=…=()1200Φ=25其他()1n Φ=0；在求出一次解的200个节点电位值以后，原来零次解中的200个节点电位值将被一次解中的相应电位值所取代，在计算机的内存中不予保留，从而达到了节省存储空间的目的。

第三步，重复上述步骤，令每一个内部节点上的二次解电位值等于该节点周围四个相邻节点（或边界点）一次解电位值的算术平均值，并用二次解电位值冲去内存中的原一次解电位值。

这样迭代一次又一次的继续下去，可望诸节点的电位值变化越来越小，这时可取这些节点上的电位值为该边值问题的数值解，经50次迭代，得到电位分布如下：0 0 0 0 0 0 0 0 0 00 0.0993 0.1089 0.1423 0.1467 0.1778 0.1921 0.1892 0.0920 00 0.1325 0.1448 0.2532 0.3184 0.3977 0.4334 0.3542 0.1537 00 0.1396 0.2420 0.3833 0.5165 0.5671 0.5586 0.3818 0.1796 00 0.1692 0.3943 0.5392 0.6585 0.6773 0.6581 0.4655 0.2314 00 0.2387 0.5355 0.7320 0.8969 1.0173 0.9740 0.6603 0.2704 00 0.3618 0.7712 1.1408 1.4273 1.5196 1.2679 0.7968 0.3287 00 0.5793 1.2419 1.7832 2.0459 2.0252 1.7003 1.1574 0.6089 00 0.9598 1.8628 2.4876 2.8179 2.8438 2.4066 1.7408 0.8674 00 1.3658 2.5222 3.4567 3.9657 3.9424 3.4661 2.4649 1.3123 00 1.9464 3.6736 4.9513 5.5895 5.7230 4.8560 3.5389 1.8705 00 2.7943 5.1636 6.9056 8.0372 7.8414 6.8346 5.0202 2.7216 00 3.8931 7.3130 10.0082 11.0921 11.0886 9.7018 7.1720 3.8510 00 5.5621 10.5944 13.7608 15.6352 15.5737 13.6932 10.2165 5.5458 00 8.2507 14.7118 19.5283 21.9300 21.8742 19.3603 14.6006 7.9489 00 11.3214 20.8403 27.1814 30.3563 30.3316 27.0933 20.7935 11.4501 00 17.5203 30.5113 38.5788 42.3738 42.2936 38.3838 30.3113 17.5032 00 27.7508 44.8055 54.0068 57.9932 57.9459 53.8699 44.8833 27.8587 00 48.6873 67.0168 74.6269 77.5080 77.4550 74.5761 67.0989 48.7180 00 100.0000 100.0000 100.0000 100.0000 100.0000 100.0000 100.0000 100.0000 0由上得出的数值解可以看出，金属盒内点电位分布是越靠中间电位越高，越靠近金属盒顶部电位越高，这是由于金属盒底部和两边的电位都为零，而顶部最高。

由此表明此方法计算出的电位值，符合金属盒内的电位分布情况。

当用解析法求解时：槽内电势满足二维直角坐标系中的拉普拉斯方程及其边界条件:应用分离变量法 , 得到满足方程 ( 1 ) 和边界条件式(2)—式 (4) 的解的形式为()10x10ysin,1ππφn shn A y x n n ∑∞==带入边界条件（3）得100=πn 210ysin1∑∞=n n sh n A π利用三角函数正交性，求得系数n A ，最后可得槽内电位的解析解为： ()10x）1-n 2（10y ）1-n 2（sin ）π1-n 2（2100)12(4,1n πππφsh sh n y x -=∑∞=.解析法的优点是：可将解答表示为已知函数的显式，从而计算出精确的数值结果； 可以作为近似解和数值解的检验标准；在解析过程中和在解的显式中可以观察到问题的内在联系和各个参数对数值结果所起的作用。

但解析法也存在严重缺点，主要是，它仅能解决很少量的问题。

事实上，只有在为数不多的坐标系中才能分离变量，而用积分方程法是往往求不出结果，致使分析过程既困难又复杂。