4.4 归纳递推的必要性 这步致错的原因往往是没有用到归纳假设，直接得 的正确性.
出式子
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结 论
用数学归纳法证明命题可以降低过程的复 杂性,使推理过程简单,清晰,也保证了推理的 严谨性,特别是在初等数论中的众多命题的证 明时,使得证明过程简洁明了,而不失严密性, 数学归纳法是一种行之有效的证明方法.
在用数学归纳法证明与自然数有关的命题 时,两个基本步骤是不可缺少的,否则命题不一 定成立.
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论文不足
第一：数学归纳法的应用非常广泛，由于本人涉 及方面有限，本文只对一些基本应用做了论述， 旨在说明一种基本的数学证明思维方法.
第二：数学归纳法可以证明很多有关自然数的 命题，特别是在初等数论中.但是由于本文篇幅 有限，只是叙述了部分命题.
数学归纳法以及在初等数论中的应用
指导老师：**
答辩人：孙**
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选题的意义
论文轮廓
主要内容
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论文的不足
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选题的意义
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数学归纳法我 们从中学就开 始接触，但是 有时对的原理 并非特别清楚。
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独特性，在诸多 证明方法中，由 于数学归纳法那 种机械又明快的 结构，特立独行 .。
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第二类数学归纳法 第二类数学归纳法 第一类数学归纳法与第二类数学归纳是等 价的。但是在有些情况下，仅仅依靠n=k 时，命题成立，还不够，还需要依赖前面 各步成立。此时需要用第二类数学归纳法。
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反向数学归纳法 反向数学归纳法 若命题对无数个自然数成立，可以由 k+1推出k成立。 通常适合容易确定对无数多个自然数 成立的命题。但不是所有的自然数成立。 这类命题比较适合反向归纳法。
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数学归纳法在初等数论中应注意的问题 4.1起步错误 容易忽略,觉得无关紧要,可有可无,不去认真的验证这一步,或者 根本没有这一步,都可能陷入错误之中,推出看似正确的答案. 4.2 机械套用数学归纳法的两个步骤致误 有时直接应用第一类或者第二类条件是不足的，此时，应该用 其他，但是往往不注意. 4.3 混淆概念所致 套用不完全归纳法
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论文的轮廓
第四部分：重点介绍了数学归纳法在初等数论中 容易出错点。数学归纳法的步骤看起来很简单， 但是它的论证却十分的灵活，稍加不小心，就容 易错误。 第五部分：结语、参考文献以及英文摘要。
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数学归纳法
第一类数学归纳法 第二类数学归纳法 反向数学归纳法 跳跃数学归纳法 二重数学归纳法
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它的思想性价值 很高,是从有限 通向无限的第一 条高速公路,有 里程碑式的作用。
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论文的轮廓
引言，通过直接证法引入数学归纳法，以此来显 示它的优越性和必要性。 第二部分：证明第一类和第二类数学归纳法的原 理及之间的关系，更好的理解它。 第三部分：介绍了如何利用数学归纳法来研究初 等数论。重点介绍了在整除性、不定方程、同余、 以及一些不等式的证明。
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跳跃数学归纳法 跳跃数学归纳法 所谓跳跃实际就是将自然数集合分解 成若干互不相交的子集，再对每个子集分 别证明。
一般来说如果那个命题在不同值成立 的条件不一样，跳跃归纳法就适合。
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二重数学归纳法 二重数学归纳法 若命题与两个独立的自然数对m与n 有关，适合用二重数学归纳法。
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