复习引入：
找准起点 奠基要稳
数学归纳法是一种证明与自然数有关的数学命题的重要方法。 其格式主要有两个步骤、一个结论: （1）验证当n取第一个值n0（如 n0=1或2等）时结论正确； 验证初始条件 （2）假设n=k时结论正确，在假设之下，证明n=k+1时结论也 正确； 用上假设 假设推理 递推才真 （3）由（1）、（2）得出结论. 点题
2
k 1
2 2 2 k ≥ k 5 k k 2 k 1 ( k 1)
k 2
2 2
2
这就是说，当n=k+1时，命题也是正确的. 由（1）和（2）可以断定，这个命题对 于所有大于或等于5的正整数n都正确。
例4．求证：凸n边形的对角线的条数为
f (n) n ( n 3) 2 , (n ≥ 4)
f (n) 1
1 2
2

1 3

1 n
, 求证
:
1
f (2 )
n
n 2 2
( n 1).
证:(1)当n=2时, f ( 2 ) f ( 4 ) 1 2 3 4 2 12 不等式成立. (2)假设当n=k(k≥2)时不等式成立,即 则当n=k+1时, 1 有: 1 1
1
2
13

2
2
35

n
2
( 2 n 1)( 2 n 1)

n n
2
4n 2
( n N ).
*
(1)当n=1时,由上面解法知结论正确.
(2)假设当n=k时结论正确,即:
1
2
13
2

2
2
35
2

k
2
( 2 k 1)( 2 k 1)
2

k
2
k
4k 2
证明：（1）当n=4时，四边形的对角线有2条， f(4)=2，所以对于n=2，命题成立. （2）设凸k边形的对角线的条数为
f (k ) k ( k 3) 2 , (k ≥ 4)
当n=k+1时，k+1边形比k边形多了一个顶点, 该顶点与原k边形中的(k－2)个顶点可连成(k－ 2)条对角线，而原来的一条边也变成对角线，故 (k+1)边形比k边形增多了(k－1)条对角线,
例6、是否存在常数a、b,使得等式:
1
2
13

2
2
35

n
2
( 2 n 1)( 2 n 1)
3a b 1

an
2
n
bn 2
a 1
对一切正整数n都成立,并证明你的结论. 解:令n=1,2,并整理得
{ , { . 10 a 3 b 2 b4
以下用数学归纳法证明:
2

( k 1)(2 k 7 k 6 )
2
6 ( k 1)[( k 1) 1][2 ( k 1) 1] 6
这就是说，当n=k+1时，等式也成立， 由（1）和（2）可以断定，等式对任何 n∈N+都成立。
例2．证明：平面上n个圆最多把平面分成n2－ n+2个区域。 证明：（1）一个圆将平面分成2个区域，而当 n=1时，n2－n+2=2，因此结论当n=1时成立； （2）假设当n=k时，结论成立，即k个圆最多把 平面分成k2－k+2个区域。在此基础上，为使区 域最多，应使新增加的圆与前k个圆都交于两点， 于是新增2k个交点， 这2k个交点将新圆分成2k段弧，这2k段弧将所 经过的区域一分为二，因此新增2k个区域，这样 k+1个圆最多把平面分成
(k2－k+2) +2k=(k+1)2－(k+1)+2个区域，
这就是说，当n=k+1时，结论也正确，
由（1）和（2）可以断定，结论对任何 n∈N+都正确。
例3．求证：当n≥5时，2n>n2，
证明：（1）当n=5时，25=32，52=25，因 此25>52，即n=5时，结论正确； （2）假设当n=k(k≥5)时，这个命题是正 确的，那么由2k>k2得
即当n=k+1时,不等式成立. 由(1),(2)所证不等式对一切 n N , n 2 都成立.
小结：
重点：两个步骤、一个结论； 注意：递推基础不可少，
归纳假设要用到，
结论写明莫忘掉。
f (2
k 1
1
1
1

22 2
k
,
k 2 2 .
f (2 )
) f (2 )
k
2 1
k

2 2
k

2 2
k 1

k 2 2 k 2 2

1 2 1
k

1 2 2
k
2 .
1
k 1
k 2
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
k
1 2
k 1
1 2

( k 1) 2 2

( k 1)( 2 k
3k 2 k 2)
2 ( 2 k 1)( 2 k 3 ) k
2


3k 2 4k 6

( k 1) ( k 1)
2
4 ( k 1) 2
故当n=k+1时,结论也正确. 根据(1)、(2)知,对一切正整数n,结论正确.
例7、已知
.
则当n=k+1时,
1 13 k
2
2
35 k

k
( 2 k 1)( 2 k 1)
2

( k 1)
2
( 2 k 1)( 2 k 3 )
2
( k 1)
4k 2
( 2 k 1)( 2 k 3 )
2

k ( k 1)( 2 k 3 ) 2 ( k 1) 2 ( 2 k 1)( 2 k 3 ) ( k 1)( 2 k 1)( k 2 ) 2 ( 2 k 1)( 2 k 3 ) .
2 2 2 2

k ( k 1)( 2 k 1) 6
那么
1 2 3 k ( k 1)
2 2 2 2 2
k ( k 1)( 2 k 1) 6
( k 1)
2

k ( k 1)(2 k 1) 6 ( k 1) 6 ( k 1)(( k 2 )(2 k 3) 6
例5．求证当n为正奇数时7n+1能被8整除. 证明： (1) n=1时，71+1=8能被8整除；
(2) 假设n=k (k为正奇数)时7k+1能被8整除 (设7k+1=8M，M∈N) 则当n=k+2时， 7k+2+1=72·k+72－72+1=72(7k+1)－48 7 =49×8 M －8×6 =8(49M－6) ∵49M－6∈N ∴命题成立 由（1）、（2）可知当n为正奇数时 7n+1能被8整除．
写明结论 才算完整
2.3.2 数学归纳法应用举例
例1．用数学归纳法证明：
1 2 3 n
2 2 2 2
n ( n 1)( 2 n 1) 6
证明：（1）当n=1时，左边=1，右边=1， 等式成立； （2）假设当n=k时，等式成立，即
1 2 3 k
所以
f ( k 1)

k ( k 3)
( k 1)
k k 2
2
2 2 k 3k 2 k 2
2

( k 1)[( k 1) 3] 2
2
即n=k+1时，命题成立。 由（1）、（2）可知，凸n边形的对角线 的条数为
f (n) n ( n 3) 2 , (n ≥ 4)