概率论计算：1．已知在10只晶体管中有2只次品，在其中取两次，作不施加抽样，求下列事件的概率。

（1）两只都是正品？（2）两只都是次品？（3）一只是正品，一只是次品？（4）第二次取出的是次品？ 解：设A1、A2表示第一、二次取到正品的事件，由等可能概型有：(1)452897108)1|2()1()21(=⨯==A A P A P A A P(2)45191102)1|2()1()2,1(=⨯==A A P A P A A P(3)45169810292108)1|2()1()1|2()1()21()21(=⨯⨯⨯=+=+A A P A P A A P A P A A P A A P (4)519110292108)1|2()1()1|2()1()2(=⨯⨯⨯=+=A A P A P A A P A P A P2．某电子设备制造厂所用的晶体管是由三家元件厂提供的，根据以往记录有如下数据~~~设三家工厂的产品在仓库中是均匀混合的，且无区别的标志。

（1）在仓库中随机地取一只晶体管，求它是次品的概率。

（2）在仓库中随机地取一只晶体管，发现是次品，问此次品是一厂产品的概率？解：设Bi （I=1,2,3）表示任取一只是第I 厂产品的事件，A 表示任取一只是次品的事件。

（1）由全概率公式0125.003.005.001.080.002.05.0)3|()3()2|()2()1|()1()(=⨯+⨯+⨯=++=B A P B P B A P B P B A P B P A P （2）由贝叶斯公式24.00125.002.015.0)()1|()1()|1(=⨯==A PB A P B P A B P3．房间里有10个人，分别佩戴从1号到10叼的纪念章，任选三人记录其纪念章的号码，求：（1）最小号码为5的概率；（2）最大号码为5的概率。

解：由等可能概型有： （1）12131025==C C P ; （2）20131024==C C P4．6件产品中有4件正品和2件次品，从中任取3件，求3件中恰为1件次品的概率。

解：设6件产品编号为1，2……6，由等可能概型53361224==C C C P5．设随机变量X 具有概率密度⎪⎩⎪⎨⎧≤>-=0,00,3)(x x x ke x f 。

（1）确定常数k ；（2）求P （X>0.1）解：（1）由1)(=∞-+∞⎰dx x f 有333303301==-+∞=-+∞-⎰⎰k k xd xe k dx x ke 所以（2）7408.0331.0)1.0(=-+∞=>⎰dx xe x P6．一大楼装有5个同类型的供水设备，调查表明，在任一时刻t ，每个设备被使用的概率为0.1，问在同一时刻（1）恰有2个设备被使用的概率是多少？（2）至多有3个设备被使用的概率是多少？（3）至少有1个设备被使用的概率是多少？解：由题意，以X 表示任一时刻被使用的设备的台数，则X~b(5,0.1)，于是 （1）0729.039.021.025)2(===C X P （2）9995.051.0559.041.045[1)]5()4([1)3(1)3()2()1()0()3(=+-==+=-=>-==+=+=+==≤C C X P X P X P X P X P X P X P X P（3）40951.059.001.0051)0(1)1(=-==-=≥C X P X P7．设随机变量X 的概率密度为,,0,40,8)(⎪⎩⎪⎨⎧<<=其它x x x f求)31(≤<x P 解：2183)31(==≤<⎰dxx x P8．由某机器生产的螺栓的长度（cm ）服从参数μ=10.05，σ=0.06的正态分布，规定长度在范围10.05±0.12内为合格品。

求一螺栓为不合格品的概率。

解：由题意，所以为0456.0)]2(1[2)]06.012.0()06.012.0([1)12.005.1012.005.10(1=Φ-=-Φ-Φ-=+<<--x P9．设X~N （3，22）求：（1）)3(),2|(|),104(),52(>>≤<-≤<x P x P x P x P （2） 解：（1）5328.0)5.0()1()232()235()52(-=-Φ-Φ=-Φ--Φ=≤<x P 9996.0)5.3()5.3()234()2310()104(=-Φ-Φ=--Φ--Φ=≤<-x P6977.0)]232()232([1)22(1)2|(|1)2|(|=--Φ--Φ-=≤≤--=≤-=>x P x P x P5.0)0(1)3(=Φ-=>X P（2）由P>c=P(x ≤c)，即3,02321)23()23()23(1==-=-Φ-Φ=-Φ-c c c c c 所以求Y=X 的分布律。

解：Y=X 2的全部取值为0，1，4，9且P （Y=0）=P （X=0）=51， P （Y=1）=P （X=-1）+P （X=1）=30715161=+， P （Y=4）=P （X=-2）=51， P （Y=9）=P （X=3）=3011故Y 的分布律为 11．设二维随机变量（x ，y ）具有概率密度⎪⎩⎪⎨⎧>>+-=其它,00,0,)2(2)(y x y x ex f （1）求分布函数F （x ，y ）；（2）求概率P （Y ≤X ） 解：（1）⎪⎩⎪⎨⎧>>----=⎪⎩⎪⎨⎧>>+-=∞-∞-=⎰⎰⎰⎰其它其它,00,0),1)(21(,00,0)2(200),(),(y x y e x e y x dx y x ex dy ydxdy y x f yx y x F （2）31])2(2[0),()(=+-∞+∞+==≤⎰⎰⎰⎰dy dx y x e y dxdy y x f X Y P求X 及Y 的边缘分布律。

13．设随机变量（X ，Y ）的联合概率密度为⎩⎨⎧≤≤=其它,010,6),(x y x f ，边缘概率密度)(),(y y f x x f 。

解：⎪⎩⎪⎨⎧≤≤-=⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≤≤=∞-+∞=⎰⎰其它其它,010),2(6,010,62),()(x x x x dy x x dyy x f x x f⎪⎩⎪⎨⎧≤≤-=⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≤≤=∞-+∞=⎰⎰其它其它,010),(6,010,6),()(y y y y dx y y dx y x f y y f14．设（X ，Y ）的概率密度为⎪⎩⎪⎨⎧<<<<--=其它,042,20),6(),(y x y x k y x f（1）确定常数k ；（2）求P （X<1，Y<3）；（3）求边缘概率密度)(x x f 解：（1）81,18,8)6(2402),(===--=∞-+∞∞-+∞⎰⎰⎰⎰k k k dy y x k dx dxdyy x f 得由（2）83)6(812301)3,1(=--=<<⎰⎰dy y x dx Y X P（3）⎩⎨⎧<<-=⎪⎩⎪⎨⎧<<--=∞-+∞=⎰⎰其它其它,01026,010,)6(8124),()(x x x dy y x dy y x f x x F求23(),2(),(+X E X E X E 解：2.03.023.004.02)(-=⨯+⨯+⨯-=X E8.23.0223.0204.02)2()2(=⨯+⨯+⨯-=X E 4.135)2(3)523(=+=+X E X E16．设X —b(n,p),求E(X),D(X))1()(...)2()1()()(...)2()1()(,,...,2,1),...,2,1(,0,1,...21:p np n X D X D X D X D npn X E X E X E X E n X X X n i i i X n X X X X -=+++==+++==⎪⎩⎪⎨⎧=+++=于是相互独立且反之次发生第其中设解17．设随机变量X 在(a,b)上服从均匀分布，求E （X ），D （X ）。

解：X 的概率密度为122)(42)(3222)]([)2()(232212)(2)2(221)()(,0,1)(a b b a b ab a x E X E X D bb ab a dx a b x dxx f x X E b a b dxa b x dx x xf X E b x a ab x f -=+-++=-=+=-=∞+∞-=-=-∞+∞-==⎪⎩⎪⎨⎧<<-=⎰⎰⎰⎰其它18．设随机变量X 服从分布，其概率密度为22222)]([)2()(02212)2(01)(:).(),(,0,0,00,1)(θθθθθθθθθθθθ=-=-=∞+=-==∞+-=>⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≤>-=⎰⎰X E X E X D dx x e X X E dx xe X X E X D X E x x x e xf 解求常数是其中19．已知X —N （μ，σ2），求E （X ），D （X ）。

22222)]([)2()(2222)(21)(2)(212)2(2)(21)(2)(21)(:222222σμμσμσμσπσμσμπσμμσπσμσμπσ=-+=-=+=∞+∞--+==-=∞+∞--===∞+∞--+=-=∞+∞--=⎰⎰⎰⎰X E X E X D dt t e t t x dxx e xX E dt t e t t x dxx e xX E 设设为解20．在总体N （52，6.33）中随机抽一容量为36的样本，求样本平均值X 落在50.8到53.8之间的概率。

8293.0)14.1()71.1(05.12.105.18.163.6528.5363.65263.6528.50)8.538.50(:=-Φ-Φ=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-Φ-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛Φ=⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡-<-<-=<<X P X P 解21．已知X —t(n)，求证X 2—F(1，n)),1(2/1/2/22.),(2~),1,0(~/)(:n F x F nV U VV U x V U n x V N U nV U X n t X -===-分布定义即知由于是相互独立与且其中必有由证明22．设n X X X ,...2,1为总体的一个样本，求下列各总体的密度函数中未知参数的极大似然估计量。

∑∑∏∑∑∏====+=-==-==-===-+=+-==+-=>⎪⎩⎪⎨⎧≤≤-=>>⎪⎩⎪⎨⎧≤>+-=ni i X n n i i x n d L d n X X X nni x L ni c n i X nn i i x c n nd L d n X X X n c n ni i x c L x x x f c c x cx x c x f 12)ln (2ˆ,01ln 212)(ln 1)....21(211)()2(1ln ln ˆ,10ln ln )(ln )1()...21(1)1()()1(:,0,,010,1)()2(,0,0,,0,)1()()1(θθθθθθθθθθθθθθθθθθθθθθθθθθθθθθ解得似然方程为似然函数为解得似然方程为似然函数为解为未知参数其中其它为未知参数为已知其中23．设总体为随机变量X ，且E （X ）=a （常数，未知），试说明样本平均值X 是a 的无偏估计量。