《概率论与数理统计》同步练习册学号＿＿＿＿＿＿＿＿姓名＿＿＿＿＿＿＿＿专业＿＿＿＿＿＿＿＿班级＿＿＿＿＿＿＿＿广东省电子技术学校继续教育部二O一O年四月练习一一、选择题1．设A ，B ，C 表示三个随机事件，则A B C 表示（A ）A ，B ，C 中至少有一个发生； （B ）A ，B ，C 都同时发生；（C ）A ，B ，C 中至少有两个发生； （D ）A ，B ，C 都不发生。

2． 已知事件A ，B 相互独立，且P(A)=0.5，P(B)=0.8，则P （A B ）＝(A) 0.65 ; (B) 1.3; (C)0.9; (D)0.3。

3．设X ～B （n ，p ），则有（A ）E （2X －1）＝2np ； （B ）E （2X ＋1）＝4np ＋1；（C ）D （2X ＋1）＝4np （1－p ）＋1； （D ）D （2X －1）＝4np （1－p ）。

4．X 的概率函数表（分布律）是xi －1 0 1pi 1/ 4 a 5/12则a ＝（ ）（A ）1/3； （B ）0； （C ）5/12； （D ）1/4。

5．常见随机变量的分布中，数学期望和方差一定相等的分布是（A ）二项分布； （B ）标准正态分布； （C ）指数分布； （D ）泊松分布。

二、填空题6．已知:A={x|x<3} ,B={x|2<x<5}.则A B=__________________, A-B=_____________________。

.7． 已知电路由电池A 与两个并联电池B 和C 串联而成，各电池工作与否相互独立。

设电池A ，B ，C 损坏的概率均为0.2。

则整个电路断电的概率是______________________.三、证明题8. 设随机变数ξ具有对称的分布密度函数)(x p ，即),()(x p x p -=证明：对任意的,0>a 有（1）-=-=-21)(1)(a F a F ⎰a dx x p 0)(； （2）P （1)(2)-=<a F a ξ； （3）[])(12)(a F a P -=>ξ。

9. 设分布函数列)}({xFn弱收敛于分布函数)(xF，且)(xF为连续函数，则)}({xFn在),(∞-∞上一致收敛于)(xF。

四、计算题10. 下列给出的是不是某个随机变量的分布列？(1)⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛2.03.05.0531 (2) ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛1.01.07.0321 (3)⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛ n n 312131213121212102 (4)⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛ 2221212121n11. 设随机变量ξ的分布列为：5,4,3,2,1,15)(===k k k P ξ，求(1))21(==ξξ或P ； (2)2521(<<ξP ) ； (3) )21(≤≤ξP 。

.12. 一个工人生产了n 个零件，以事件i A 表示他生产的第i 个零件是合格品（n i ≤≤1）。

用i A 表示下列事件：(1)没有一个零件是不合格品；(2)至少有一个零件是不合格品；(3)仅仅只有一个零件是不合格品；(4)至少有两个零件是不合格品。

13. 在分别写有2、4、6、7、8、11、12、13的八张卡片中任取两张，把卡片上的两个数字组成一个分数，求所得分数为既约分数的概率。

14. 有五条线段，长度分别为1、3、5、7、9。

从这五条线段中任取三条，求所取三条线段能构成一个三角形的概率。

练习二一、 选择题1．在n 次独立重复的贝努利试验中，设P （A ）＝p ，那么A 事件恰好发生k 次的概率为（A ）pk ； （B ）pk(1－p)n -k ；（C ）pn -k(1－p)k ； （D ）pk(1－p)n +k 。

2．设X 的概率函数表是xi －1 0 1pi 1/ 4 1/4 1/2则它的数学期望E(X)和方差D(X ）分别是（A ）1/ 4， 1/16； （B ）1/ 2， 3/ 4；（C ）1/ 4， 11/16； （D ）1/ 2， 11/16。

3．若T ～t (n)，下列等式中错误的是（A ）P{T>0}=P{T 0}； （B ）P{T 1}=P{T>1}；（C ）P{T=0}=0.5； （D ）P{T>t }=P{T<－t }。

4．设X ～N ( 1, 12) , 它有容量为n1的样本Xi ，i=1,2,…n1；Y ～N ( 2, 22) , 它有容量为n2的样本Yj ， j=1,2,…n2。

它们均相互独立， 和 分别是它们样本平均值，s12和s22分别是它们样本方差， 12， 22未知但是相等。

则统计量应该服从的分布是（A ）t (n1＋n2)； (B) t (n1＋n2－1)；(C) t(n1＋n2－2)； (D) F(n1－1，n2－1)。

二、填空题5．如果随机变量X,Y 的联合分布律为：X\Y 1 3 8-1 1/6 1/9 1/182 1/3 a b则 ， 应满足的条件是___________________.若X ，Y 相互独立，则 a ＝____， b=_____.6．设随机变量X1,X2,…，Xn 相互独立，并且同分布于标准正态分布N （0，1），则随机变量服从自由度为________的分布。

三、证明题7. 设随机变量序列{}n ξ同时依概率收敛于随机变量ξ与η，证明这时必有1)(==ηξP 。

8. 设随机变量序列a P n −→−ξ，0≠a 是一个常数，且0≠n ξ，证明a P n 11−→−ξ。

四、计算题9.一个小孩用13个字母T T N M M I I H E C A A A ,,,,,,,,,,,,作组字游戏。

如果字母的各种排列是随机的（等可能的），问“恰好组成“MATHEMATICIAN ”一词的概率为多大？10. 随机变量ξ只取正整数N ，且)(N P =ξ与2N 成反比，求ξ的分布列。

n-个黑球，不返回地连续从袋中取球，直到11. 一个口袋中装有m个白球、m取出黑球时停止。

设此时取出了ξ个白球，求ξ的分布列。

12.一个口袋中有5个同样大小的球，编号为1、2、3、4、5，从中同时取出3只球，以ξ表示取出球的取大号码，求ξ的分布列。

13. 两名篮球队员轮流投篮，直到某人投中时为止，如果第一名队员投中的概率为0.4,第二名队员投中的概率为0.6，求每名队员投篮次数的分布列。

练习三一、选择题1．设X ～N ( 1, 2) , 它有容量为n1的样本Xi i=1,2,…n1;Y ～N ( 2, 2) , 它有容量为n2的样本Yj j=1,2,…n2。

均相互独立，s12和s22分别是它们样本方差。

则统计量应该服从的分布是（ ）（A ）2(n1＋n2－2)； (B) F(n2－1，n1－1)；(C) t(n1＋n2－2)； (D) F(n1－1，n2－1)。

2．假设检验时，当样本容量n 固定时，缩小犯第Ⅰ类错误的概率 ，则犯第Ⅱ类错误的概率（ ）（A ）一般要变小； (B) 一般要变大；(C) 可能变大也可能变小； (D) 肯定不变。

3．设X ～N ( , 2) , 和 2均未知， 是样本平均值，s2是样本方差，则（ －t0.05 ， ＋t0.05 ）作为的置信区间时，其置信水平为（ ）（A ）0．1； (B) 0.2； (C) 0.9； (D) 0.8。

4．同时抛掷3枚均匀硬币，则至多有一枚硬币正面向上的概率是（ ）（A ）1/8； (B) 1/6； (C) 1/4 ； (D) 1/25．常见随机变量的分布中，数学期望和方差一定相等的分布是（A ）二项分布； （B ）标准正态分布； （C ）指数分布； （D ）泊松分布。

二、填空题6．设A ，B 为两个随机事件，且A 与B 相互独立，P(A)=0.3，P(B)=0.4，则P(A B )=__________.7．盒中有4个棋子，其中2个白子，2个黑子，今有1人随机地从盒中取出2个棋子，则这2个棋子颜色相同的概率为_________.8．设随机变量X 的概率密度⎪⎩⎪⎨⎧≤≤=,,0;10,A )(2其他x x x f 则常数A=_________.三、证明题9、设随机变量n ξ按分布收敛于随机变量ξ，又数列a a n →，b b n →，证明n n n b a +ξ也按分布收敛于b a +ξ。

四、计算题10. 一幢10层楼的楼房中的一架电梯，在底层登上7位乘客。

电梯在每一层都停，乘客从第二层起离开电梯，假设每位乘客在哪一层离开电梯是等可能的，求没有两位及两位以上乘客在同一层离开的概率。

11. 某城市共有10000辆自行车，其牌照编号从00001到10000。

问事件“偶然遇到一辆自行车，其牌照号码中有数字8”的概率为多大？12. 函数211)(x x F +=是否可以作为某一随机变量的分布函数，如果（1）∞<<∞-x π（2）0∞<<x ，在其它场合适当定义； （3）-0<<∞x ，在其它场合适当定义。

13.函数x sin 是不是某个随机变数ξ的分布密度？如果ξ的取值范围为（1）]2,0[π；（2）],0[π；（3）]23,0[π。

14. 设随机变数ξ的分布函数为⎩⎨⎧<≥+-=-000)1(1)(x x e x x F x求相应的密度函数，并求)1(≤ξP 。

练习四一、选择题1．设A ，B 为两个互不相容事件，则下列各式错误的是（ ） A ．P(AB)=0 B ．P(A ∪B)=P(A)+P(B) C ．P(AB)=P(A)P(B) D ．P(B-A)=P(B)2．设事件A ，B 相互独立，且P(A)=31，P(B)>0，则P(A|B)=( ) A ．151 B ．51 C ．154 D ．313．设随机变量X 在[-1，2]上服从均匀分布，则随机变量X 的概率密度f (x)为( )A ．⎪⎩⎪⎨⎧≤≤-=.,0;21,31)(其他x x f B ．⎩⎨⎧≤≤-=.,0;21,3)(其他x x fC ．⎩⎨⎧≤≤-=.,0;21,1)(其他x x f D ． ⎪⎩⎪⎨⎧≤≤--=.,0;21,31)(其他x x f 4．设随机变量X ~ B ⎪⎭⎫⎝⎛31,3，则P{X ≥1}=( )A ．271B ．278C ．2719D ．27265则A ．51 B ．103 C ．21 D ．53二、填空题6．设离散型随机变量X 的分布函数为F(x )=⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧≥<≤<≤<≤--<,2,1;21,6.0;10,3.0;01,2.0;1,0x x x x x 则P{X>1}=________.7．设随机变量X ~ B(100，0.2)，应用中心极限定理计算P{16≤X ≤24}=__________.(附：Φ(1)=0.8413)三、证明题 8. 设是来自正态总体的样本，试证：（1）；（2）。