y
M
D C
P
A O
Q
Bx
二、特殊四边形边上动点
4、（2009 年吉林省）如图所示，菱形 ABCD 的边长为 6 厘米， B 60° ．从初始时刻开始，点 P 、 Q 同时
从 A 点出发，点 P 以 1 厘米/秒的速度沿 A C B 的方向运动，点 Q 以 2 厘米/秒的速度沿
A B C D 的方向运动，当点 Q 运动到 D 点时， P 、 Q 两点同时停止运动，设 P 、 Q 运动的时间为
（1）求直线 AC 的解析式；
（2）连接 BM，如图 2，动点 P 从点 A 出发，沿折线 ABC 方向以 2 个单位／秒的速度向终点 C 匀速运动，设△
PMB 的面积为 S（ S 0 ），点 P 的运动时间为 t 秒，求 S 与 t 之间的函数关系式（要求写出自变量 t 的取值范
围）；
（3）在（2）的条件下，当 t 为何值时，∠MPB 与∠BCO 互为余角，并求此时直线 OP 与直线 AC 所夹锐角的正
1、（2009 年齐齐哈尔市）直线 y 3 x 6 与坐标轴分别交于 A、B 两点，动点 P、Q 同时从 O 点出发，同OA 运动，速度为每秒 1 个单位长度，点 P 沿路线 O → B → A 运动．
（1）直接写出 A、B 两点的坐标； （2）设点 Q 的运动时间为 t 秒， △OPQ 的面积为 S ，求出 S 与 t 之间的函数关系式； （3）当 S 48 时，求出点 P 的坐标，并直接写出以点 O、P、 Q 为顶点的平行四边形的第四个顶点 M 的坐
（1）求该抛物线的解析式；
（2）若动点 P 从点 O 出发，以每秒 1 个长度单位的速度沿射线 OM 运动，设点 P 运动的时间为 t(s) ．问当
t 为何值时，四边形 DAOP 分别为平行四边形？直角梯形？等腰梯形？ （3）若 OC OB ，动点 P 和动点 Q 分别从点 O 和点 B 同时出发，分别以每秒 1 个长度单位和 2 个长度单位
提示：第(3)问按点 Q 到拐点时间 B、C 所有时间分段分类 ； 提醒----- 高相等的两个三角形面积比等于底边
的比 。
D
C
P
AQ
B
5、（2009 年哈尔滨）如图 1，在平面直角坐标系中，点 O 是坐标原点，四边形 ABCO 是菱形，点 A 的坐标为（
3 ，4），点 C 在 x 轴的正半轴上，直线 AC 交 y 轴于点 M，AB 边交 y 轴于点 H．
x 秒时， △APQ 与 △ABC 重叠部分的面积为 y 平方厘米（这里规定：点和线段是面积为 O 的三角形），解答
下列问题：
（1）点 P 、 Q 从出发到相遇所用时间是
秒；
（2）点 P 、 Q 从开始运动到停止的过程中，当 △APQ 是等边三角形时 x 的值是
秒；
（3）求 y 与 x 之间的函数关系式．
5
标． 提示：第（2）问按点 P 到拐点 B 所有时间分段分类；
第（3）问是分类讨论：已知三定点 O、P、Q ，探究第四点构成平行四边形时按已知线段身份不同分类----①OP 为边、OQ 为边，②OP 为边、OQ 为对角线，③OP 为对角线、OQ 为边。然后画出各类的图形，根 据图形性质求顶点坐标。
②若一抛物线 y=x2+mx 经过动点 E，当 S<2 3 时，求 m 的取值范围(写出答案即可)．
动点问题题型方法归纳
动态几何特点----问题背景是特殊图形，考查问题也是特殊图形，所以要把握好一般与特殊的关系；分析过程 中，特别要关注图形的特性（特殊角、特殊图形的性质、图形的特殊位置。） 动点问题一直是中考热点，近几年考查探究运动中的特殊性：等腰三角形、直角三角形、相似三角形、平行四 边形、梯形、特殊角或其三角函数、线段或面积的最值。下面就此问题的常见题型作简单介绍，解题方法、关 键给以点拨。 一、三角形边上动点
位的速度从点 0 出发沿 OC 向终点 C 运动，同时动点 E 以每秒 2 个单位的速度从点 A 出发沿 AB 向终点 B 运 动．过点 E 作 EF 上 AB，交 BC 于点 F，连结 DA、DF．设运动时间为 t 秒． (1)求∠ABC 的度数； (2)当 t 为何值时，AB∥DF； (3)设四边形 AEFD 的面积为 S． ①求 S 关于 t 的函数关系式；
y B
P OQ
Ax
2、（2009 年衡阳市）
C
C
C
F
F
A
O
B DA
E O
B
A
OEB
图 （1）
图 （2）
图 （3）
如图，AB 是⊙O 的直径，弦 BC=2cm，∠ABC=60º． （1）求⊙O 的直径； （2）若 D 是 AB 延长线上一点，连结 CD，当 BD 长为多少时，CD 与⊙O 相切； （3）若动点 E 以 2cm/s 的速度从 A 点出发沿着 AB 方向运动，同时动点 F 以 1cm/s 的速度从 B 点出发沿 BC 方向
的速度沿 OC 和 BO 运动，当其中一个点停止运动时另一个点也随之停止运动．设它们的运动的时间为 t (s) ，
连接 PQ ，当 t 为何值时，四边形 BCPQ 的面积最小？并求出最小值及此时 PQ 的长．
注意：发现并充分运用特殊角∠DAB=60° 当△OPQ 面积最大时，四边形 BCPQ 的面积最小。
切值．
注意：第（2）问按点 P 到拐点 B 所用时间分段分类；
y
y
第（3）问发现∠MBC=90°，∠BCO 与∠ABM 互余，画出 A ∠MPB=∠ABM 的两种情况，求出 t 值。
H B点 P 运动 A
过程中， HB
M
O
Cx
M
O
Cx
图
图
利用 OB⊥AC,再求 OP 与 AC 夹角正切值.
6、(2009 年温州)如图，在平面直角坐标系中，点 A( 3 ，0)，B(3 3 ，2)，C（0，2)．动点 D 以每秒 1 个单
运动，设运动时间为 t(s)(0 t 2) ，连结 EF，当 t 为何值时，△BEF 为直角三角形．
注意：第（3）问按直角位置分类讨论
3、（2009 重庆綦江）如图，已知抛物线 y a(x 1)2 3 3(a 0) 经过点 A(2，0) ，抛物线的顶点为 D ，过
O 作射线 OM ∥ AD ．过顶点 D 平行于 x 轴的直线交射线 OM 于点 C ， B 在 x 轴正半轴上，连结 BC ．