定积分计算中周期函数和奇偶函数的处理方法一、基本方法(一)、奇偶函数和周期函数的性质在定积分计算中，根据定积分的性质和被积函数的奇偶性，及其周期性，我们有如下结论1、若()x f 是奇函数（即()()x f x f --=），那么对于任意 的常数a ，在闭区间][a a ,-上，()0=⎰-aa dx x f 。

2、若()x f 是偶函数（即()()x f x f -=），那么对于任意的常数a ，在闭区间][a a ,-上()()⎰⎰-=a a adx x f dx x f 02。

3、若()x f 为奇函数时，()x f 在][a a ,-的全体原函数均为偶函数；当()x f 为偶函数时，()x f 只有唯一原函数为奇函数即()⎰xdt t f 0. 事实上：设()()C dt t f x d x f x +=⎰⎰0，其中C 为任意常数。

当()x f 为奇函数时，()⎰x dt t f 0为偶函数，任意常数C 也是偶函数⇒()x f 的全体原函数()C dt t f x+⎰0为偶函数；当()x f 为偶函数时，()⎰xdt t f 0为奇函数，任意常数0≠C 时为偶函数⇒()C dt t f x+⎰0既为非奇函数又为非偶函数，⇒()x f 的原函数只有唯一的一个原函数即()⎰xdt t f 0是奇函数。

4、若()x f 是以T 为周期的函数（即()()x f x T f =+），且在闭区间][T ,0上连续可积，那么()()()⎰⎰⎰+-==Ta aTTT dx x f dx x f dx x f 022。

5、若()x f 是以T 为周期的函数（即()()x f x T f =+），那么()⎰xdt t f 0以T 为周期的充要条件是 ()00=⎰Tdt t f 事实上：()()()()()⎰⎰⎰⎰⎰+=+=++Tx Tx xTx x dt t f dt t f dt t f dt t f dt t f 00，由此可得()()⎰⎰=÷xTx dt t f dt t f 0⇔()⎰T dt t f 0。

(二)、定积分中奇偶函数的处理方法1. 直接法：若果被积函数直接是奇函数或者偶函数，之间按照奇偶函数的性质进行计算即可，但要注意积分区间。

2. 拆项法：观察被积函数，在对称区间如果被积函数复杂但可以拆成奇偶函数和的形式，则分开积分会简化计算。

3. 拼凑法：被积函数在对称区间直接积分比较困难，并且不能拆项，可以按照如下方法处理：设()()()x f x f x p -+= ，()()()x f x f x q --=，则()()()2x q x p x f +=，从而就转换为了奇函数和偶函数在对称区间的计算。

(三)、定积分中周期函数的处理方法对于周期函数的定积分，最主要是能够确定被积函数的周期（特别是三角函数与复合的三角函数的周期），并熟悉周期函数的积分性质，基本上就能解决周期函数定积分的问题。

二、典型例题例1 设()x f f 在][a a ,-上连续可积，证明： (1)若f 为奇函数则()0=⎰-aadx x f (2)若f 为偶函数，则()()⎰⎰-=aaadx x f dx x f 02。

证明：(1)因为()()x f x f --=，而()()()⎰⎰⎰+=--aa a a dx x f dx x f dx x f 00()()()()()⎰⎰⎰⎰--+-=+-=aaa adx x f x d x f dx x f dx x f 0对前一项中令x t -=，则()()()()()⎰⎰⎰⎰-=-=-=--aaaadx x f dx x f dt t f x d x f 0000所以()()()000=+-=⎰⎰⎰-aa a a dx x f dx x f dx x f .(2)因为()()x f x f -=， 而 ()()()⎰⎰⎰+=--aa aa dx x f dx x f dx x f 00()()()()()⎰⎰⎰⎰--+-=+-=aaa adx x f x d x f dx x f dx x f 000，对前一项中 令t x -=相似的有()()()()⎰⎰⎰=-=---aaadx x f dt t f x d x f 000，所以()()⎰⎰-=aa adx x f dx x f 02.例 2 设f 在)(∞∞-,上连续，且以T 为周期，证()()()⎰⎰⎰+-==Ta aTT T dx x f dx x f dx x f 022。

证明： 由()()()()⎰⎰⎰⎰++++=Ta aaT Ta Tdx x f dx x f dx x f dx x f 00，在上式右端最后一个积分中，令tT x +=则有 ()()()()⎰⎰⎰⎰-==+=+00aTa Ta adxx f dt t f dt t T f dx x f ，即有()()()()()⎰⎰⎰⎰⎰+=-+=Ta aaTaT dx x f dx x f dx x f dx x f dx x f 0000，成立再证()()⎰⎰-=220T T Tdx x f dx x f ,因为()()()⎰⎰⎰+=T T T Tdx x f dx x f dx x f 2200对于()⎰TT dx x f 2令T x t -= 则()()⎰⎰+=TT TT dt T t f dx x f 22，因为()()x f T x f =+所以有()()⎰⎰--=+022T T dx x f dt T t f ，()()()()⎰⎰⎰⎰-=+=20222T TT T T Tdx x f dx x f dx x f dx x f 。

例3 求定积分 ()dx x x x I cos 2411++=⎰-。

解：被积函数为偶函数，()()dx x x x dx x x x I ⎰⎰++=++=-10242411cos 2cos⎥⎦⎤⎢⎣⎡+=⎥⎦⎤⎢⎣⎡++=1sin 158201sin 3151235x x x例4 求定积分⎰=πn dx x I 0sin ，其中n 为自然数。

解：注意到x sin 是偶函数且以π为周期，因此利用性质可以简化计算n xdx n dx x n dx x n dx x n dx x I n 2sin 2sin 2sin sin sin 202022======⎰⎰⎰⎰⎰-ππππππ.例5]3[ 计算：⎰π20cos sin xdx x m n （自然数n 或m 为奇数）。

解 ：由周期函数积分性质得⎰⎰-==πππxdx x xdx x I m n mnm n cos sin cos sin 20,当n 为奇数时，由于被积函数为奇函数，故0,=m n I 当m 为奇数时(设2,1,0,12=+=k k m …)时=m n I ,()()0sin sin sin 1sin 2==---⎰ππππx R x d x x n 其中()u R 为u 的某个多项式（不含常数项） 因此0,=m n I例6 求定积分 dx x xx x ⎰-+++44231sin 。

解：因为被积函数是为奇函数，且在对称区间故01sin 4423=+++⎰-dx x xx x 例7 求定积分I=dx xx x x ⎰--+-2225242cos 。

解：I=dx xx x dx xx ⎰⎰---+--+2225222242cos 42，因为2542cos xx x -+是奇函数，而2242x x -+是偶函数，所以I=2()dx xx x dx x x ⎰⎰--=+-+2222222422042 =()π28422202-=--⎰dx x 例8 求定积分I=()()dx x x 3arctan 3604--⎰。

解：设3-=x t 则I=()()dx x x 3arctan 3604--⎰=tdt t arctan 334⎰- 因为()x x x f arctan 4=是奇函数所以0=I例9 求定积分I=⎰+π02cos 1sin dx x xx 。

解：令t x +=2π，则dt dx =，因为][π,0∈x ，所以⎢⎣⎡⎥⎦⎤-∈2,2ππt ，dt t t dt t t t dt t t dt t t t I ⎰⎰⎰⎰---+=+++=+⎪⎭⎫ ⎝⎛+=222022222222sin 1cos sin 1cos sin 1cos 2sin 1cos 2ππππππππππ ()4]sin arctan [sin sin 1122022πππππ==+=⎰t t d t 例10 求定积分 I=⎰-+-+++1122231)1ln(dx x x x x 。

分析：若此题采用常规求法，会发现过程相当复杂，但是利用奇偶函数的性质就能很容易求出。

原函数可以看做一个奇函数f(x)=3)1ln(22+++x x x 和一个偶函数u(x)=3122+-x x 之和。

解：I= ⎰-+-+++1122231)1ln(dx x x x x = ⎰-+++11223)1ln(dx x x x + dx x x ⎰-+-112231 =+02 dx x x ⎰+-12231 =2=+-⎰dx x 102)341(10]3arctan 34[2x x - π3942-= 例11 求定积分I=⎰-+-+-21212)11lncos 41(dx xxx 。

分析：如果此题按照一般解法直接进行求解，那么会发现很繁琐，注意到()xxx f +-=11ln cos 为奇函数在对称区间上积分为零，因此就可以简化积分，而241x -在⎢⎣⎡⎥⎦⎤-21,21上积分恰好是以原点为圆心，半径为21的上半圆周面积， s=2)21(21π= 8π解：I=⎰-+-+-21212)11ln cos 41(dx x xx = dx x ⎰--2121241+dx xx⎰-+-212111lncos =dx x ⎰--2121241÷ 0 = 2dx x ⎰--2121241 = 2⨯8π = 4π例12 设()x f 在][a a ,-()0>a 上连续，证明()()()dx x f x f dx x f aaa][0-+=⎰⎰-，并由此计算⎰-+44sin 11ππdx x 。

解：若记()()()x f x f x p -+=，()()()x f x f x q --=，显而易见()x p 为偶函数，()x q 为奇函数，而且()()()2x q x p x f +=.所以有 ()()()()()()dx x f x f dx x p dx x q dx x p dx x f a a aa a a aa⎰⎰⎰⎰⎰-+==+=---00][2121 利用上述公式可得2][tan 2sec 2cos 2]sin 11sin 11[sin 11404024024440====-++=+⎰⎰⎰⎰-ππππππx xdx dx x dx x x dx x 例13 求定积分I=⎰-+22)1ln(dx e x x 。