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1 / 2 2018考研数学中求分段函数的不定积分问题

来源：文都教育

2017考研初试已经落下帷幕，17的考生此时在为复试做准备，18的考生们，是时候开启自己的复习道路啦！文都考研数学老师认为，17年真题所考查的知识点，值得2018考研考生重点学习和记忆。今天文都考研数学老师针对2018考研数学中求分段函数的不定积分问题，为大家进行详细的解答，帮助2018年的考研学子把握复习备考的命题方向！

一、解题思路分析

求分段函数的原函数（不定积分）

先考虑函数在分段点处的连续性，如果连续，可按下述步骤求之：

（1）分别求出函数的各分段函数在相应区间内的原函数（不定积分）。

（2）因函数在分段点处连续，故在包含该分段点的区间内原函数存在。这时应根据原函数的连续性（或可导性）确定各区间上任意常数的关系，将各分段区间的原函数在分段点处连续地连接起来，将各段上的任意常数iC统一成一个任意常数。先用分段积分法求出分段函数xf的一个原函数dttfxFxa，然后写出xf的原函数CxFdxxf，其中C为任意常数。

如果分段函数在分段点不连续，且分段点为函数的第一类间断点，则在包含

该点的区间内不存在原函数。这时函数的不定积分只能在不包含该点的各个分段区间内得到。

二、例题解析

例1 已知,1,2,10,1,0,132xxxxxxf则求dxxf.

解析：由题意得：

因xf在点0x处无定义，而00f及00f均存在，故0x为xf的第一类间断点，所以在,内xf不存在原函数，而在点1x处xf连续，故xf的不定积分只能分别在区间0,,0内得到。

综上所述，,1,2,10,3,0,34231xCxxCxxxCxdxxf

因xf在点1x处连续，故xf的原函数在点1x处也连续。于是有

,2limlim3limlim34112311CxxFCxxxFxxxx

即223652134CCC。

综上所述，,1,652,10,3,0,24231xCxxCxxxCxdxxf

其中1C与2C是两个独立的常数。