∴g′(x)＝－x2＋4. 令g′(x)＝0解得x＝－2(舍去)或x＝2， 当0≤x<2时，g′(x)>0， 当2<x≤3时，g′(x)<0，
第三章导数及其应用导数实际应用
故g(x)在[0,2]上是增函数，在[2,3]上是减函 数．
所以当x＝2时，g(x)取最大值，即将2百万 元用于技术改造，1百万元用于广告促销， 该公司由此获得的收益最大．
f(t)＝(－t2＋5t)－t＝－t2＋4t＝－(t－2)2＋4 (0≤t≤3)，
∴当t＝2百万元时，f(t)取得最大值4百万 元．即投入2百万元的广告费时，该公司由 此获得的收益最大．
第三章导数及其应用导数实际应用
(2)设用于技术改造的资金为x(百万元)，则用于广 告促销的资金为(3－x)(百万元)，又设由此获得的收益 是g(x)，则有g(x)＝(－13x3＋x2＋3x)＋[－(3－x)2＋5(3－x)] －3＝－31x3＋4x＋3 (0≤x≤3)，
[例1] 统计表明，某种型号的汽车在匀速行驶
中每小时耗油量y(升)关于行驶速度x(千米/小时)的
函数解析式可以表示为y＝
1 128000
x3－
3 80
x＋
8(0<x≤120)．已知甲、乙两地相距100千米．
(1)当汽车以40千米/小时的速度匀速行驶时，
从甲地到乙地要耗油多少升？
(2)当汽车以多大的速度匀速行驶时，从甲地到
第三章导数及其应用导数实际应用
(3)生活中，经常遇到求利润最大、用料最 省、效率最高等问题，这些问题通常称为优 化问题．在解决实际优化问题中，不仅要注 意将问题中涉及的变量关系用函数关系式给 予表示，还应确定函数关系式中自变量的定 义区间．
第三章导数及其应用导数实际应用
第三章导数及其应用导数实际应用
3V 5π
3 代入①中得h＝r＝
3V 5π
，∴当h＝r＝
3
3V 5π
时
用料最省.
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[例2] 某集团为了获得更大的利益，每年要 投入一定的资金用于广告促销．经调查，每 年投入广告费t(百万元)可增加销售额约为－ t2＋5t(百万元)(0≤t≤5)
(1)若该公司将当年的广告费控制在三百万 元之内，则应投入多少广告费，才能使该公 司由此获得的收益最大？
第三章导数及其应用导数实际应用
某工厂设计一个密闭容器，下部是圆柱体形， 上部是半球形，容积为常数V，当圆柱的底 半径r与高h为何值时，制造这个容器的用料 最省？
第三章导数及其应用导数实际应用
解析：32πr3＋πr2h＝V① ∴43πr2＋2πrh＝2rV，S＝5π3r2＋2rV，
由S′＝103πr－2rV2 ＝0得，r＝ 3
第三章导数及其应用导数实际应用
第三章导数及其应用导数实际应用
当x∈(0,80)时，f ′(x)<0，f(x)是减函数； 当x∈(80,120]时，f ′(x)>0，f(x)是增函数． ∴当x＝80时，f(x)取到极小值f(80)＝11.25(升)． 因为f(x)在(0,120]上只有一个极小值，所以它是 最小值． 答：当汽车以80千米/小时的速度匀速行驶时， 从甲地到乙地耗油最少，最少为11.25升．
第三章导数及其应用导数实际应用
某工厂每天生产某种产品最多不超过40件，并且在
生产过程中产品的正品率P与日产量x(x∈N*)件之间的
关系为P＝
4200－x2 4500
，每生产一件正品盈利4000元，每
出现一件次品亏损2000元．(注：正品率＝产品中的正
品件数÷产品总件数)
(1)将日利润y(元)表示成日产量x(件)的函数；
乙地耗油最少？最少为多少升？
第三章导数及其应用导数实际应用
解析：(1)当x＝40时，汽车从甲地到乙地行驶了 14000＝2.5(小时)，耗油1281000×403－830×40＋8×2.5 ＝17.5(升)．
答：当汽车以40千米/小时的速度匀速行驶时， 从甲地到乙地耗油17.5升．
第三章导数及其应用导数实际应用
第三章导数及其应用导数实际应用
第三章导数及其应用导数实际应用
重点难点 重点：利用导数解决实际问题中的优化问题 难点：如何建立数学模型，借助导数求最值
第三章导数及其应用导数实际应用
知识归纳 利用导数解决实际问题中的最值的一般步骤 (1)分析实际问题中各量之间的关系，找出
实际问题的数学模型，写出实际问题中变量 之间的函数关系式y＝f(x)； (2)求函数的导数f ′(x)，解方程f ′(x)＝0； (3)比较函数在区间端点和极值点的函数值 大小，最大(小)者为最大(小)值．
第三章导数及其Байду номын сангаас用导数实际应用
(2)现该公司准备共投入300万元，分别用于广
告促销和技术改造．经预测，每投入技术改造费
x(百万元)，可增加的销售额约为－
1 3
x3＋x2＋3x(百万
元)．请设计一个资金分配方案，使该公司由此获得
的收益最大？(注：收益＝销售额－投入)．
第三章导数及其应用导数实际应用
解析：(1)设投入t(百万元)的广告费后增加的 收益为f(t)(百万元)，则有
(2)问该厂的日产量为多少件时，日利润最大？并求
出日利润的最大值．
第三章导数及其应用导数实际应用
解析：(1)∵y＝4000×
4200－x2 4500
×x－2000(1－
4240500－0 x2)2·x＝3600x－34x3.
∴所求的函数关系式是y＝－
4 3
x3＋3600x(x∈
N*,1≤x≤40)．
(2)当速度为x千米/小时时，汽车从甲地到乙地行 驶了10x0小时，设耗油量为f(x)升．
依题意得f(x)＝1281000x3－830x＋8·10x 0 ＝12180x2＋80x0－145 (0<x≤120)， f ′(x)＝64x0－8x020＝x63－408x02 3(0<x≤120)． 令f ′(x)＝0，得x＝80.
第三章导数及其应用导数实际应用
误区警示 (1)在求实际问题的最大(小)值时，一定要注
意考虑实际问题的意义，不符合实际意义的 值应舍去． (2)在实际问题中，有时会遇到函数在区间 内只有一个点使f ′(x)＝0的情形，如果函数 在这点有极大(小)值，那么不与端点值比较， 也可以知道这就是最大(小)值．