第三章 导数及其应用
§3.2 导数的应用
内容 索引
知识梳理
要点讲解 深层突破
考点自测
快速解答 自查自纠
知识梳理
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知识梳理
1.函数的单调性
在某个区间(a，b)内，如果f′(x)_>_0，那么函数y＝f(x)在这个区间内单 调递增；如果f′(x)_<__0，那么函数y＝f(x)在这个区间内单调递减. 2.函数的极值
解析 由题意知在x＝－1处f′(－1)＝0，且其左右两侧导数符号为左 负右正.
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解析答案
5.设 1<x<2，则lnxx，(lnxx)2，lnx2x2的大小关系是_____________.(用“<” 连接)
1 2345解析答案 Nhomakorabea返回
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答案
思考辨析
判断下面结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)
(1)若函数f(x)在(a，b)内单调递增，那么一定有f′(x)>0.( × ) (2)如果函数f(x)在某个区间内恒有f′(x)＝0，则f(x)在此区间内没有单
调性.( √ ) (3)函数的极大值不一定比极小值大.( √ ) (4)对可导函数f(x)，f′(x0)＝0是x0点为极值点的充要条件.( × ) (5)函数的最大值不一定是极大值，函数的最小值也不一定是极小
解析答案
2.已知定义在实数集R上的函数f(x)满足f(1)＝3，且f(x)的导数f′(x)在R上 恒有f′(x)<2(x∈R)，则不等式f(x)<2x＋1的解集为_(1_，__＋__∞__)__. 解析 令g(x)＝f(x)－2x－1， ∴g′(x)＝f′(x)－2<0， ∴g(x)在R上为减函数，且g(1)＝f(1)－2－1＝0. 由g(x)<0＝g(1)，得x>1.
值.( √ )
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考点自测
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考点自测
1.函数f(x)＝x2－2ln x的单调递减区间是_(_0_,1_)__. 解析 ∵f′(x)＝2x－2x＝2x＋1xx－1(x>0). ∴当x∈(0,1)时，f′(x)<0，f(x)为减函数； 当x∈(1，＋∞)时，f′(x)>0，f(x)为增函数.
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一般地，当函数f(x)在点x0处连续时， (1)如果在x0附近的左侧_f_′__(x_)_>_0__，右侧_f_′__(x_)_<_0_，那么f(x0)是极大值； (2)如果在x0附近的左侧_f_′__(x_)_<_0_，右侧_f_′__(_x)_>_0_，那么f(x0)是极小值.
答案
3.函数的最值 (1)在闭区间[a，b]上连续的函数f(x)在[a，b]上必有最大值与最小值. (2)若函数f(x)在[a，b]上单调递增，则_f(_a_)_为函数的最小值，_f(_b_)_为函 数的最大值；若函数f(x)在[a，b]上单调递减，则_f_(_a_) 为函数的最大值， _f_(b_)_为函数的最小值.
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解析答案
3.函数f(x)＝x3－3x2＋1在x＝__2__处取得极小值. 解析 由题意知f′(x)＝3x2－6x＝3x(x－2)， 令f′(x)＝0得x＝0或2， 由f′(x)>0得x<0或x>2， 由f′(x)<0得0<x<2. ∴f(x)在x＝2处取得极小值.
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解析答案
4.(教材改编)如图是f(x)的导函数f′(x)的图象，则f(x)的极小值点的个 数为__1_.