2019-2020学年成都市成华区八年级（下）期末数学试卷（考试时间：120分钟满分：150分）A卷（共100分）一．选择题（每小题3分，共30分）1．方程＝1的解是（）A．无解B．x＝﹣1 C．x＝0 D．x＝12．下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（）A．B．C．D．3．不等式3x+6≥0的解集在数轴上表示正确的是（）A．B．C．D．4．矩形具有而平行四边形不一定具有的性质是（）A．对边相等B．对角相等C．对角线相等D．对角线互相平分5．函数y＝中，x的取值范围是（）A．x≠0 B．x＞﹣2 C．x＜﹣2 D．x≠﹣26．分解因式a2b﹣b3结果正确的是（）A．b（a+b）（a﹣b）B．b（a﹣b）2C．b（a2﹣b2）D．b（a+b）27．已知多项式x2﹣4x+m可以分解因式，一个因式是x﹣6，则另一个因式为（）A．x+2 B．x﹣2 C．x+3 D．x﹣38．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD为AB边上的高，CE为AB边上的中线，AD＝2，CE＝5，则CD ＝（）A．2 B．3 C．4 D．29．如图，直线y＝x+b和y＝kx+2与x轴分别交于点A（﹣2，0），点B（3，0），则不等式组的解集为（）A．x＜﹣2 B．x＞3 C．﹣2＜x＜3 D．x＜﹣2或x＞310．如图，在△ABC中，D，E分别是AB，BC的中点，点F在DE延长线上，添加一个条件使四边形ADFC为平行四边形，则这个条件是（）A．∠B＝∠F B．∠B＝∠BCF C．AC＝CF D．AD＝CF二．填空题（每小题4分，共16分）11．分解因式：x2﹣1＝．12．一个多边形的内角和是720°，这个多边形的边数是．13．如图，将△ABC绕点A逆时针旋转50°得△ADE，若∠BAC＝20°，则∠BAE的度数是．14．如图，在矩形ABCD中，按以下步骤作图：①分别以点A和C为圆心，大于AC的长为半轻作弧，两弧相交于点M和点N；②作直线MN交CD于点E，若AD＝2，AB＝6．则线段DE的长为．三．解答题（共54分）15．（8分）（1）分解因式：3a3﹣12a2b+12ab2；（2）化简：÷（1+）．16．（12分）（1）解不等式组：；（2）解方程：﹣1＝．17．（6分）先化简：（x+3﹣）÷，再从不等式组的整数解中选一个合适的x代入求值．18．（8分）如图，将△ABC沿着AC边翻折，得到△ADC，且AB∥CD．（1）求证：四边形ABCD的是菱形；（2）若AC＝8，BC＝5，求四边形ABCD的面积．19．（10分）随着网络电商与快递行业的飞速发展，叠加疫情影响，越来越多的人选择网络购物．在暑期来临之际，天猫超市为了促销，推出了普通会员与VIP会员两种销售方式，普通会员的收费方式是：所购商品的金额不超过300元，客户还需支付快递费20元；如果所购商品的金额超过300元，则所购商品给予8折优惠，并免除20元的快递费，VIP会员的收费方式是：缴纳VIP会员费50元，所购商品给予7.5折优惠，并免除20元的快递费．（1）请分别写出按普通会员、VIP会员购买商品应付的金额y（元）与所购商品的金额x（元）之间的函数关系式；（2）某网民计划在促销活动期间在天猫超市购买x（x＞300）元的商品，则他应该选择哪种购买方式比较合算？20．（10分）如图，线段AB＝4，射线BM⊥AB，P为射线BM上一点（0＜BP＜4），以AP为边作正方形APCD，且点C，D与点B在AP两侧，在线段DP上取一点E，使∠EAP＝∠BAP．连接CE并延长交线段AB于点F．（1）求证：AE＝CE；（2）求证：CF⊥AB；（3）试探究△AEF的周长是否是定值？若是定值，求出△AEF的周长；若不是定值，说明理由．B卷（50分）一．填空题（每小题4分，共20分）21．如果x+y＝5，xy＝2，则x2y+xy2＝．22．如图，菱形ABCD的周长为12，点E，F分别在CD，CB上，CE＝2，CF＝1，点P为对角线BD上一动点，则EP+FP的最小值为．23．关于x的分式方程﹣＝3的解为非负数，则a的取值范围为．24．如图，在平面直角坐标系中，已知点A（4，0），B（0，5）．将△BOA绕点A顺时针方向旋转得△B′O′A，若点B在B′O′的延长线上，则直线BB′的解析式为．25．如图，正方形ABCD的边长为5，点E在CD上，DE＝2，∠BAE的平分线交BC于点F，则CF的长为．二．解答题（共30分）26．（8分）小张去文具店购买作业本，作业本有大、小两种规格，大本作业本的单价比小本作业本贵0.3元，已知用8元购买大本作业本的数量与用5元购买小本作业本的数量相同．（1）求大本作业本与小本作业本每本各多少元？（2）因作业需要，小张要再购买一些作业本，购买小本作业本的数量是大本作业本数量的2倍，总费用不超过15元．则大本作业本最多能购买多少本？27．（10分）如图，已知∠AOB＝60°，在∠AOB的平分线OM上有一点C（不与点O重合）．将一个120°角的顶点与点C重合，它的两条边分别与直线OA，OB相交于点D，E．（1）如图1，当∠DCE绕点C旋转到CD与OA垂直时，求证：OD+OE＝OC；（2）如图2，当∠DCE绕点C旋转到CD与OA不垂直时，（1）中的结论是否还成立？若成立，请证明；若不成立，说明理由；（3）当∠DCE绕点C旋转到CD与OA的反向延长线相交时，线段OD，OE与OC之间又有怎样的数量关系？请直接写出你的结论，不需证明．28．（12分）如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为（﹣2，0），将x轴绕点A逆时针旋转30°得直线l，直线l交y轴于点B，过点B作直线l的垂线交x轴于点C．（1）求直线BC的解析式；（2）线段AB，BC的中点分别是D，E，点F在x轴上，且以点D，E，C，F为顶点的四边形是平行四边形，求点F的坐标；（3）在平面直角坐标系内是否存在两个点，使以这两点及点A，B为顶点的四边形是正方形？若存在，请直接写出所有这两点的坐标；若不存在，请说明理由．参考答案与试题解析一．选择题1．【解答】解：＝1，∴移项可得﹣1＝＝0，∴x＝0，经检验x＝0是方程的根，∴方程的根是x＝0；故选：C．2．【解答】解：A、是轴对称图形，不是中心对称图形．故错误；B、是轴对称图形，也是中心对称图形．故正确；C、不是轴对称图形，是中心对称图形．故错误；D、不是轴对称图形，也不是中心对称图形．故错误．故选：B．3．【解答】解：3x+6≥0，3x≥﹣6，x≥﹣2，故选：A．4．【解答】解：矩形的对角线相等，而平行四边形的对角线不一定相等．故选：C．5．【解答】解：根据题意得：x+2≠0，解得x≠﹣2．故选：D．6．【解答】解：a2b﹣b3＝b（a2﹣b2）＝b（a+b）（a﹣b）．故选：A．7．【解答】解：∵x的多项式x2﹣4x+m分解因式后的一个因式是x﹣6，当x＝6时多项式的值为0，即62﹣4×6+m＝0，∴12+m＝0，∴m＝﹣12．∴x2﹣4x+m＝x2﹣4x﹣12＝（x﹣6）（x+2），即另一个因式是x+2．故选：A．8．【解答】解：∵在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CE为AB边上的中线，CE＝5，∴AE＝CE＝5，∵AD＝2，∴DE＝3，∵CD为AB边上的高，∴在Rt△CDE中，CD＝，故选：C．9．【解答】解：∵直线y＝x+b和y＝kx+2与x轴分别交于点A（﹣2，0），点B（3，0），∴解集为﹣2＜x＜3，故选：C．10．【解答】解：∵在△ABC中，D，E分别是AB，BC的中点，∴DE是△ABC的中位线，∴DE AC．A、根据∠B＝∠F不能判定AC∥DF，即不能判定四边形ADFC为平行四边形，故本选项错误．B、根据∠B＝∠BCF可以判定CF∥AB，即CF∥AD，由“两组对边分别平行的四边形是平行四边形”得到四边形ADFC为平行四边形，故本选项正确．C、根据AC＝CF不能判定AC∥DF，即不能判定四边形ADFC为平行四边形，故本选项错误．D、根据AD＝CF，FD∥AC不能判定四边形ADFC为平行四边形，故本选项错误．故选：B．二．填空题11．【解答】解：x2﹣1＝（x+1）（x﹣1）．故答案为：（x+1）（x﹣1）．12．【解答】解：∵多边形的内角和公式为（n﹣2）•180°，∴（n﹣2）×180°＝720°，解得n＝6，∴这个多边形的边数是6．故答案为：6．13．【解答】解：由题意可得，∠CAE＝50°，∵∠BAC＝20°，∴∠BAE＝∠CAE﹣∠BAC＝50°﹣20°＝30°，故答案为：30°．14．【解答】解：如图，连接AE，根据作图过程可知；MN是AC的垂直平分线，∴AE＝CE，∵四边形ABCD是矩形，∴∠D＝90°，DC＝AB＝6，∴CE＝CD﹣DE＝6﹣DE＝AE，在Rt△ADE中，根据勾股定理，得AD2+DE2＝AE2，即22+DE2＝（6﹣DE）2，解得DE＝．故答案为：．三．解答题15．【解答】解：（1）原式＝3a（a2﹣4ab+4b2）＝3a（a﹣2b）2；（2）原式＝÷＝×＝．16．【解答】解：（1）由6x﹣2＞2（x﹣4），解得：x＞﹣，两边同乘以6，得4﹣2（3﹣x）≤﹣2x，解得：x≤1，所以不等式组得解集为：；（2）原方程可化为：，得，两边同时乘以（x+2）（x﹣2），得﹣4（x﹣2）＝16，解得x＝﹣2；把x＝﹣2代入（x+2）（x﹣2）＝0，所以原分式方程无解．17．【解答】解：原式＝•＝•＝，解不等式组，得0≤x≤4，∴其整数解为0，1，2，3，4．∵要使原分式有意义，∴x可取2．∴当x＝2 时，原式＝＝．18．【解答】解：（1）由翻折的性质可知：AD＝AB，BC＝DC，∠BAC＝∠DAC，∵AB∥CD，∴∠BAC＝∠DCA，∴∠DAC＝∠DCA，∴AD＝DC，∴AB＝AD＝DC＝BC，∴四边形ABCD为菱形；（2）连接BD，交AC于点O．∵四边形ABCD为菱形，AC＝8，BC＝5，∴AC⊥BD，OC＝AC＝4，BD＝2OB，∴，∴BD＝2OB＝6，∴，即四边形ABCD的面积为24．19．【解答】解：（1）按普通会员购买商品应付的金额y＝；按VIP会员购买商品应付的金额y＝0.75x+50．（2）当0.8x＜0.75x+50时，x＜1000；当0.8x＝0.75x+50时，x＝1000；当0.8x＞0.75x+50时，x＞1000．答：当300＜x＜1000时，选择按普通会员购买比较合算；当x＝1000时，选择两种方式所需费用相同；当x＞1000时，选择按VIP会员购买比较合算．20．【解答】解：（1）证明：∵四边形APCD正方形，∴DP平分∠APC，PC＝PA，∴∠APD＝∠CPD＝45°，∴△AEP≌△CEP（SAS），∴AE＝CE；（2）CF⊥AB，理由如下：∵△AEP≌△CEP，∴∠EAP＝∠ECP，∵∠EAP＝∠BAP，∴∠BAP＝∠FCP，∵∠FCP+∠CHP＝90°，∠AHF＝∠CHP，∴∠AHF+∠PAB＝90°，∴∠AFH＝90°，∴CF⊥AB；（3）△AEF的周长是定值，△AEF的周长为8．过点C作CN⊥PB于点N．∵CF⊥AB，BM⊥AB，∴FC∥BN，∴∠CPN＝∠PCF＝∠EAP＝∠PAB，又AP＝CP，∴△PCN≌△APB（AAS），∴CN＝PB＝BF，PN＝AB，∵△AEP≌△CEP，∴AE＝CE，∴△AEF的周长＝AE+EF+AF，＝CE+EF+AF，＝BN+AF，＝PN+PB+AF，＝AB+CN+AF，＝AB+BF+AF，＝2AB，＝8．一．填空题21．【解答】解：∵x+y＝5，xy＝2，∴x2y+xy2＝xy（x+y）＝2×5＝10．故答案为：10．22．【解答】解：作F点关于BD的对称点F′，连接EF′交BD于点P，则PF＝PF′．∴EP+FP＝EP+F′P．由两点之间线段最短可知：当E、P、F′在一条直线上时，EP+FP的值最小，此时EP+FP＝EP+F′P＝EF′．∵四边形ABCD为菱形，周长为12，∴AB＝BC＝CD＝DA＝3，AB∥CD，∵CE＝2，CF＝1，∴CF＝AF′＝DE＝1，∴四边形AF′ED是平行四边形，∴EF′＝AD＝3．∴EP+FP的最小值为3．故答案为：3．23．【解答】解：﹣＝3，方程两边同乘以x﹣1，得2x﹣a+1＝3（x﹣1），去括号，得2x﹣a+1＝3x﹣3，移项及合并同类项，得x＝4﹣a，∵关于x的分式方程﹣＝3的解为非负数，x﹣1≠0，∴，解得，a≤4且a≠3，故答案为：a≤4且a≠3．24．【解答】解：连接OO′交AB于M，∵△BOA绕点A按顺时针方向旋转得△B′O′A，∴△BOA≌△B′O′A，∴AB＝AB′，OA＝AO′，∵点B在B′O′的延长线上，AO′⊥BC，∴BO′＝B′O′＝OB，∵OA＝AO′，BO＝B′O′＝BO′，∴OO′⊥AB，设直线AB解析式为y＝kx+b，把A与B坐标代入得：，解得：，∴直线AB解析式为y＝﹣x+5，∴直线OO′解析式为y＝x，联立得：，解得：，即M（，），∵M为线段OO′的中点，∴O′（，），设直线B′O′解析式为y＝mx+n，把B与O′坐标代入得：，解得：m＝﹣，n＝4，则直线CD解析式为y＝﹣x+5．故答案为：y＝﹣+5．25．【解答】解：延长CD到N，使DN＝BF，连接AN，如图所示：∵四边形ABCD是正方形，∴AB＝AD，∠BAD＝∠ABF＝∠ADN＝90°，在△ABF和△ADN中，，∴△ABF≌△ADN（SAS），∴∠BAF＝∠DAN，∴∠NAF＝90°，∴∠EAN＝90°﹣∠FAE，∠N＝90°﹣∠DAN＝90°﹣∠BAF，∵∠BAF＝∠FAE，∴∠EAN＝∠N，∴AE＝EN，∵，∴，∴，∴，故答案为：7﹣．二、解答题26．【解答】解：（1）设小本作业本每本x元，则大本作业本每本（x+0.3）元，依题意，得：＝，解得：x＝0.5，经检验，x＝0.5是原方程的解，且符合题意，∴x+0.3＝0.8．答：大本作业本每本0.8元，小本作业本每本0.5元．（2）设大本作业本购买m本，则小本作业本购买2m本，依题意，得：0.8m+0.5×2m≤15，解得：m≤．∵m为正整数，∴m的最大值为8．答：大本作业本最多能购买8本．27．【解答】解：（1）∵OM是∠AOB的角平分线，∴∠AOC＝∠BOC＝∠AOB＝30°，∵CD⊥OA，∴∠ODC＝90°，∴∠OCD＝60°，∴∠OCE＝∠DCE﹣∠OCD＝60°，在Rt△OCD中，OD＝OC•cos30°＝OC，同理：OE＝OC，∴OD+OE＝OC；（2）（1）中结论仍然成立，理由：如图2，过点C作CF⊥OA于F，CG⊥OB于G，∴∠OFC＝∠OGC＝90°，∵∠AOB＝60°，∴∠FCG＝120°，同（1）的方法得，OF＝OC，OG＝OC，∴OF+OG＝OC，∵CF⊥OA，CG⊥OB，且点C是∠AOB的平分线OM上一点，∴CF＝CG，∵∠DCE＝120°，∠FCG＝120°，∴∠DCF＝∠ECG，∴△CFD≌△CGE（ASA），∴DF＝EG，∴OF＝OD+DF＝OD+EG，OG＝OE﹣EG，∴OF+OG＝OD+EG+OE﹣EG＝OD+OE，∴OD+OE＝OC；（3）结论为：OE﹣OD＝OC，理由：如图3，过点C作CF⊥OA于F，CG⊥OB于G，∴∠OFC＝∠OGC＝90°，∵∠AOB＝60°，∴∠FCG＝120°，同（1）的方法得，OF＝OC，OG＝OC，∴OF+OG＝OC，∵CF⊥OA，CG⊥OB，且点C是∠AOB的平分线OM上一点，∴CF＝CG，∵∠DCE＝120°，∠FCG＝120°，∴∠DCF＝∠ECG，∴△CFD≌△CGE（ASA），∴DF＝EG，∴OF＝DF﹣OD＝EG﹣OD，OG＝OE﹣EG，∴OF+OG＝EG﹣OD+OE﹣EG＝OE﹣OD，∴OE﹣OD＝OC．28．【解答】解：（1）如图1，∵点A的坐标为（﹣2，0），∴OA＝2，由旋转得：∠BAO＝30°，Rt△ABO中，∴OB＝2，AB＝4，∴B（0，2），∵AB⊥BC，∴∠ABC＝90°，∴BC＝，AC＝2BC＝，∴OC＝﹣2＝，∴C（，0），设直线BC的解析式为：y＝kx+b，则，解得：，∴直线BC的解析式为：y＝﹣x+2；（2）分两种情况：①如图2，四边形DECF是平行四边形，∵A（﹣2，0），B（0，2），∴AB的中点D（﹣，1），同理得BC的中点E（，1），∵C（，0），∴F（﹣，0）；②如图3，四边形DEFC是平行四边形，同理得：F（2，0）；综上，点F的坐标为（﹣，0）或（2，0）；（3）在平面直角坐标系内存在两个点，使以这两点及点A，B为顶点的四边形是正方形，有两种情况：①如图4，AB为边，存在正方形ABNM和正方形ABPQ，过M作MG⊥x轴于G，∵∠MAB＝90°＝∠MAG+∠BAO＝∠BAO+∠ABO，∴∠ABO＝∠MAG，∵∠AGM＝∠AOB＝90°，AM＝AB，∴△MGA≌△AOB（AAS），∴MG＝AO＝2，AG＝OB＝2，∴M（﹣2﹣2，2），同理得N（﹣2，2+2），P（2，2﹣2），Q（2﹣2，﹣2），②如图5，AB为正方形的对角线，过点P作MN∥x轴交y轴于N，过A作AM⊥MN于M，∵AB＝4，四边形APBQ是正方形，∴AP＝BP＝2，∵∠AMP＝∠BNP＝90°，∠PAM＝∠BPN，∴△AMP≌△PNB（AAS），∴PN＝AM＝ON，设PN＝m，则BN＝2+m，Rt△BPN中，由勾股定理得：PB2＝PN2+BN2，∴（2）2＝m2+（2+m）2，∴（m+1）2＝3，解得：m1＝﹣1，m2＝﹣﹣1（舍），∴P（1﹣，1﹣），同理得：Q（﹣1﹣，1+）；综上，这两点的坐标为（﹣2﹣2，2），（﹣2，2+2）或（2，2﹣2），（2﹣2，﹣2）或（1﹣，1﹣），（﹣1﹣，1+）。