1 3 又（1） E ( X + Y ) = E ( X ) + E (Y ) = + 1 = . 2 2
1 1 1 （2） E ( X 2Y ) = E ( X 2 ) ⋅ E (Y ) = ò x2 dx ⋅ E (Y ) = ´1 = . 0 3 3
（3） E (2 X - 3Y 2 ) = 2 E ( X ) - 3 E (Y 2 )
D
=ò
1
0
ò
x
-x
xydydx
x -x
1 x = ò ( y2 ) 0 2 =0.
dx
（2） E ( X ) = òò xdxdy
D
=ò
1
0 1
ò
x
-x
xdydx
= ò 2 x2 dx
0
2 = ( x3 ) 3 2 = . 3
1 0
（3） E (-3 X 2 - 5Y ) = -3 E ( X 2 ) - 5 E (Y ) . 已知 E ( X 2 ) = ò
（3） XY 的可能值为-3,-2,-1,0,1,2,3. \
E(XY) =(-3)´0+(-2)´01 . +(-1)´02 . +0´04 . +1´01 . +2´01 . +3´01 . =-04 . +01 . +02 . +03 . =02 ..
（4） E éëê ( X - Y )2 ùûú = E ( X 2 - 2 XY + Y 2 )
Y 1 1 E( )=0´PY ( =0)+1´P(X =1,Y =1)+ ´P(X =2,Y =1)+ ´P(X =3,Y =1) X 2 3
1 1 = 0.125 + 0.25´ + ´ 0.125 2 3 1 1 1 = + + 8 8 24 6 +1 = 24 7 = . 24
解： （1） E ( X ) = ò
= ò ( x3
0
1
y 2 x2 3 2 + y ) 0 dx 2 9
1 8 = ò (2 x 3 + x2 )dx 0 9 2 4 8 3 1 =( x + x ) 0 4 27 1 8 = + 2 27 27 + 16 = 54 43 . = 54
13、解： E ( X ) = ò x ⋅ 4 x(1 - x2 )dx
解：记 X 表示“取到合格品前已扔掉的废品数” ， X 可取 0,1,2,3.由题意知：
P ( X = 0) =
9 9 3 = = , 9 + 3 12 4
3´9 9 , = 12´11 44 3 ´2 ´ 9 9 , P ( X = 2) = = 12´11´10 220 3! ´9 1 . P ( X = 3) = = 12´11´10´9 220 3 9 9 1 所以 E ( X ) = 0´ + 1´ + 2´ + 3´ = 0.3 4 44 220 220 故所求数学期望为 0.3 . P ( X = 1) =
习题四
1.设一盒子中有 5 个球，其中 2 个是红球，3 个是黑球，从中任意抽取 3 个球.令随机 变量 X 表示抽取到的白球数，求 E ( X ) .
解：由题设知 X 可取 0,1,2,三个值，其中
P ( X = 0) =
1 2 1 = = , 3 C5 5´ 4 10
1 2 C2 C3 6 3 = = , 3 10 5 C5 2 1 C2 C3 3 = . 3 C5 10
0.1 0 0.3
0.1 0.1 0.1
2
2
3
2
求（1） E ( X ) ； （2） E ( X ) ； （3） E ( XY ) ； （4） E[( X Y ) ]
解： （1）易得 X 的分布律为
\ E ( X ) = 1´ 0.4 + 2´ 0.2 + 3´ 0.4 = 2 ,
E ( X 2 ) = 1´ 0.4 + 4 ´ 0.2 + 9´ 0.4 = 0.4 + 0.8 + 3.6 = 4.8 .
= E ( X 2 ) - 2 E ( XY ) + E (Y 2 )
= 4 .8 - 2 ´ 0 .2 + 0 .6 = 5.
11．已知随机变量 X 和 Y 相互独立，且各自的分布律为
X p
1
2
3 0.25
Y p
0 0.5
1
0.25
0.5
0.5
求（1） E ( X ) ； （2） E ( XY ) ； （3） E (
解： （1）由分布律性质得： 0 .4 + 0 .2 + c = 1 c = 0 .4 . （2） E ( X ) = -1´ 0.4 + 0´ 0.2 + 1´ 0.4 = 0 . （3） E ( X 2 ) = (-1)2 ´ 0.4 + 0´ 0.2 + 1´ 0.4 = 0.8 . （4） E (3 X 3 - 3 X 2 + 1) = 3 E ( X 3 ) - 3 E ( X 2 ) + 1 = 3´ 0 - 3´ 0.8 + 1 = -1.4 .
1 0 1
ò
x
-x
x2 dydx
= ò 2 x 3 dx
0
x4 =( ) 2
1 0
1 = , 2
E (Y ) = ò
3．一台设备由三大部件构成，在设备运转的过程中各部件需要维护的概率分别为 0.1， 0.2，0.3.假设各部件的状态都是相互独立的，以 X 表示同时需要调整的部件数，求 E ( X ) .
ì ï1, 解：记 X i = ï í i = 1, 2, 3. X i = 1 表示第 i 个部件需维护， X i = 0 表示第 i 个部件 ï ï î0,
则 E (Y ) = 1´ P( X > 0) + 0´ P( X = 0) + (-1)´ P( X < -1)
2 1 1 = - = . 3 3 3 8.设随机变量 X 的概率密度为
3 2 x , 0 x 2, f ( x) 8 其他， 0,
1 2 （2） E ( X ) . )； X 解：由期望性质得： 21 3 1 E ( ) = ò ⋅ x2 dx 0 x 8 X 3 = ( x2 ) 2 0 16 3 = ´4 16 3 = . 4
求（1） E (
0， 9．已知 X 的分布函数为 F ( x ) x 2 , 0,
1 2 （2） E (3 X 4) . 0 x 1, 求（1） E ( ) ； X x 1，
x 0,
解：由 F ( x) 可得 X 的密度函数为
ì2 x, 0 £ x £ 1, ï f ( x) = ï í ï ï î0, 其他.
+¥ 1 = 2´ - 3´ ò y 2 ⋅ e- y dy 0 2
= 1 + 3ò
+¥
0
y 2 de- y
+¥ 0
é = 1 + 3 ê ( y 2 e- y ) ëê
-ò
+¥
0
ù e- y 2 ydy ú ûú
+¥ é ù = 1 + 3 ê0 + 2ò yde- y ú 0 ëê ûú
é = 1 + 6 ê ( y ⋅ e- y ) êë
+¥
-¥
f ( x) = 1 ，即 ò xdx + ò (2 - x)dx = 1
0 1
1
a
1 x2 a 1 a2 1 + (2 x - ) 1 = + 2a - - 2 + = 1 2 2 2 2 2 a2 + 2a - 2 = 0 , 2
2
解得： a = 2 . 进而得： E ( X ) = ò x ⋅ f ( x)dx
xy )dydx 3
= ò ( x4 y +
0
x3 y2 2 ) 0 dx 6
1 2 = ò (2 x 4 + x 3 )dx 0 3 2 2 ( x5 x 4 ) 1 0 5 12 2 1 = + 5 6 17 . = 30 1 2 xy （3） E ( XY ) = ò ò xy ⋅ ( x2 + )dydx 0 0 3
1, 若X 0, 7．设随机变量 X 在区间 [ 1, 2] 上服从均匀分布，令随机变量 Y 0, 若X 0, 1, 若X 0,
求 E( X ) .
解：由于 X U (-1, 2) ，故易知：
1 2 1 1 P ( X > 0) = ´2 = , P( X = 0) = 0 , P ( X < 0) = ´1 = . 3 3 3 3
0
1
4 4 = ( x 3 - x5 ) 3 5
1 0
4 4 = 3 5 20 - 12 = 15 8 = . 15 X ， Y 独立，则
E ( XY ) = E ( X ) ⋅ E (Y ) =
14、解：由已知条件，可得： 1 E ( X ) = , E (Y ) = 1 . 2
1 8 8 4 y 4 1 32 ´ ò 4 y 4 dy = ´ ( ) 0= . 0 15 15 5 75
P ( X = 1) =
P ( X = 2) =
所以 E ( X ) = 0´
1 3 3 6+6 + 1´ + 2´ = = 1.2 . 10 5 10 10
2．一批产品中有 9 个合格品和 3 个废品.装配仪器时，从这批零件中任取一个，如果取 出的是废品，则扔掉后重新任取一个.求在取到合格品钱已经扔掉的废品数的数学期望.