华东理工大学线性代数 作业簿（第八册）学 院____________专 业____________班 级____________学 号____________姓 名____________任课教师____________6.1 二次型及其标准型1. 填空题(1)设三阶矩阵A 的行列式为0,且有两个特征值为1，1-，矩阵A 与B 合同,B 与C 合同,则矩阵C 是_____阶矩阵,其秩_____)(=C r .解：三，2.(2) 设n 阶矩阵A 与正交阵B 合同，则_____)(=A r . 解：n . 因B 为正交阵，故B 可逆.A 与B 合同即存在可逆矩阵C ，使得B AC C =T ，故)()(B r A r ==n .(3)二次型211221)(),,,(∑∑==-=⋅⋅⋅ni i ni i n x x n x x x f , 则此二次型的矩阵=A , 二次型的秩为______, 二次型的正交变换标准型为________________.解：⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡---------1 (11)...1...111...11n n n ，1-n ，222121,n ny ny ny -++⋅⋅⋅+ 提示：二次型的秩就是二次型的矩阵的秩，也是其标准型中非零项的个数（注：标准型不唯一）. 因此求二次型的秩有两种方法：1) 直接求二次型的矩阵A 的秩，2）先求A 的特征值，A 有几个非零特征值（重根按重数计算），二次型的秩就是几.(4) 二次型,)(T Ax x x f = 其中A A ≠T ，则二次型的矩阵为_____ ____.解：)(21T A A +. 提示：A 不是二次型的矩阵，因A 不是对称阵。

注意到Ax x x f T )(=的值是一个数，即)()(T x f x f =，故有x A A x x f x f x f )(21)]()([21)(T T +=+=. 而)(21T A A +为对称阵.(5) 设n 元(n >2)实二次型()T f x x Ax = )(T A A =其中的正交变换标准型为22212y y -，则=A ______，矩阵A 的迹为 _____.解：0, 1-. 提示：A 的特征值为11,λ=22,λ=-30n λλ=⋅⋅⋅==，根据A A tr ni ini i ==∏∑==11),(λλ 易得.(6) 如果二次型2221231231213(,,)5526f x x x x x cx x x x x =++-+ 236x x - 的秩为2，则参数c = _____，1),,(321=x x x f 表示的曲面为__________.解：3, 椭圆柱面. 提示：二次型的矩阵33⨯A 的秩为2，故0||=A ，由此可求得c = 3. 再求出A 的特征值为9,4,0321===λλλ，即标准型为232294y y f +=，由此知1),,(321=x x x f 为椭圆柱面.2. 已知二次型322322213212332),,(x ax x x x x x x f +++=（0a >） 通过正交变换化成标准型23222152y y y f ++=，求a 的值及所用的正交变换矩阵Q .解：二次型的矩阵为⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=3030002a a A ，)9(22a A -=，由123A λλλ=即10)9(22=-a 得 2=a .A 有三个不同的特征值1,2,5,故对应这三个特征值的特征向量线性无关。

分别求出对应的特征向量T 1]1,1,0[-=ξ,T 2]0,0,1[=ξ,T 3]1,1,0[=ξ并把它们单位化，得正交变换矩阵为01000Q ⎡⎤⎢⎥⎢=⎢⎢⎢⎢⎣.3. 已知二次曲面方程 4222222=+++++yz xz bxy z ay x 可以通过正交变换x y P z ξηζ⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦化为椭圆柱面2244ηζ+=. 求a ,b 的值和正交矩阵Q .解: 由111111b A b a ⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦与⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=410B 相似，故()()t rAt r B ==，A B ==0，进而得1,3==b a . 代入后分别求出A 的线性无关的特征向量T 1]1,0,1[-=ξ, T 2]1,1,1[-=ξ,T 3]1,2,1[=ξ, 显然他们两两正交，把它们单位化，可得正交变换矩阵为Q ⎢=⎢⎢.6.2 正定二次型与正定矩阵1. 选择题(1) 设矩阵211300121,000112002A B --⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥=--=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥--⎣⎦⎣⎦，则A 与B （ ）. (A) 合同，但不相似； (B) 合同，且相似；(C) 不合同，也不相似； (D) 不合同，但相似.解：A .(2) 下列二次型中，正定的二次型是 ( ).()()()()()()()()()()2221231213231223312221242343422212323232263C 22D 2.f x x x x x x x x x f x x x x x x f x x x x x x x x f x x x x x x x A =-+-+-B =++=-++-++-=+-+-++；；；解：D.(3) 设n 阶方阵B A ,都正定，则下述选项不正确的是（ ）.(A) B A +正定；(B) AB 正定； (C) A B ⎡⎤⎢⎥⎣⎦正定；(D) 1*-+B A 正定.解：B . AB 未必对称，故不正定.(4) 与“实二次型Ax x x f T )(= （其中A A =T ）是正定的”等价的选项是（ ）.(A) 对任意x ，恒有0)(>x f ；(B) 二次型的负惯性指数为零； (C) 存在可逆阵P ，使得P P A T=； (D) A 的特征值均不小于零.解：C .(5)若用A O <表示A 为负定矩阵，则下述选项正确的是 ( ). (A) 若A O <，则 A <0;(B) 若A O <，则A 的顺序主子式均小于零;(C) 若A O <，则对任意与A 同阶的可逆阵C 都有AC C T O <; (D) 若12...n A A A +++O <，则其中至少有一个i A O <.解：C . 提示：事实上, AC C T O <等价于0T T <=A C x C x f)0(≠∀x , 即 0T <Ay y )0(≠∀y ，等价于A O <.2. 填空题(1) 二次型2221231231213(,,)5524f x x x x x x x x x x =+++-在正交变换下的标准型为f =；而它在非正交变换52102001x y ⎤⎥⎢⎥=-⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦下的结果是 .解：都是222123123(,,)560f x x x y y y =++.(2) 设322123222132122),,(x tx x x x x x x x x f ++++=是正定二次型，则t 的取值范围是__________.解：22<<-t . 提示：根据二次型矩阵的各阶顺序主子式大于零求解.(3) 设A 为一个三阶矩阵，其特征值为-1，-1，2，则当k 满足______条件时，3()()T f x x A kI x =+为正定二次型, 此时的规范型为_____________.解：1>k ,232221x x x ++. 提示：由A 的特征值为-1，-1，2知3()A kI +的特征值为,)2(,)1(,)1(333k k k ++-+- 又3()()T f x x A kI x =+为正定二次型，其特征值必须全部都大于零，故得1>k .3. 设二次型Ax x x f T )(=经正交变换Py x =可化为标准型2222211n n y y y λλλ+⋅⋅⋅++，证明：二次型)()(T T R k x kx Ax x x g ∈+=经相同的正交变换Py x =可化为标准型2222211)()()(n n y k y k y k ++⋅⋅⋅++++λλλ．证：()()()()()T T g x Py A Py k Py Py =+ ＝y P P ky y AP P y )()(T T T T +＝（2222211n n y y y λλλ+⋅⋅⋅++）＋（22221n ky ky ky +⋅⋅⋅++） ＝2222211)()()(n n y k y k y k ++⋅⋅⋅++++λλλ．4. 设二次型 2221231231213(,,)44f x x x tx tx tx x x x x =++--234x x +，试用正交变换化f 为标准型，并讨论当t 取何值时f 为负定二次型．解：根据第3题的结论，我们只需先求出二次型323121444x x x x x x g +--=的正交变换矩阵及其标准型。

经计算得二次型g 的矩阵的特征值为-2,-2,4. 对应的线性无关的特征向量为T T T ]1,1,1[,]1,0,1[,]0,1,1[-. 经施密特正交化，单位化可得所求的正交变换矩阵为 0P ⎡-⎢=-⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦, 而g 在正交变换下的标准型为232221422y y y g +--=． 故有：323121232221321444),,(x x x x x x tx tx tx x x x f +--++=在正交变换Py x =下的标准型为232221)4()2()2(y t y t y t ++-+-．二次型f 为负定二次型，即20t -<, 40t +<,故有4t <-（也可用顺序主子式来解）.5. 设矩阵A 为任意n 阶的实对称阵，试分别确定实数t 的取值范围，使得tI A +是 1)正定矩阵；2)负定矩阵；3)不定矩阵；4)不可逆矩阵．解: 因A 为n 阶实对称矩阵,故一定存在正交矩阵P ,使 得:),,,(21n T diag AP P λλλ =,其中),,2,1(21n i n =≤≤≤λλλ为矩阵A 的特征值. 于是有:),,,()(21n T t t t diag P A tI P λλλ+++=+ , 故:1) 当 1λ->t 时, A tI +为正定矩阵； 2) 当 n t λ-<时, A tI +为负定矩阵； 3) 当 1λλ-<<-t n 时, A tI +为不定矩阵； 4) 当 },,,{21n t λλλ---∈ 时, A tI +为不可逆矩阵.6. 设A 为n 阶实对称阵，试证：如果A 是正定阵又是正交矩阵，则I A =.证:（证法一）因为A 为n 阶实对称阵，故存在可逆阵P ，使()n diag AP P λλλ,,,211 =-，其中n λλλ,,,21 是A 的特征值. 因为A 正定且正交，所以()01,2,,i i n λ>=，且1iλ为1-A 也即A T 的特征值；由于1-A 的属于1iλ的特征向量与A 的属于i λ的特征向量相同，故有1112111,,,n P A P diag λλλ--⎡⎤=⎢⎥⎣⎦. 又由AP P P A P P A P T 1111----==可得1212111(,,,),,,n n diag diag λλλλλλ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦. 所以()11,2,,i ii n λλ==，由0i λ>得()11,2,,i i n λ==. 即I AP P =-1，故I PIP A ==-1.（证法二） 由T AA I =及T A A =，得I A =2，即()()A I A I O +-=，因为A 正定，所以－1不是A 的特征值，即0≠+I A ，所以I A +可逆，从而A I O -=，即I A =.7. n 阶实对称矩阵A ，B 均为正定矩阵，试证明：乘积矩阵AB 正定的充分必要条件是A ，B 可交换.证：“必要性”显然；“充分性” 由题设，知T A A =，T B B =；再由AB BA =，可知T T T ()AB B A BA AB ===，故AB 是对称矩阵.由正定矩阵的判别定理知，存在可逆矩阵C ，D ，使成立T=，TA C C=B D D于是T=TAB C CD D，进而成立T1T T T T T T-==()()()()C AB C CD DC DC DC由C，D均可逆，知矩阵T T T()()DC DC正定，故而其特征值全大于零. 结合它相似于AB，即知AB的特征值全大于零.综合即得，AB正定.。