华东理工大学线性代数 作业簿（第六册）学 院____________专 业____________班 级____________学 号____________姓 名____________任课教师____________4.3 向量空间1．设*A 为6阶方阵A 的伴随矩阵，则当A 的秩为2时，齐次线性方程组0A x *=的解空间的维数为______,而当A 的秩为5时，齐次线性方程组0A x *=的解空间的维数为 . 解：6；5.2. 设*A 为n (2)n >阶方阵A 的伴随矩阵，设对任意的n 维向量x 均有*0A x =,则齐次方程组0=Ax 的基础解系中所含向量个数k满足( )(A) k n = ； (B) 1k =； (C) 0k =； (D) 1k >. 解：D.3.设A 为n 阶矩阵，若3)(-=n A r ，且321,,ααα为0=Ax 的三个线性无关的解向量，则下列各组中为0=Ax 的基础解系是（ ）. (A)133221,,αααααα--- ； (B) 323123,,αααααα--+； (C) 12220,,ααα+； (D) 123132,,αααα+-. 解：B.4. 设 1V = []123123,,0,,1,2,3Ti x x x x x x x x R i ⎫⎧⎪=++=∈=⎨⎬⎪⎩⎭，2V = []123123,,1,,1,2,3T i x x x x x x x x R i ⎫⎧⎪=++=-∈=⎨⎬⎪⎩⎭,问R 3的这两个子集，对R 3的线性运算是否构成向量空间，为什么？ 解：按向量空间理论，只需验证每个子集对3R 的线性运算是否满足封闭性.先看1V ，[]Tx x x x 321,,=∀，[]Ty y y y 321,,=∈1V ，及常数k ，有[]Ty x y x y x y x 332211,,+++=+及00)()()()()(321321332211=+=+++++=+++++y y y x x x y x y x y x 即对加法满足封闭性；而[]Tkx kx kx kx 321,,=，及)(321321x x x k kx kx kx ++=++=0亦即对数乘满足封闭性，故1V 构成向量空间.再看2V ，2,V y x ∈∀，有[]Ty x y x y x y x 332211,,+++=+，但112233123123()()()()()112x y x y x y x x x y y y +++++=+++++=--=-即2V y x ∉+，亦即对加法不满足封闭性，故2V 不构成向量空间.5．试求由1α，2α，3α生成的向量空间V =span （1α，2α，3α）的一个基及V 的维数dim V ，其中[]11,2,3,0Tα=-，[]21,1,5,2Tα=--，[]30,1,2,2Tα=-.解：由于V 是向量组321,,ααα的生成子空间，故V 的基及维数完全等价于向量组321,,ααα的最大无关组及秩.由[]123110110110110231011011011,,~~~35235202200002202202200ααα----⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥----⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥-----⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥---⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦知可取21,αα为V 的一个基，且dim V =2.6. 已知一个四维向量组[]11,3,2,1Tα=-，[]20,1,5,2Tα=-，[]33,8,1,5Tα=-，[]41,6,17,5Tα=--，（1）求1α，2α，3α，4α的一个最大无关组及秩；（2）将其余向量用这个最大无关组来线性表示；解：构造矩阵[]4321,,,αααα并进行初等行变换，由[]4321,,,αααα=103110311031318601130113~~251170551500001255022600⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥----⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥----⎢⎥⎢⎥⎢⎥--⎣⎦⎣⎦⎣⎦知（1） 秩为2，可取21,αα为一个最大无关组；（2） 由初等行变换的结果矩阵103101130000000⎛⎫ ⎪-⎪ ⎪ ⎪⎝⎭，知3124123,3αααααα=+=-.7. 求下列齐次线性方程组的基础解系（1）123413412313424300307730x x x x x x x x x x x x x -+-=⎧⎪+-=⎪⎨++=⎪⎪+-=⎩；（2）02)1(121=+++-+-n n x x x n nx .解：（1）由2143101010110120~3110000177300A --⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥--⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦即()r A =3<4，知方程组有非零解，且基础解系中含有4-()r A =1个线性无关解向量.解为1323420x x x x x =-⎧⎪=⎨⎪=⎩,即知基础解系为[]1,2,1,0T ξ=-.解：（2）显然方程组有非零解，且基础解系中含1n -个线性无关解向量，由解为1212)1(------=n n x x n nx x ，即知基础解系为⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡-=⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡-=⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡-=-21000,,10010,0001121 n n n ηηη.8. 设A 是n 阶方阵，试证)()(1+=n n A r A r .证：我们通过证明001==+x A x A n n 与是同解方程组来说明问题.显然，0n A x =的解都是10n A x +=的解，下证10n A x +=的解x 是0nA x =的解.否则，若0≠x A n ，考虑向量组21,,,,n x Ax A x Ax - ,nA x ,若0112210=+++++--x A k x A k x A k Ax k x k n n n n （*） 在上式两边左乘n A ，利用1220,n n n A x A x A x ++==== 得00nk A x =，而0≠x A n，故必有0k =0，此时，（*）式变为011221=++++--x A k x Ak x A k Ax k nn n n ，再用x A n 1-左乘上式两端，必得01=k ，依次类推，最终必有01210======-n n k k k k k ，这说明n +1个向量2,,,x Ax A x ,1,n nAx A x -是线性无关的，而这显然与“n +1个n 维向量必线性相关”矛盾，故说明假设错误，即只有0=x A n .综合上述，知001==+x A x A n n 与同解，进而有)()(1+=n n A r A r . 4.4线性方程组解的结构1．填空题(1) 已知非齐次线性方程组b Ax =有通解表达式[][]2,3,6,50,5,5,3,(),TTx t t R =-+∈则()=A r .解：3.(2) 设A 是3阶方阵, ()2r A =,且A 中每行元素之和均为零,则齐次线性方程组0A x =的通解为 . 解：(),,,Tx c c c c R =∈.(3) 已知123,,ξξξ为非齐次线性方程组的三个解，又()123,0,1T ξξ+=,()32,1,0ξ=-且()2r A =，则A x b =的通解为 . 解：()()1,2,12,1,0,TTx c c R =--+-∈. 2.设123,,ααα为A x b =的解，则（ ）是0A x =的解. （A ）123ααα++；（B ）123235ααα+-； （C ）123ααα+-；（D ）123ααα--.解：B.3．已知非齐次线性方程组系数矩阵的秩为2，又已知该非齐次线性方程组的三个解向量为[]11,1,2,3Tx =--，[]23,2,0,4Tx =-，[]31,5,3,1Tx =-，试求该方程组的通解.解：由方程组未知数个数为4及系数矩阵的秩为2，知其对应的齐次线性方程组的基础解系中只含两个线性无关解向量，再由“非齐次线性方程组两个解的差必为对应的齐次线性方程组的解”，以及[]122,3,2,7Tx x -=---，[]130,4,5,2Tx x -=-线性无关.知非齐次线性方程组的通解等于它自身的一个特解加上它对应的齐次线性方程组的通解，即通解 1112213()()x c x x c x x ξ=+-+-[][][]()1212112323270452,,,,,,,,,,TTTc c c c R =--+---+-∈.4.设非齐次线性方程b Ax =的系数矩阵的秩53()2r A ⨯=，21,ηη是该方程组的两个解，且有[]122,1,1Tηη+=-，[]12356,0,5Tηη+=-，求该方程组的通解.解：依题意，非齐次线性方程组Ax =b 对应的齐次线性方程组的基础解系中只含3-()r A =1个解向量，按照非齐次线性方程组与其对应的齐次线性方程组两者解的结构及相互关系，可取b Ax =+为)(2121ηη的一个特解，可取121211(35)()82ηηηη+-+为对应的齐次线性方程组的基础解系，则Ax =b 的通解为121212111()(35)()282c ηηηηηηη⎡⎤=+++-+⎢⎥⎣⎦117111,,,,()22428TTc c R ⎡⎤⎡⎤=-+-∈⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦.5. 已知向量0η，1η，，r n -η为A n m ⨯b x =的n -r +1个线性无关解，且()r A =r . 试证:(1)1η-0η，2η-0η， ，r n -η-0η为0=Ax 的一个基础解系；（2）Ax b =的通解可由0η，1η， ，r n -η线性表示，且系数和为1.证：(1)依题意，只要证明01ηη-，02ηη-， ，0ηη--r n 是Ax =0的线性无关的解向量即可，而它们是Ax =0的解向量很显然，故下证01ηη-，02ηη-， ，0ηη--r n 线性无关.考虑1k （01ηη-）+2k （02ηη-）+ +r n k -（0ηη--r n ）=0，即-（1k +2k + +r n k -）0η+1k 1η+2k 2η+ +r n k -r n -η=0， 由0η，1η，2η， ，r n -η线性无关，知必有⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧====+++0k 0k 0k 0)k k (k -r-n 21r -n 21故而01ηη-，02ηη-， ，0ηη--r n 线性无关. 证：(2) 由解的结构知A x b =的通解为1k （01ηη-）+2k （02ηη-）+ +r n k -（0ηη--r n ）+0η=[1-（1k +2k + +r n k -）]0η+1k 1η+2k 2η+ +r n k -r n -η 且其系数和为1.4.5向量的内积1.将向量组[]11,1,1Tα=,[]22,0,0Tα=,[]T0,1,13=α规范正交化.解：利用施密特正交化公式，即得[]111,1,1Tβα==；[][]2122111,14221,1,12,0,0,,,3333TTTαββαβββ<>⎡⎤=-=-=--⎢⎥<>⎣⎦；313233121122,,110,,,,22Tαβαββαββββββ<><>⎡⎤=--=-⎢⎥<><>⎣⎦.再进行单位化，即得[][][]3121231231111,1,1,2,1,1,0,1,1.362TTTβββεεεβββ====--==-2．已知1α，2α，3α为n 维规范正交向量组，且1β=21α+22α+λ3α，2β=21α-2λ2α+λ3α，问λ为何值时，向量1β，2β正交？当它们正交时，求出1β，2β.解：正交即内积为零，为使1212,,0ββββ<>=正交，必有，也即1212,Tββββ<>==123123(22)(22)T ααλααλαλα++-+2112131122232442442T T T T T Tααααλααλααλααλαα=++---2221233332244(2)0TTTλααλααλααλλλ+++=-+=-=(注意，化简过程中利用了321,,ααα为规范正交向量组)，故当2λ=时，.,21正交ββ此时，11232123222,242,βαααβααα=++=-+ 于是2221111122222222,22223,2(4)226TTββββββββββ=<>==++==<>==+-+=.3.已知两个正交单位向量1184(,,),999Tα=-- 2814(,,),999Tα=--试求列向量3α使得以123,,ααα为列向量组成的矩阵Q 是正交矩阵.解：依题意，所求的向量3α应该满足，132330,0,1TTααααα===.设向量3123(,,)x x x α=, 由13230,0T Tαααα==有123123(1/9)(8/9)(4/9)0;(8/9)(1/9)(4/9)0.x x x x x x --=⎧⎨-+-=⎩解得: 132344,77x x x x =-=-再利用222231231x x x α=++=得: 379x =±于是所求的向量为 3447(,,),999T α=--或者3447(,,).999T α=-。