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例3.3 已知周期序列如图所示，求 已知周期序列如图所示， (1)序列傅里叶级数系数的幅度特性和相位特性。 序列傅里叶级数系数的幅度特性和相位特性。 序列傅里叶级数系数的幅度特性和相位特性 (2)在周期序列上任意截取一个周期求其傅里叶级数。 在周期序列上任意截取一个周期求其傅里叶级数。 在周期序列上任意截取一个周期求其傅里叶级数
N−1
−j
2π nm N
X p (k ) = ∑xp (n)e
−j
2π nk N
WN = e
−j
2π N
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周期序列傅里叶级数变换
D FS xp (n) = X p (k ) = ∑xp (n)W
n=0
[
]
N−1
nk N
1 N −1 −nk IDFS X p (k ) = xp (n) = ∑X p (k )WN N n=0
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解：(1)周期序列周期为 10, 周期序列周期为
X (k) = ∑x (n)W = ∑W = ∑e
nk nk p n=0 p 10 n=0 10 n=0
9
4
4
−j
2π nk 10
=
1− (e
−j
2π k 5 10
)
1− e
−j
2π k 10
=e
j
5 πk 10 j
π
10
−e −e
−j −j
同理
xp3 (n) = ∑ xp2(m) xp1(n − m)
m=0
N−1
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由于求和仅在一个周期内进行， 由于求和仅在一个周期内进行，因此称之为 周期卷积。它与第1章介绍的线性卷积主要区别在 周期卷积。它与第 章介绍的线性卷积主要区别在 于线性卷积求和区间是从负无穷到正无穷。 于线性卷积求和区间是从负无穷到正无穷。 频域周期卷积特性如下
X (ejω) 在主值区 离散傅里叶变换DFT是频谱 离散傅里叶变换 是频谱
点均匀抽样， 点均匀抽样 是其频谱的一个近似。 0 ≤ ω ≤ 2π 的N点均匀抽样，是其频谱的一个近似。
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例3.6 已知有限长序列
an 0 ≤ n ≤ N −1 x(n) = 其它 0
求其离散傅里叶变换
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3.1 离散傅里叶级数(DFS) 离散傅里叶级数(DFS)
周期序列的Z变换无意义 周期序列的 变换无意义. 变换无意义 3.1.1 离散傅里叶级数 离散傅里叶级数定义为
2π 1 N−1 j (n) = ∑X p(k) e N nk xp N k=0
周期为N的周期序列表示成 个正弦序列或复指数序列之 周期为 的周期序列表示成N个正弦序列或复指数序列之 的周期序列表示成 和的形式,只有 个独立分量，这是因为，周期为N的周期 只有N个独立分量 和的形式 只有 个独立分量，这是因为，周期为 的周期 序列虽然无限长，但它实质上只有N个独立信息 个独立信息。 序列虽然无限长，但它实质上只有 个独立信息。
= W X P (k)
−km N
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3. 周期卷积特性 周期卷积特性又称周期卷积定理。 周期卷积特性又称周期卷积定理。
X p1(k) = ∑ xp1(n)W
n=0
N−1
nk N
X p2 (k) = ∑ xp2(n)W
n=0
N−1
nk N
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X p3(k) = X p1(k) X p2 (k)
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X (k) =
0.56
2 2
2π 2π 1−0.9cos k + 0.9sin k 8 8 0.56 = π 1.81−1.8cos k 4
π n − 0.9si 4 k ϕ(k ) = tg−1 1− 0.9cos π k 4
x( n)
• 0
• N −1
n
x p ( n)
…
• −N • 0 • N
…
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周期序列的周期为N, 有限长序列的长度为 N, 周期序列的周期为
x(n) 0 ≤ n ≤ N −1 x(n) = 其 n 它 0
xp (n) = xp (n + rN)
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有限长序列是周期序列的主值序列 周期序列是有限长序列以N为周期的周期延拓 周期序列是有限长序列以 为周期的周期延拓
N−1 N−1
1 N−1 −k(n−m−r ) 1 r = n − m = ∑WN N k=0 0 r ≠ n − m
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x (n) = ∑x (m)∑x (r)δ[r −(n − m)]
p3 m=0 p1 r=0 p2
N−1
N−1
= ∑xp1(m) xp2 (n − m)
m=0
N−1
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离散傅里叶变换在时域、频域都是离散的、 离散傅里叶变换在时域、频域都是离散的、有 限长的， 限长的，所以可以很方便地利用计算机完成它们 之间的变换， 之间的变换，这是离散傅里叶变换的最大优点之 一。 虽然离散傅里叶变换是两个有限长序列之间的 变换，但它们是利用DFS关系推导出来的，因而 关系推导出来的， 变换，但它们是利用 关系推导出来的 隐含着周期性。 隐含着周期性。
[
]
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3.1.2 离散傅里叶级数的性质 1. 线性特性
DFS axp (n) + by p (n) = aX P (k) + bYp (k)
2. 序列位移特性
[
]
IDFS[X P (k + l )] = W xp (n)
nl N
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DFS xp (n + m) = W
[
]
−km N
第三章 离散傅里叶变换
时间函数 频率函数 连续时间、连续频率—傅里叶变换 连续时间、连续频率 傅里叶变换 连续时间、离散频率—傅里叶级数 连续时间、离散频率 傅里叶级数 离散时间、连续频率—序列的傅里叶变换 离散时间、连续频率 序列的傅里叶变换 离散时间、离散频率—离散傅里叶变换 离散时间、离散频率 离散傅里叶变换
5 πk 10
e
k
π
10
k
⋅e
−j
5 πk 10
e
−j
π
10
k
5 sin( πk) 10 = sin(
π
10
k)
e
−j
4 πk 10
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• 所以
5 sin πk 10 (k) = Xp π k sin 10
4 arg[X p (k )] = − πk 10
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x(n) = R4 (n)
频谱
抽样点N=8 抽样点 抽样点N=16 抽样点
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3.3 离散傅里叶变换的性质
3.3.1 线性特性
y(n) = ax1(n) + bx2 (n)
Y(k) = a X1(k) + b X 2 (k)
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序列长度及DFT点数均为 。若不等，设分别为 点数均为N 若不等， 序列长度及 点数均为 N1，N2，则需补零使两序列长度相等，均为 ， ， ，则需补零使两序列长度相等，均为N， 且
x (n) = IDFS[X (k)]
p3 p3
= ∑xp1(m) xp2 (n − m) = ∑xp2(m) xp1(n − m)
m=0 m=0
N−1
N−1
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证明：
p3
x (n) = IDFS[X (k)]
p3
1 N−1 1 N−1 −nk −nk = ∑X p3(k)WN = ∑ X p1(k) X p2 (k) WN N k=0 N k=0
N = m [N1, N2] ax
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3.3.2 圆周位移特性 1. 圆周位移定义 有限长序列的圆周位移定义为
y(n) = x ((n−m))N RN (n)
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首先将有限长序列延拓成周期序列,然后将周 首先将有限长序列延拓成周期序列 然后将周 期序列向右移位， 期序列向右移位，最后截取其主值 对图中的主值区进行观察， 对图中的主值区进行观察，发现移出主值区的样 等于移入主值区的样值。 值，等于移入主值区的样值。这种移位可以想象 成序列排列在一个N等分的圆周上 等分的圆周上， 个样值点首 成序列排列在一个 等分的圆周上，N个样值点首 尾相接， 尾相接，沿圆周顺移 m位 ，(表示在圆周上旋转 位 表示在圆周上旋转 m位)，因此得名“圆周位移”或者叫“循环位 位 ，因此得名“圆周位移”或者叫“ 移”。
xp3 (n) = xp1(n) xp2 (n)
1 N−1 X p3(k) = DFS xp3(n) = N ∑X p1(l) X p2 (k −l) l =0 1 N−1 = ∑X p2(l ) X p1(k −l ) N l=0
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[
]
对以N为周期的周期序列 任取一个周期求得 对以 为周期的周期序列,任取一个周期求得 为周期的周期序列 的傅里叶级数， 的傅里叶级数，与在主值区求得的傅里叶级数相 同。 对于两个周期为N的周期序列 的周期序列， 对于两个周期为 的周期序列，任取一个周期 进行周期卷积，卷积结果与在主值区内进行的周 进行周期卷积， 期卷积结果相同。因此周期卷积也可以用反褶、 期卷积结果相同。因此周期卷积也可以用反褶、 平移、相乘、取和的几何法求解。 平移、相乘、取和的几何法求解。
求得的傅里叶级数系数与(1)中结果相同。 求得的傅里叶级数系数与 中结果相同。 中结果相同
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1−e
2π k 10
3.2 离散傅里叶变换(DFT) 离散傅里叶变换(DFT)