矩阵分析及其应用 3.1矩阵序列定义3.1设矩阵序列｛A (k )｝,其中A(k)=( a (k )) C m n ,当k a j" a u 时，称矩阵序列｛A (k)｝收敛，并称矩阵 A=( a ij )为矩 阵序列｛A (k)｝的极限，或称｛A (k)｝收敛于A,记为lim A (k)A 或 A (k) Ak不收敛的矩阵序列称为发散的。

由定义，矩阵序列 A (k )发散的充要条件为存在 j 使得数列a (k)发散。

类似地，我们可以定义矩阵收敛的 Cauchy 定义 定义3.1'矩阵序列｛A (k)｝收敛的充要条件为 对任给>0存在N()，当k, l N()时有 ||A (k) A (l)|| <其中||.|为任意的广义矩阵范数。

sin 』)n nsin(k)如果直接按定义我们因为求不出 A (n)的极限从而从而只要I 充分大，则当m, n > l 时就有sin(k)k 2这样A (l)收敛。

定理3.1 A (k) A 的充要条件为 ||A (k) A|| 0证明：利用广义矩阵范数的等价性定理，仅对 范数可以证明。

即c 1ILA (k) A||||A (k) AII C 2 ||A (k) AII 性质 0 若 A (k)A ，则 ||A (k) II IIAII 成立。

性质 1. 设 A (k)A m n ，B (k) B m n , 则A (k)+ B(k) A+ B ， ,C 性质 2. 设 A (k)A m n ，B (k )B n l ,贝UA (k)B (k)A B证明：由于矩阵范数地等价性，我们可以只讨论相容的 矩阵范数。

||A (k )B (k) A B|| || A (k) B (k) A B (k)||+||AB (k)A B|||| A (k) A|| ||B (k)||+||A||||B (k) B||例 1 A (n)k m 1k(k 1)相反，由于注意||B(k)|| ||B||，则结论可得。

特别地有性质2'. A(k) A 的充要条件为A (k) x Ax, 对任意x 成立或者y H A(k) x y HAx, 对任意x,y 成立.(在无穷维空间中称为弱收敛，但在有限维空间中和一般收敛性定义是等价的) 对于Hermite( 对称)矩阵我们有如下的定理：设A(k), k=1,2,…，和A都为Hermite矩阵，那么A(k) A的充要条件为x H A(k) x x H Ax, 对任意x 成立推论：A(k)，k=1,2, … , 为Hermite 矩阵，且单调减少，即A(k+1) A(k)为半正定Hermite矩阵，那么A(k)有极限.性质3设A(k)和A都为可逆矩阵，且A(k)A，则(A (k))1A1证明：因为A 1 (A(k)) I.所以存在K,当k >K时有||I A 1 (A (k))||<1/2 我们有(A(k)) 1= A 1+( I A 1 (A(k))) (A (k)) 1从而ll(A(k)) 1|| ||A 1||+||( I A 1 (A(k)))|| || (A(k)) 1|| 当k>K 时，有||(A(k))1|| ||A1||+1/2|| (A(k))1||即||(A(k)) 1|| 2 ||A 1||因为 A 1(A(k))1= A1(A(k)A) (A(k))1从而|| A1 (A(k)) 1|| ||A1||||A(k) A||||(A(k)) 1||(当k>K 时)||A 1||||A(k) A||2||A 1||(当k 时) 0由定理3.1有(A(k)) 1 A 1定义 3.2 矩阵序列{A (k)} 称为有界的，如果存在常数M>0 ，使得对一切k 都有| a i(j k) |<M 或等价的|| A(k)||<M'定理：有界的矩阵序列{A (k)} 一定有收敛的子列。

定义 3.3 设 A 为方阵，且当k 时有 A k 0，则称A 为收敛矩阵。

定理 3.2(迭代法基本定理) A k 0 的充要条件为谱半径(A)<1.证明：必要性：设A k 0，证明(A)<1. 对A 的任意特征值和相应的特征向量x 有x=Ax.这样我们有 A k x= k x从而有| |k ||x||=||A k x|| ||A k||||x||从而有| |k ||A k|| 0这样有| |<1，由于为 A 的任意特征值，所以(A)<1, 即必要性得证。

充分性。

已知(A)<1 ，证明A k0.取=(1 (A))/2 >0, 由定理 2.10 有,存在某种相容的矩阵范数||.||M 使得||A||M< (A)+ <1从而||A k|| M (||A||M)k<( (A)+ )k 所以当k 有||A k|| M 0,从而A k 0.定理3.3 A k 0的充分条件为存在矩阵范数||.|M使得||A||M <1 3.2 矩阵级数定义3.4设矩阵序列｛A (k)｝,其中A(k)=( a(k)) C n n,由它们形成的无穷和A(0) +A⑴+…+A(k)+…称为矩阵级数，记为A(k)，即有k0A(k)= A(0)+A⑴+ …+A(k)+…k0N定义3.5记S(N)= A(k)，称其为矩阵级数A(k)的部分和.k 0 k0如果矩阵序列｛S(N)｝收敛，且有极限S,即有S(N) S那么称矩阵级数A(k)收敛，且和为S, 记为k0S=k0不收敛的矩阵级数称为发散的。

显然A(k) =S 是指a i(j k)s ij，i,jk 0 k 0即矩阵级数收敛是指它的每个分量所构成的数项级数收敛。

性质：矩阵级数A(k)收敛的充要条件为对任意向量x,k0向量级数A(k)x 收敛。

k0定义3.6设矩阵级数A(k)的每个分量a(k)所构成的数项k0级数a i(j k)绝对收敛，则称矩阵级数A(k)绝对收敛。

k 0 k0关于绝对收敛，我们有如下的定理：性质 1. 绝对收敛的A(k)交换求和次序不改变其绝对k0收敛性和极限值。

性质 2. 矩阵级数A(k)绝对收敛的充要条件为正项级数||A(k)||收敛。

k0性质 3. 如果矩阵级数A(k) (绝对)收敛,那么PA(k)Qk0 k 0 也是(绝对)收敛,且有PA (k)Q=P( A(k))Qk0 k 0性质 4. 设C n n的两个矩阵级数(k)k0S1： A⑴+A(2)+ …+A(k)+ …S2： B ⑴+B⑵+ …+B(k)+ …都绝对收敛，其和分别为A和B.则矩阵级数S3： A⑴ B(1)+ [A ⑴ B(2)+ A⑵ B⑴]+ …+[ A ⑴ B(k)+ A ⑵ B(k 1) + …+A(k) B ⑴]+ … 绝对收敛且和为AB.证明：由于S i： A⑴+A(2)+…+A(k)+…绝对收敛的充要条件为正项级数||A⑴||+||A⑵||+…+||A(k)||+…收敛且与排列无关。

我们证明的思路是证明正项级数：||A⑴B⑴||+ ||A⑴B⑵+ A⑵B⑴||+…+ ||A ⑴ B(k)+ A⑵ B(k 1) + …+A(k) B^ “11+… 收敛。

引用魏氏定理，我们仅需验证下列正项级数：IIA⑴||||B⑴||+ { ||A ⑴ ||||B(2)||+ ||A⑵ IIIIB⑴11}+…+{||A ⑴ ||||B(k)||+ ||A⑵ ||||B(k 1)||+…+||A(k) ||||B⑴||}+ … 收敛。

这由题设正项级数||A⑴||+||A(2)||+…+||A(k)||+… 和正项级数||B⑴||+||B⑵||+…+||B(k)||+… 的收敛性可得。

定理3.4幕级数I+A+A 2+・.・+A k+…收敛的充要条件为A 的谱半径(A)<1, 收敛时其和为(I A) 1。

若有矩阵范数||.|使得||A||<1,则||(I A) 1 (I+A+A 2+ …+A k)|| ||A||k+1/(1 ||A||) 证明：必要性.由于I+A+A 2+…+A k+…收敛，从而S(k)= I+A+A 2+ …+A k收敛。

记T(k)= I+A+A 2+ …+A k+1, A k+1=T(k) S(k)收敛，且T(k) S(k)0,这样我们有A k 0，从而(A)<1.充分性：设(A)<1 , (I A) 1存在,由于I+A+A 2+…+A k=(I A) 1 (I A) 1 A k+1因 A k 0,所以I+A+A 2+…+A k+…(I A) 1.又因为(I A) 1 (I+A+A 2+ …+A k)= (I A) 1 A k+1从而||(I A) 1 (I+A+A 2+…+A k)||=|| (I A) 1 A k+1||设B=(I A) 1A k+1,从而(I A)B=A k+1即B=AB+ A k+1，从而||B|| ||A||||B||+ ||A k+1|| ||A||||B||+ ||A||k+1因为矩阵范数||.|使得||A||<1,所以||B|| ||A||k+1/(1 ||A||)成立。

定理 3.6 设幂级数f(z) c k z k的收敛半径为r,k0如果方阵 A 满足(A)< r, 则矩阵幂级数kf (A) c k A k是绝对收敛的；如果(A) > r,k0c k A 是发散的。

k0证明：利用绝对收敛的性质。

反之，设 A 的特征值满足| |= (A)，x 为相应的n n n特征向量c k(A k x) = c k( k x)=( c k k)x,k 0 k 0 k 0n由于(A) > r ,那么(C k k)x发散(注意x为非零向量)k0n从而c k(A k x) 发散，这样c k A k发散。

k 0 k 0矩阵函数定义：设一元函数f(z)能展开为z的幕级数kf(z) c k z k (|z|<r)k0其中r>0表示该幕级数的收敛半径。

当n阶矩阵A的谱半径(A) < r时，把收敛的矩阵幕级数c k A k的和k0为 f (A), 即 f (A)= c k A k .k0性质1(代入规则)：若f⑵能展开为z的幕级数，且f (z)=g(z), 对|z| < r 成立，则当(A)< r 时，f (A)=g(A).矩阵函数举例：sin(z)=z Z3/3!+Z5/5!…则sin(A)= I A3/3!+A5/5!… cos(z)=1 z2/2!+z4/4! …cos(A)= I A2/2!+A4/4! …z 2 3e z=1+z+z2/2!+z3/3!+… e A=l+A+A2/2!+A3/3!+…sin2(z)+ cos2(z)=1可得：sin2(A)+cos2(A)= I性质2二元函数f (x,y)能展开为x,y的幕级数,f (x,y)=g(x,y). 若AB = BA,则f (A,B)=g(A,B)(二元函数的代入规则).矩阵函数值的求法1. 待定系数法设n 阶矩阵 A 的特征多项式( )=det( I A). 如果首 1 多项式()=m+b l m口…+b m 1 +b m (1 m n)满足:(1) (A)=0;(2) ( )整除( )(矩阵 A 的最小多项式与特征多项式均满足这些条件). 那么, ( )的零点都是 A 的特征值.记( )的互异零点为i , 2,…,s ,相应的重数为 门,…,r s (r i +r 2+…+r s =m),则有 (l)( i )=0 (1=0,1，…,r i -1;i=1,2,…,s)这里，(l)()表示()的I 阶导数(下同).k设f(z)=C k Z = (z)g(z)+r(z).其中r(z)是次数低于 m 的k0多项式，于是可由 f (I)( i ) = r (I)( i ) 确定 r(z). 利用 f(A)= (A)g(A)+r(A)=r(A).因此我们的问题就是给定函数 f(z),由约束条件 r (l)( i )=f (l)( i ) 1=0,1,…「-1;i=1,2,…,s确定 r(z)。