9
l @lbl.!J(（ 且匡
【思维发散】试证明材料的剪切模量与弹性模量的关系为G= 2(1+µ) 【证明】取一纯剪切微元体，其应力状态为：
Ux = Uy = Uz = O;
'fxy = T;
Txz = 0
代入胡克定理：
Ex = Ey = Ez = 0;
T
Yxy = － G'
Yyz = Yxz = 0
l @lbl.!J(（ 且匡
l1 = ux+uy+u叶 /2 = — (UxUy+UyUz+UzUx)+ (rx/+Tyz2+Tzx2)
Ux Tyx Tzx /3 = 1rxy Uy Tzy
飞z Tyz Uz
根据力学概念可知， 三个主应力应该与坐标轴的选择无关， 所以在坐标变换时， 尽管应力分量 Ux、 Uy、 6Z 、 Txy、 Tyz、 Tzx会改变， 但主应力仍保持不变， 作为方程三个实根的61 、 62 、 63 既然 在坐标变换时保持不变， 则此三次方程的系数也应该与坐标轴的选择无关， 所以11 、 I2 、 I3是三个 不变量。
602
Ol表达，
U3
也就是说，前者可通过线性变换得到后者：
5
l @lbl.!J(（ 且匡
［笠 ； ⇒ [ : z T T <Tx yx xl
z zz Ty
y
l
ru1 0 0
62 :3]
那么主应力和主应力方向就是这个矩阵的特征根和特征向量。
z T T <Tx — <TN z T T f(1（吓）＝ xy
[。。 j 6 1=62 王＝6，其应力状态可以通过主应力张量表示为：
＠前面说过，一点的应力状态可通过主应力张量601 62 ：表达，
63
0 u 0。 ；；；』之和I= u尸
子 U3 是个定值。定义平均应力为吓＝ 6计幻3 +(13，将主应力」印量写成：
14
十[ l [ 仍 — ] U1 0 0 l
！一一极 ．嘈·••••·端•·•- 情况：当．．．｀µ．．，．．嘈=·•止- .0....．5．． ．．．．．时．．．．．．，．`··•K•••••·为心正．．．无�••· ·•穷•暹....大......，.....体一．．．．．积．．．．．．应．．••·•变••·•·•．e暹·v•·••=•·••0·•·••。...这 ..，配•·•量．种．．贮．材．嘈－．．料｀＇- 被称为•·•不·••••可·•·•一一－压－一＿－．缩一星瞿- 材料。••·•·
|｀
叫
dx
3
l @lbl.!J(（ 且匡
【思维发散】如何证明三维问题的剪应力互等定理？
c
【解】可用类似的方法求解。
如图，对AB边取矩：ImAB = 0,即： (Txzdydz)dx — (Tzxdxdy)dz = 0可以源自到： 互＝Tzx 同理，可以证明：
Txy = Tyx Tyz = Tzy 这三个式子表达了剪应力互等定理。
这一结果与各向同性材料的在相同应力作用下的应变应该与材料取向无关的要求相矛盾。所以切 应力不应该产生正应变。类似地利用对称性还可证明每一个切应力分量只能产生与其相应的切应变， 不会产生其他方向的切应变。
X X
45 °
A 180°
······································································(·2··a···)········································································································1·3
z z z T T x
yx <Ty -<TN
y
x y
<T -<TN
z z T T T T T = (ux -吓）也 － 吓）也 － 吓） ＋ 2 xy y 互 － 也 － 吓） yz2＿也 － 吓） x 2＿也 － 吓） xy2
几（吓）＝ 0的三个根就是三个主应力的值。
6
l @lbl.!J(（ 且匹
A
D
气！ T之'X,(Jy� |产
◄_(Jx
＿一 i ＿ 一寸 ：
，: T• yz
…/ 6X
: f ：
c1z1t；尸飞－ －－ － －Ty- x
,/ i_v-<--------·< r
G
E�dy
y
dx a.
4
(2)＠如果某截面上剪应力为0,那么该平面为主平面，该平面上的正应力（法向应力）称为主应力。
【思维发散】 一点的应力状态， 如果选取不同的截面，其正应力和剪应力值都不同。 试证明：无论取什么截面，三个正应力之和l=ux+<Ty+<Tz 永远是定值。
【解】由第（2)间的分析可知，
<ix - UN Tyx
Tzx
Txy
(jy —(jN
I Tzy = 0的三个实数根就是三个主应力。
Txz
Tyz
(jz —(jN
［61+62 ＋幻］ 2
UV就是体积改变应变能密度。
同理， 将偏应力代入上述应变能密度计算公式可以得到：
l @lbl.!J(（ 且匡
顷
考二
题一 1� \］
对一
二 十
各i
（1）
向i 在
同已 正
在 应
言 时 力
材一 作
;料 用
� 下，
请1 只
（2） 在 剪 应 力 作 用 下 只
叩 吐
（1) 如 了 切应 变
圆 那
么al
而 将
示 材
料，
从 绕
某 x
各 轴
向 转
同性
l 08
材 话
蜘
应变
涸
l
b
）
。
芒 ：� � ． 正应 变
该纯剪微元体的三个主应力为：<T1 = T,(T2 = 0,(T3 = -r
yT ◄ T
�
T
T
�
伸
T
根据胡克定律，主应变为：
1 氏＝因(T3
— µ((T1+(T2)]
=
—
(1 +µ) ET
10
l @lbl.!J(（ 且匹
................................................................................................................................................................................... 45° 方向上的应变为：
[ 0 62 0 0 0 U3J
ram O 0 6m
O l ra1 — Um
o+ 。
L O O <ImJ L O
O
6m
O
0
。
U3 — Um
第一项称为球应力张量（反映的是静水压力）， 第二项称为偏应力张量。
62
＿＿(11
<Tm
(1m +
62 -6m
<T1 -<Tm
62
15
l @lbl.!J(（ 且匡
(2)结合广义胡克定律可知， 可以将应变能密度用主应力表示为：
因此， 无论取什么截面， 三个正应力之和l = ux+uy+Uz永远是定值。 '.................................................................................................................................................................................. 8
....... .也...可.....以...表.....示...为....氏..... .＝.....？..，....其....中....店....尔...为....体....积....模....量....，....其....值....为....K....=....3..(.1..-..2..µ.)..0.............................................
展开这个行列式， 并进行整理可得：
其中：
6忒 － I16妒 － I 吓 － 13 = 0
2
'.................................................................................................................................................................................. 7
【参考答案】
(1)对千平面应力问题，取平面微元体ABCD如图所示，微元体 边长分别为dx和dy。对A点取矩：ImA = 0,即： (rxydy)dx — (Tyxdx)dy = 0 可以得到： Txy = Tyx 即剪应力互等。
A 4
6 X
T xy B
6y
cT yx
T xy
6 X
崖＿
dy
工
Tyx
ay
五 剪应变 细取出 一单
g 单 元体
� 一 � i
i
i
三 产 生 剪 应 变；
产生正应 变
如单 顽
。 在
／
畦 力作用
既然材料是各向同性的，其应变应该与 6X