常微分方程的初等解法1．常微分方程的基本概况1.1.定义：自变量﹑未知函数及函数的导数（或微分）组成的关系式，得到的便是微分方程，通过求解微分方程求出未知函数，自变量只有一个的微分方程称为常微分方程。

1.2.研究对象：常微分方程是研究自然科学和社会科学中的事物、物体和现象运动﹑演化和变化规律的最为基本的数学理论和方法。

物理﹑化学﹑生物﹑工程﹑航空﹑航天﹑医学﹑经济和金融领域中的许多原理和规律都可以描述成适当的常微分方程。

如牛顿运动规律、万有引力﹑能量守恒﹑人口发展规律﹑生态总群竞争﹑疾病传染﹑遗传基因变异﹑股票的涨伏趋势﹑利率的浮动﹑市场均衡价格的变化等。

对这些规律的描述﹑认识和分析就归结为对相应的常微分方程的理论和方法不仅广泛应用于自然科学，而且越来越多的应用于社会科学各个领域。

1.3.特点：常微分方程的概念、解法、和其它理论很多，比如，方程和方程组的种类及解法、解的存在性和唯一性、奇解、定性理论等等。

下面就方程解的有关几点简述一下，以了解常微分方程的特点。

求通解在历史上曾作为微分方程的主要目标，一旦求出通解的表达式，就容易从中得到问题所需要的特解。

也可以由通解的表达式，了解对某些参数的依赖情况，便于参数取值适宜，使它对应的解具有所需要的性能，还有助于进行关于解的其他研究。

1.4.应用：现在，常微分方程在很多学科领域内有着重要的应用，自动控制、各种电子学装置的设计、弹道的计算、飞机和导弹飞行的稳定性的研究、化学反应过程稳定性的研究等。

这些问题都可以化为求常微分方程的解，或者化为研究解的性质的问题。

应该说，应用常微分方程理论已经取得了很大的成就，但是，它的现有理论也还远远不能满足需要，还有待于进一步的发展，使这门学科的理论更加完善。

2.一阶的常微分方程的初等解法一阶常微分的初等解法包括变量分离方程与变量变换﹑可以化为变量分离方程的类型﹑线性微分方程与常数变易法﹑恰当微分方程与积分因子，下面我们就具体分析一阶常微分方程的初等解法。

2.1、变量分离方程法 形如)()(y x f dxdy ϕ=，（2.1）的方程，称为变量分离方程，这里的)(x f ，)(y ϕ分别是x ，y 的连续函数。

如果0)(≠y ϕ，我们可将（2.1）改写成dx x f y dy )()(=ϕ，这样变量就“分离”开来了。

两边积分得到⎰⎰+c dx x f y dy )()(ϕ，（2.2）。

例1：方程yx dx dy -=就可以用变量分离法求解方程 解： 变量分离，得到 xdx ydy -=，两边积分，即得 22222c x y +-=， 因而，通解为 c y x =+22，（c 为任意常数）2.2、可化为变量分离方程的类型(1) 形如)(xy g dx dy =，（2.3）的方程，称为齐次微分方程，这里)(u g 是u 的连续函数。

作变量变换x y u =，（2.4）即ux y =，于是u dxdu x dx dy +=，（2.5）.将（2.4），（2.5）代入（2.3），则原方程变为)(u g u dx du x =+，整理后，得到xu u g dx du -=)(,(2.6).方程（2.6）是一个变量分离方程，这就所为的可以化为变量分离的方程。

例2方程xy x y dx dy tan += 就是一个可以化为变量分离的方程。

解 这是齐次微分方程，以u x y = 及u dx du x dx dy +=代入，则原方程变为u u u dx du x tan +=+。

即xu dx du tan =。

将上式分离变量，既有 x dx udu =cot ， 两边积分，得到 c x u +=ln sin ln ，（c 为任意常数）整理，得到 x e u c •±=sin ， 令c e c =±，得到 cx u =sin将x y u =代入上式，得到方程的通解为 cx xy =sin (2)形如222111c y b x a c y b x a dx dy ++++=,(2.7)的方程也可以经变量变换化为变量分离方程，1a ，2a ，1b ，2b ，1c ，2c 均为常数。

我们分三种情况来讨论：①k c c b b a a ===212121(常数)情形。

这时方程化为k dx dy =，有通解c kx y +=，其中c 为任意常数。

②212121c c k b b a a ≠==情形。

令y b x a u 22+=，这时有212222c u c ku b a dx dy b a dx du +++=+=是变量分离方程。

③2121b b a a ≠情形。

如果方程(2.7)中1c ，2c 不全为零，方程右端分子﹑分母都是x ，y 的一次多项式，因此⎩⎨⎧=++=++﹐0﹐0222111c y b x a c y b x a （2.8）.代表Oxy 平面上两条相交的直线，设交点为)﹐(βα。

若令⎩⎨⎧-=-=﹐﹐βαy Y x X （2.9）。

则（2.8）化为⎩⎨⎧=+=+﹐0﹐02211Y b X a Y b X a 从而（2.7）变为)(2211YX g Y b X a Y b X a dX dY =++=，（2.10）。

因此，求解上述变量分离方程，最后代回原变量即可得原方程（2.7）的解。

如果方程（2.7）中021==c c ，可不必求解（2.8），直接取变换xy u =即可。

上述解题的方法和步骤也适用于比方程（2.7）更一般的方程类型)(222111c y b x a c y b x a f dx dy ++++=。

例3 方程31-++-=y x y x dx dy 就可以用上述方法来求解。

解 解方程组 ⎩⎨⎧=-+=+-﹐03﹐01y x y x 得x=1，y=2.令 ⎩⎨⎧+=+=﹐2﹐1Y y X x 代入原方程，则有YX Y X dX dY +-=, 再令X Y u =,即uX Y =,则上式化为du u u u X dX 2211--+=， 两边积分，得 c u u X +-+-=12ln ln 22，因此 c e u u X ±=-+)12(22，记1c e c =±，并代回原变量，得1222c X XY Y =-+，把⎩⎨⎧-=-=21y Y x X 代入上式 得122)1()2)(1(2)2(c x y x y =----+-整理，得c x y x xy y =---+26222 (c 为任意常数)2.3、线性微分方程与常数变易法 一阶线性微分方程)()(x Q y x P dxdy +=，（2.9）。

其中P （x ），Q （x ）在考虑的区间上是x 的连续函数。

若Q （x ）=0，（2.9）变为y x P dy dx )(=，（2.10），(2.10)称为一阶其次线性微分方程。

若0)(≠x Q ，（2.9）称为一阶非其次线性微分方程。

（2.10）是变量分离方程它的解为⎰=dx x p ce y )(，（2.11）这里的c 为任意常数。

现在讨论非奇次线性微分方程（2.9）通解的求法。

不难看出，（2.10）是（2.9）的特殊情形，可以设想（2.11）中将常数c 变易为x 的待定函数c(x).令⎰=dx x p e x c y )()(，（ 2.12）微分之，得到⎰+⎰=dx x p dx x p e x p x c e dxx dc dx dy )()()()()(，（2.13）.将（2.12）,(2.13)代入（2.9），得到)()()()()()()()()(x Q e x c x P e x P x c e dxx dc dx x p dx x p dx x p +⎰=⎰+⎰。

即⎰=-dx x p e x Q dx x dc )()()(，积分后得到⎰+⎰=-c dx e x Q x c dx x p )()()(，这里的c 是任意常数。

将上式代入（2.12），得到方程（2.9）的通解⎰+⎰⎰=-))(()()(c dx e x Q e y dx x p dx x p ，（2.14）。

这种将常数变易为待定函数的方法，我们通称为常数变易法。

常数变易法实际上也是一种变量变换的方法，通过变换（2.12）可将方程（2.9）化为变量分离方程。

若方程不能化为（2.9）形式，可将x 看作y 的函数，再看是否为（2.9）形式。

例4 方程1)1()1(++=-+n x x e ny dxdy x （n 为常数）就可以用常数变易法求解。

解 将方程改写为 n x x e y x n dx dy )1(1+=+-，① 首先，求齐次线性微分方程01=+-y x n dx dy 的通解从 dx x n y dy 1+=，得到齐次线性微分方程的通解n x c y )1(+= 其次，应用常数变易法求非齐次线性微分方程的通解。

为此，在上式中把c 看成为x 的待定函数c （x ）,即n x x c y )1)((+=，②微分之，得到 )()1()1()(1x c x n x dxx dc dx dy n n ++++=，③ 把②，③代入①，得到 x e dxx dc =)(， 积分之，求得 c e x c x +=)(因此，以所求的c （x ）代入②，即得原方程的通解 )()1(c e x y x n ++=， （c 为任意常数）2.4、恰当微分方程与积分因子2.4.1恰当微分方程如果方程0﹐y)dy (﹐y)dx (=+x N x M ，的左端恰好是某个二元函数﹐y)(x u 的全微分，即﹐y)dx (x M +﹐y)dy (x N =dy yu dx x du ∂∂+∂∂=x u ﹐y)(则称原式为恰当微分方程。

容易验证恰当微分方程的通解就是c ﹐y)(=x u ,这里的c 为任意常数。

如果方程是恰当微分方程时，函数﹐y)﹐N (x ﹐y)(x M 应该具有以下性质。

M xu =∂∂和N y u =∂∂分别对y ，x 求偏导，得到y M x y u ∂∂=∂∂∂2，x M y x u ∂∂=∂∂∂2，由x N ﹐∂∂∂∂y M 得连续性，可得y x u x y u ∂∂∂=∂∂∂22，故xN y M ∂∂=∂∂,这就是恰当微分方程的必要条件。

如果是恰当微分方程我们可以利用“分项组合”的办法来求解。

利用公式⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎧+-=--=+=-=+==+﹐)(ln 21﹐)(arctan x xdy -ydx ﹐)(ln ﹐)(xdy ydx -﹐)(xdy -ydx ﹐)(222222y x y x d y x xdy ydx y x d y y x d xy xdy ydx x y d x y x d y xy d xdy ydx （2.15） 例5 方程0)46()63(3222=+++dy y y x dx xy x 就可以用“分项组合” 方法来求解。